淺談高考數(shù)學(xué)考試中的不等式

席雪梅

(合肥體育運動學(xué)校 安徽合肥 230031)

不等式在數(shù)學(xué)中有著非常重要的地位，發(fā)揮著重要的作用。不等式在高考中一直都是熱門的話題，在往年的高考中占分比例較大，考查的形式多樣，運用到的方法也靈活多變。平時我們比較關(guān)注等式問題而容易忽視不等式的問題，殊不知不等式的研究涉及面更廣、難度相對比較大，但卻有利于學(xué)生獨立思維能力的提高；不等式題目出現(xiàn)的形式多種多樣，其解題方法的難易也有不同的差距。為了更好地掌握中學(xué)數(shù)學(xué)及高考數(shù)學(xué)題中不等式的內(nèi)容、考點和解題技巧等，本文結(jié)合有關(guān)不等式的教材和研究者們的研究成果，對中學(xué)數(shù)學(xué)中不等式類題目進(jìn)行研究，從而找出解題的技巧和規(guī)律，為學(xué)生的“學(xué)”和教師的“教”提供一定的幫助。

一、不等式的基本概念

數(shù)量關(guān)系可分為等量關(guān)系和不等量關(guān)系。不等量關(guān)系和等量關(guān)系是非常重要的研究對象，是解決數(shù)學(xué)問題的關(guān)鍵。下面描述的是不等式的內(nèi)容和它本身的一些問題，其中有不等式的基本概念和中學(xué)中常見的不等式。

不等式是指不等量關(guān)系的式子，它分為嚴(yán)格不等式和非嚴(yán)格不等式，用數(shù)學(xué)符號“>”“<”連接的不等式稱為嚴(yán)格不等式，用“≥”“≤”連接的不等式稱為非嚴(yán)格不等式，也稱為廣義不等式。總的來說，用“≠”“>”“<”“≥”“≤”這些數(shù)學(xué)符號連接起來的式子，叫作不等式。

二、中學(xué)數(shù)學(xué)中的不等式試題研究

(一)不等式試題的統(tǒng)計與分析

我們知道中學(xué)數(shù)學(xué)中的不等式主要集中在高中階段，而高中教育的最終目標(biāo)就是高考，高考標(biāo)準(zhǔn)化是由制定高考的大綱、試題的編擬和試卷的合成的標(biāo)準(zhǔn)化、考試實施的標(biāo)準(zhǔn)化、評分的標(biāo)準(zhǔn)化、分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)化的標(biāo)準(zhǔn)化這五個部分構(gòu)成。而在高考中，不等式又有著舉足輕重的地位，被很多的研究者作為研究對象進(jìn)行研究。例如，《高中數(shù)學(xué)不等式高考試題分析與教學(xué)策略研究》的作者張惠淑對近幾年來高考中的不等式內(nèi)容進(jìn)行分析和總結(jié)，并對不等式教學(xué)提出了相應(yīng)的教學(xué)目標(biāo)。

1.不等式內(nèi)容的考點統(tǒng)計與分析

對于不等式試題的統(tǒng)計，筆者從近幾年的高考入手，并加以分析。雖然不等式涉及的知識點很廣，但是高考對不等式的考查還是有著一定范圍的。根據(jù)高中教材和高考的說明，筆者從不等式性質(zhì)的應(yīng)用、解不等式、不等式中的線性規(guī)劃、求最值和取值范圍這幾個方面，來統(tǒng)計2017年到2020年這四年來不等式在高考中出現(xiàn)的頻率。如表1所示。

從表格中可以看出，各個地方近四年來高考涉及的不等式知識頻率較高的是最值問題和解不等式。其中全國Ⅰ卷中，解不等式知識出現(xiàn)的頻率最高，達(dá)到9次；全國Ⅱ卷中涉及不等式知識點頻率最高的是求最值問題，達(dá)到8次；全國Ⅲ卷中涉及不等式知識出現(xiàn)頻率最高的還是求最值問題；就北京卷而言，近四年來高考中涉及的不等式知識點的頻率比較均勻。以上是各個地方近四年來高考中涉及不等式知識出現(xiàn)的頻率分析，據(jù)此我們可以清楚地了解到各個地方對于不等式的考查更側(cè)重于哪個知識模塊。

2.不等式出現(xiàn)的題型統(tǒng)計與分析

在數(shù)學(xué)的高考試卷中除了江蘇卷沒有選擇題，其他的數(shù)學(xué)高考卷中的題型分為選擇題、填空題和解答題。筆者以2020年各個地方數(shù)學(xué)高考試卷中涉及不等式出題的類型及關(guān)于不等式出題數(shù)在總題量中占的比值進(jìn)行統(tǒng)計。如表2所示。

從2020年高考數(shù)學(xué)不等式相關(guān)試題出題類型統(tǒng)計表中可以看出，不等式占總題量的比值都在30%以上，其中最高的是北京卷和江蘇卷占到50%，天津卷占到40%，全國Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ卷的比值在30%以上。2020年關(guān)于不等式的出題量各省都是大于或等于7題，江蘇卷有11題，天津卷和北京卷都有10題，全國Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ卷分別有7題、9題、9題。從題型數(shù)量上看填空題少于解答題少于選擇題，而天津卷中解答題與填空題都有5題不等式的題目。

(二)中學(xué)數(shù)學(xué)中的不等式試題類型及解法

根據(jù)對近幾年來全國各個地方高考數(shù)學(xué)涉及的不等式知識中了解到，高考數(shù)學(xué)主要是從解不等式、不等式性質(zhì)的應(yīng)用、不等式中的線性規(guī)劃、求最值和求取值范圍這五個方面來考查，下面將對這五個方面和解題經(jīng)常用的方法進(jìn)行研究。

