從原型到模型:在變形中找尋等量關系

摘要：緊扣恒等變形前后的代數式局部相等關系，可以建構方程模型解決問題.本文中以一道完全平方式問題為背景，介紹了用代數式恒等變形建模解題的過程，并給出了要重視基本概念的教學、突出對應關系的梳理、強化數學模型的認知的教學感悟．

關鍵詞：數學模型；案例分析；解題策略

代數式的恒等變形中，從同類恒等中抽象出的等式，是我們建構方程模型常見的依據．掌握恒等變形的基本方法與常用技巧成為了代數式運算教學的重點．乘法公式是濃縮了過程的多項式乘法運算，是整式乘法的運算技巧與運算策略的典型代表．因而，教學中我們常以本學段常見的平方差公式和完全平方公式的恒等變形衍生出的字母求值問題，作為教學例題來引導學生發現此類問題求解的一般策略．本文中擬結合一道完全平方式問題來談談筆者對此的思考．

1 問題及分析

1.1 題目呈現

若x2＋（m－1）x＋16是完全平方式，求m的值．

1.2 問題分析

1.2.1 何為完全平方式？

人教版八年級上冊“14.3.2公式法”中告訴我們：兩個多項式（a2＋2ab＋b2與a2－2ab＋b2）是指“兩個數的平方和加上（或減去）這兩個數積的2倍”，我們把這樣的式子叫做完全平方式．完全平方式包含三個部分：兩個數的平方，兩個數的積的2倍．兩個數的平方之間是用加號連接，而它們與“兩個數的積的2倍”之間既可以用加號連接，也可以用減號連接．

根據“把整式乘法的完全平方公式的等號兩邊互換位置”等號左邊即為完全平方式的教材表述，完全平方式還可以寫成“兩個數的和（或差）的平方”形式．也就是說，“兩個數的平方和加上（或減去）這兩個數的積的2倍”與“兩個數的和（或差）的平方”是相等的．即完全平方式既可以是a2＋2ab＋b2或a2－2ab＋b2的形式，也可以是（a＋b）2或（a－b） 2的形式．

1.2.2 如何解題？

由“x2＋2（m－1）x＋16是完全平方式”可知，它應是a2＋2ab＋b2或a2－2ab＋b2的形式，當然也可以寫成（a＋b）2或（a－b） 2的形式．那么，a，b究竟是什么呢？參照乘法公式：x2對應a2，16對應b2，那么a就是x，b就是±4．接下來，我們先寫出變形后的式子，再逆推完全平方式的形式：（x＋4）2＝x2＋8x＋16，（x－4）2＝x2－8x＋16．再把x2＋8x＋16，x2－8x＋16與題目所給出的式子x2＋2（m－1）x＋16對應，不難發現，2（m－1）可為8，也可為－8．于是，2（m－1）＝8或2（m－1）＝－8，接下來再去求m的值就很簡單了．

上述分析過程可轉化為如下推理過程：

因為x2＋2（m－1）x＋16是完全平方式，所以可得

（x±4）2＝x2±2x×4＋16＝x2±8x＋16＝x2＋2（m－1）x＋16．

所以2（m－1）＝±8，……

說明：由于接下來求m的過程與本文主題關聯不大，在此就不再贅述了.

1.2.3 如何教學？

回到定義去，是本題教學的基本方法．何為完全平方式？a2±2ab＋b2．這個式子還可以變形為（a±b）2．所以，利用（a±b）2＝a2±2ab＋b2的恒等變形，再與給出的式子來進行對照比較，得出了解題模型就簡單了．所以，如果筆者來教學本題，首要任務便是讓學生知道什么是完全平方式，它有幾種形式，進而進一步追問“在x2＋2（m－1）x＋16中，a2±2ab＋b2中的a和b分別是誰？”“你能寫出變形后的式子嗎？”“你能再把它拆開嗎？”可能有人要問，這么變來變去有必要嗎？有必要，而且很有必要．我們來梳理一下學生對完全平方式的認知歷程，學生在“4.2乘法公式”中學習了完全平方公式（a±b）2＝a2±2ab＋b2，然后經歷了一些訓練，對這兩個公式已經有了深刻的認知，把一個形如（a±b）2的式子“展開來”還是比較容易的.而完全平方式是在“4.3因式分解”中學習的，學生對逆用a2±2ab＋b2＝（a±b）2來因式分解并不熟練.如何能想到中間項“±2ab”是怎么來的呢？所以，本例題的教學方法就是引導學生找準a，b，再通過完全平方公式（a±b）2＝a2±2ab＋b2變形，最后，將原式與變形后的式子比對建構，形成模型，即可得解．

