數值仿真法在流體力學教學設計中的應用探討

楊波 陳星 王志強 李欣業

1.河北工業大學機械工程學院 天津 300401；2.河北工業大學能源與環境工程學院 天津 300401

1 概述

流體力學課程涉及大量的公式推導，學生學習起來感覺晦澀難懂[1]，急需完善的教學設計，以更容易理解的方式巧妙引入理論公式[2]。牛頓內摩擦定律、伯努利方程和雷諾方程等重要知識點處于教學設計中的不同階段，相對獨立[3]。為強化學生對上述重要知識點的深刻理解和運用，有機融合流體力學知識點，本文引入了數值仿真法，針對重要知識點設計了教學環節，通過模擬直角方管和U型管中流體流動，循序漸進地融入了雷諾方程——流體流動狀態判別、牛頓內摩擦定律——管道截面的流速分布分析、伯努利方程——水頭損失分析。本文從建立直角方管和U型管流場模型，到模擬流體流動，再到引入各重要知識點進行分析，最終形成完善的閉環教學設計。

2 流場模型的建立與流體流動模擬

在授課中應用數值仿真技術，有助于學生對知識點的直觀認識。本文使用有限元軟件ANSYS的Workbench模塊，建立了直角方管和U型管模型，如圖1所示。通過對直角方管和U型管進行流場流動模擬，分析對比兩者的異同點。建立模型具體操作步驟為：

(1)新建項目，在Geometry功能處進行草圖繪制與建模，選擇XZ平面，進行草圖繪制；

(2)簡略畫出一個直角方管圖，賦予每個邊長具體數值，隨后對平面模型進行拉伸，自定義厚度，完成直角方管的三維模型建立；

(3)U型管模型建立同理，不再贅述。選擇Mesh劃分網格結構，并生成網格，最終建立三維網格模型。

圖1(a)和(b)分別給出了本文建立的直角方管和U型管模型的示意圖。其中直角方管的橫截面為邊長為10cm的正方形，U型管的橫截面為半徑為5cm的圓形。

(a)直角方管模型；(b)U型管模型圖1

本文在賦值過程中，選擇流體為水模型，不可壓縮。在Boundary Conditions中選擇入水口(Inlet)的流速，設置入水口流速為10m/s，選取黏性流體的K-epsilon模式。對直角方管和U型管分別進行收斂性驗證，當迭代次數分別達到1000次和1700次后，結果趨于收斂。

3 數值仿真與重要知識點的對應

3.1 雷諾方程——流體流動狀態判別

流體流動時，如果流體質點的軌跡(初始空間坐標x、y、z隨時間t而變)是有規則的光滑曲線，這種流動定義為層流，即流體質點之間沒有徑向脈動，存在徑向脈動的流體流動為湍流狀態。此外，層流和湍流之間還有過渡區，可通過計算雷諾數判別流動狀態。在管道流動中，雷諾數Rec的表達式為：

(1)

上式中，v、ρ、μ分別為流體的流速、密度與黏性系數，d為一特征長度，在U型管中d為管道直徑。

本文仿真模擬中，直角方管和U形管流體流動狀態可分為三個過程：

(1)在接近管道內壁的位置，流體的流速較低，故流體的流動狀態均表現為近似層流，流速平緩；

(2)在管道的內部，流體的流動狀態在接近內壁面時產生了小范圍的變化，隨著與管壁之間距離的增大，流動狀態也隨即發生改變，流態表現出逐漸改變的過程，這個過程呈現出來的流態稱之為過渡流態；

(3)在直角方管轉彎區域，流體的流態從過渡流態轉變為湍流，打破了層流狀態較有規律的流速分布。同時在湍流區域，流體的流速隨著流經路線的改變，在管道轉角處的流體的雜亂程度進一步增加。

通過對比分析，我們可以發現，U型管中流體流動狀態多為層流和過渡態，在轉彎處流體的雜亂程度較小；直角方管轉彎處雜亂程度高，存在大量的湍流區域，這些湍流區域將耗散更多的水頭損失。這也是在工業生產或生活中，多采用U型管運輸液體流體的原因。