1.解不等式問題

解不等式經(jīng)常會用到幾何、函數(shù)、集合、導(dǎo)數(shù)等知識點，涉及的不等式有一元一次和一元二次不等式、高次不等式和指數(shù)不等式等。根據(jù)題目要求可以直接解出不等式或間接解不等式。一般情況下，這個問題會以選擇題和填空題的形式出現(xiàn)，但也會以解答題的形式出現(xiàn)。

(1)直接解不等式問題

(2020年高考全國Ⅰ卷)設(shè)集合A={x|x2-4≤0}，B={x|2x+a≤0}且A∩B={x|-2≤x≤1}則a=( )。

A.-4

B.-2

C.2

D.4

分析：先求出集合A、B，再根據(jù)數(shù)軸上交集的結(jié)果得到關(guān)于a的方程，最后解出方程就可以得到a的值了。

(2)間接解不等式問題

分析：這道題涉及高中必修4里的三角函數(shù)知識，解此題要熟悉三角函數(shù)的和角公式，通過降冪變?yōu)槲覀兪煜さ恼液瘮?shù)，最后求出f(x)在區(qū)間上的最值。

2.不等式性質(zhì)的應(yīng)用問題及解析

利用不等式性質(zhì)來比較大小在利用不等式性質(zhì)來比較大小的題型中，很多時候會涉及三角函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)等知識，因此解決這類問題，就要對這些知識點牢固掌握并能靈活地運用。如下列題型。

(2020年數(shù)學(xué)高考全國Ⅰ卷)若2a+log2a=4b+2log4b，則( )

A.a>2bB.a<2b

C.a>b2D.a

3.線性規(guī)劃問題

線性規(guī)劃問題差不多每一年的高考都會考，其主要是對最值問題的考查，出題的形式也是有選擇題和填空題、解答題，主要以選擇題與填空題的形式出現(xiàn)。線性規(guī)劃問題要根據(jù)圖形求出最值，很多時候它的題型都差不多，但也有一些與常規(guī)題型不同的題，這時解題就需要較強的遷移能力。

分析：根據(jù)題目中的條件作出約束條件的圖形，并畫出可行域，根據(jù)目標(biāo)函數(shù)找出合適的坐標(biāo)，求出最大值。

4.不等式最值問題

求最值是比較常見的問題，也經(jīng)常運用到基本不等式、柯西不等式等知識，并結(jié)合圓錐曲線與直線的臨界問題出現(xiàn)。

分析：這道題是利用均值不等式來求最值的。常用的求最值的方法有分離法、換元法、直接法、“1”的替換法等，需根據(jù)題型選用。例如對于多元不等式問題，比較簡便的方法就是換元，把多元的問題轉(zhuǎn)化為一元的問題，從而解題。

5.不等式取值范圍問題

求不等式的取值范圍也是常考的一個知識點，主要考查不等式與函數(shù)、向量之間的關(guān)系。近幾年來的高考數(shù)學(xué)中經(jīng)常以選擇題、填空題的形式出現(xiàn)。

A.(-2，2)

B.(-∞,-2)∪(2,+∞)

C.(-∞,-2]∪[2,+∞)

D.[-2,2]

三、總結(jié)和建議

(一)關(guān)于中學(xué)數(shù)學(xué)中的不等式題目解法研究總結(jié)

不等式在數(shù)學(xué)中占著重要的地位，它涉及的知識體系非常廣，在龐大的數(shù)學(xué)體系中有著不可缺少的地位。本文主要以比較有代表性的高考不等式試題作為統(tǒng)計對象，進(jìn)行研究。

在統(tǒng)計研究中發(fā)現(xiàn)高考的選擇題、填空題、解答題(除江蘇卷沒有選擇題外)里都有涉及不等式的知識，在題量上解答題多于選擇題多于填空題，并且每一年題型的變化情況相差不大，其題量大多占總題量的百分之三十以上。

在高考中，有關(guān)不等式的試題有五種類型：解不等式問題、不等式性質(zhì)的應(yīng)用、不等式中的線性規(guī)劃、求最值和求取值范圍。通過對這些題型的分析發(fā)現(xiàn)，它們的解決涉及的知識點很多，集合、函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、圓錐曲線等知識都有涉及，或者是解決集合、函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、圓錐曲線等知識問題時，不等式是解決問題的關(guān)鍵。而直接考查不等式的問題卻比較少。

在解不等式問題時，如果只停留在找出答案是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的，要靈活運用所學(xué)知識，多方面思考問題，找到突破點，從而解決問題。在面對形式各異的題型中如果遇到無理不等式時，要把其轉(zhuǎn)變成熟悉的有理不等式來求解；遇到有理不等式的分式不等式時，要把其轉(zhuǎn)變成容易求解的整式不等式；如果是整式不等式中的高次不等式，就把其轉(zhuǎn)變成低次不等式。并且要學(xué)會用數(shù)形結(jié)合的方式來分析解題，這在解決不等式的線性規(guī)劃問題中經(jīng)常用到。

(二)教學(xué)建議

教學(xué)不等式時，要從教材出發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生掌握好基礎(chǔ)知識，再通過不等式的練習(xí)提高解題能力。

在不等式的教學(xué)中，要教會學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光看問題，用數(shù)學(xué)的思想解決問題，要重視學(xué)生能力的培養(yǎng)，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。教學(xué)中要重視知識的系統(tǒng)性，并且要根據(jù)學(xué)生的知識結(jié)構(gòu)，有針對性地進(jìn)行教學(xué)，鼓勵學(xué)生一題多解，培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散性思維，讓學(xué)生在多種解法中找到適合自己的解法，進(jìn)行快速解答。