2 教后感悟

2.1 要重視基本概念的教學

如果要問一線教師“完全平方式和完全平方公式有沒有區別？”估計不少老師會說沒有區別．真的沒區別嗎？不是的．完全平方公式是指（a±b）2＝a2±2ab＋b2．很明顯，完全平方公式是一個等式，是一個包含運算過程的恒等式，而完全平方式是什么？是a2＋2ab＋b2和a2－2ab＋b2，即a2±2ab＋b2，是一個多項式，是一個不含等號的、具有固定元素的式子．雖然它也可以寫成（a±b）2的形式，但從嚴格意義上來講，（a±b）2是不能叫做完全平方式的．因為它沒有完成平方式的“兩個數的平方和加上（或減去）這兩個數的積的2倍”的外形，所以，別小看了一個“公”字，一字之差，差別可就大了．再回到定義后，我們不僅明晰了完全平方公式和完全平方式的含義，還厘清了二者之間的區別和聯系．這樣一來，接下來的教學中，學生就不會再把完全平方式與完全平方公式混淆了！而真正回歸定義后，把握住完全平方式及其變形后式子的恒等關系，文中所述的類似題目求解就變得非常簡單了．

2.2 要突出對應關系的梳理

對應是大自然中客觀存在的現象，這種現象在數學中也是普遍存在的．比如，數軸上的點與實數存在一一對應的關系，兩個全等三角形中存在對應點、對應邊、對應角……這些對應，有著數與數的對應、數與量的對應、數與形的對應、形與形的對應等，把握這些對應關系是我們探索數學奧秘的重要途徑．所以，讓學生理解并用好數學中存在的對應關系，將有助于學生數學能力的發展．在本文的例題教學中，就需要學生反復對給出的式子及所學的完全平方式的對應關系進行梳理．首先，a，b的確定，就是一次對應關系的梳理；其次，由于兩式的其他部分均相同，所以，2（m－1）自然就對應著±8．這一次梳理就完成等量關系的抽取，事實上，也就建構出了本題的解題模型2（m－1）＝8或－8．

2.3 要強化數學模型的認知

與小學學段相比，學生進入初中后，方程、不等式、函數等代數模型出現的次數明顯增多．這些模型不僅是學生獲取“四基”的工具，更是他們分析問題和解決問題的工具．以本文中的完全平方式和完全平方公式為例，這兩個都是數學模型，遇到和這兩個式子形式一樣、內涵相同的式子，就可以套用兩式來計算或解決相關問題．比如，計算（2x＋1）2就可以直接套用完全平方公式（a+b）2＝a2+2ab＋b2得到結果；對x2－8x＋16因式分解同樣可以套用a2－2ab＋b2＝（a－b）2．這種從“外形辨析到模型套用”的過程需要學生具有較強的模型記憶能力和識別套用能力，需要依賴于教師長期對數學模型教學的重視．事實上，初中數學教學中數學模型可隨時發揮作用．除了代數中的方程、不等式、函數，幾何中常見的基本圖形及其性質，統計中的圖表及計算公式都會出現在學生的數學學習中．因此，發展模型觀念，教師要引導學生充分認識模型，理清模型的生長背景，深度分析模型架構，摸清模型的應用路徑，讓學生“對運用數學模型解決實際問題有一個清晰的認識”［1］，為其數學建模素養的發展夯實基礎．

3 寫在最后

代數式的恒等變形中，有著諸多的“變”與“不變”．恒等，意味著除了整體相等外，還存在著局部的匹配，這種匹配自然包含了等號左右兩邊對應部分的數式相等關系．事實上，很多與代數式變形相關的數學問題正是通過這種局部匹配來形成方程這一解題模型的．因此，代數式的恒等變形過程對于問題解決是十分重要的．所以，教學時不僅要重視變形依據的教學，更要重視學生對變形過程的體驗，讓其在反復應用中不斷強化感知．當然，如能像本文這樣用學過的公式來簡化變形過程，效果會更好．當遇到此類問題時，教師要用心引導學生回歸變形過程，通過運算過程的再經歷，充分體會它們之間的等量關系，從而找尋出問題解決的路徑．

參考文獻：

［1］中華人民共和國教育部．義務教育數學課程標準（2022年版）［S］．北京：北京師范大學出版社，2022．