本文模擬中設定入水口流速為10m/s，水的運動黏度ν=10-6m2/s。在靠近管道內壁位置，由牛頓內摩擦定律可知，管道內壁處流速為零。當Rec<2300，水的流態為層流，通過公式(1)，可知直角方管中臨界流速為v=0.0204m/s。由此可以得出，在流速v<0.0204m/s時，直角方管中水的流態為層流；當流速v>0.0204m/s時，水的流態由層流向湍流過度。同理可知，U型管中臨界流速為v=0.0232m/s。

3.2 牛頓內摩擦定律——管道截面流速分布分析

黏性流體在圓截面管道中流動時，在層流狀態下，管道橫截面上的速度分布是不均勻的。在管壁上，由于黏附作用，流體的速度為零，離管壁越遠，速度越大，在管道中軸線上速度達到最大值。黏性切應力的大小等于流體的動力黏度與速度梯度的乘積，對于管道流動，黏性層流的切應力τ表達式為：

(2)

上式中，μ、vx、r分別為流體的黏性系數、x軸流速和離中軸線距離。通過切應力公式可以導出速度分布公式：

(3)

通過積分變換得到x軸流速的表達式：

(4)

(5)

當r=0(軸線上)時，速度最大，即：

(6)

因此，速度分布式也可以用最大速度vmax表示，即：

(7)

(a)—(c)直角方管截面1～3流速分布云圖；(e)—(f)U型管截面1～3流速分布云圖圖2 直角方管和U型管關鍵截面處的流速分布云圖

3.3 伯努利方程——水頭損失分析

圖3給出了直角方管和U型管關鍵截面處流速分布圖，可知出水口截面3的流速小于入水口截面1，說明發生了水頭損失。已知直角方管或U型管內為定常流動，由于黏性的存在，流體流動時會受到黏性阻力的作用，克服黏性阻力會耗散能量，所以流速會相應減小。采用總流的黏性流體伯努利方程：

(8)

由模擬結果可知，無論是直角方管或U型管，3個截面處的流速遵循逐漸下降的規律，這種現象的原因來自于水頭損失。水頭損失可分為局部損失和沿程損失。在模擬過程中，直角方管轉彎處，流動邊界發生了急劇變化，會產生無數個旋渦。旋渦的產生會耗散流體的機械能，為局部損失，導致流速降低，符合伯努利方程，還有一部分主要的能量損耗(局部損失)是由于流體與壁面的碰撞。另外，從入水口Inlet截面到截面1的水頭損失則主要來自于沿程損失，因為這個過程中，流動邊界無變化，水頭損失主要由流體克服黏性摩擦力引起，流程越長，沿程水頭損失越大。此外，對比直角方管和U型管中間截面2流速，可見直角方管橫截面內流速相較于U型管更劇烈，導致更多的水頭損失。

(a)直角方管截面流速分布圖 (b)U型管截面流速分布圖圖3 直角方管和U型管截面流速圖

本文基于ANSYS軟件的Workbench模塊，建立了直角方管和U型管流體流動模型，并設置相應參數進行水體流動仿真，將各知識點和仿真結果相對應：

(1)首先利用雷諾方程，判斷水體流動狀態，發現直角方管或U型管中包含了層流、過渡態和湍流三種流動狀態，在本文設置的參數條件下，直角方管臨界流速為v=0.0204m/s，U型管臨界流速為v=0.0232m/s；

(3)通過總流的黏性流體伯努利方程分析了直角方管和U型管中3個截面處的流速遵循下降規律的原因，即水體流動需要克服管道中沿程損失和局部損失，耗散了系統的機械能，在位置水頭和壓強水頭恒定的情況下，速度水頭下降，導致流速下降。

結語

以直角方管和U型管流體流動仿真模擬為切入點，有機地融入了牛頓內摩擦定律、伯努利方程和雷諾方程這三個流體力學中的重要知識點，詳細分析了仿真結果與理論知識點的對應關系，可為學生深刻理解并運用流體力學知識打下良好的基礎。該數值仿真法可設置在流體力學課程后半段，即理論知識均已授課完畢。讓學生自己動手，從建模型開始，到執行流體流動模擬，最后對比分析直角方管和U型管仿真結果，加深對牛頓內摩擦定律、伯努利方程和雷諾方程等流體力學重要知識點的理解，同時明白在工程應用中，多采用U型管運輸液體流體的原因。本文利用現代數值仿真技術，最終形成理論與實踐相結合的授課模式。