例題教學:在范式分析中發展學生“四能”

《義務教育數學課程標準（2022年版）》（下稱《課標（2022版）》）中提出了“增強（學生）發現、提出、分析和解決問題的能力”［1］（下稱“四能”）的教學要求．在初中數學課堂上，例題教學是達成增強學生“四能”這一目標要求的重要路徑．在教學過程中，可以通過建構例題分析的范式，幫助學生形成分析問題的基本思路，提升學生的“四能”．本文中擬以人教版七年級下冊“相交線”第1課時中的一道例題的教學為例談談筆者的做法及思考，供大家參考．

1 例題及其教學過程

1.1 例題及簡析

例題 如圖1，直線AB，CD相交于點O，OE平分∠AOC，∠BOE∶∠BOC＝5∶4，求∠DOE的度數．

簡析：這是“相交線”第1課時中的一道例題，意在鞏固新學的鄰補角、對頂角的定義及性質．由于所給條件不多，加之圖形比較簡單，學生很容易發現解法.由對頂角相等，可得∠BOC＝∠AOD．據∠BOE∶∠BOC＝5∶4，可得∠BOC＝4∠COE．設∠COE＝x°，則由角平分線可知∠AOE＝∠COE＝x°．所以∠AOC+∠COB＝6x°＝180°，解得x＝30．所以∠BOC＝∠AOD＝120°，∠AOE＝30°，則可得∠DOE＝150°．但由于學生接觸角的計算時間不長，缺少相關的解題經驗，想要所有學生都能一步到位，形成規范解題過程還是比較困難的．

1.2 教學過程

1.2.1 自主審題，探索解題思路

教師投影例題，并要求學生用筆在題干和圖形上分別進行對照標注，把能得到的結論盡可能在題目旁邊標注出來；隨即，學生自主審題，按照要求探索解題思路并嘗試給出解題過程；3分鐘后，組內交流，小組成員分享自己的解題思路．

1.2.2 全班交流，呈現分析范式

待小組交流結束后，教師引導學生開展全班交流，對題干中的條件與結論進行精細化分析.教師請學生將“直線AB，CD相交于點O”“OE平分∠AOC”和“∠BOE∶∠BOC＝5∶4”三個條件可生長出的結論在投影中即時標注．如，“直線AB，CD相交于點O”可得到∠AOB＝∠COD＝180°，∠AOC＝∠BOD，∠BOC＝∠AOD，∠AOC+∠BOC＝∠BOC+∠BOD＝∠DOA+∠BOD＝∠DOA+∠AOC＝180°，等等.依據“OE平分∠AOC”可得到∠COE＝∠AOE＝12∠AOC，∠AOC＝2∠COE＝2∠AOE，等等.

隨后，教師引導學生對所要求的∠DOE進行轉化：∠DOE可以等于∠DOA+∠AOE，也可以等于∠COD－∠COE．而∠AOE=∠COE，這兩種求法都與∠COE有關．因此求出∠COE的度數也就成為解題的首要任務．如何求∠COE的度數呢？結合條件分析，不難發現∠COE＝12∠AOC．接下來圍繞如何求∠AOC的度數展開交流．在深挖“∠BOE∶∠BOC＝5∶4”這一條件可生長出的結論后形成了解題的切入點，并就“5∶4”進行追問，喚醒學生建構方程模型解決問題的經驗．

在此過程中，教師緊扣題目給出的文字、圖形和符號等進行對照分析，并做好充分示范，讓良好的習慣成為問題解決和范式分析的一部分，更好地影響和推動學生良好行為習慣的養成．

1.2.3 作答展示，規范解題過程

教師安排學生自主解答，5分鐘后，從學生的解答中挑選出幾個具有典型“問題”的過程進行投影，點評并針對性矯正.隨后展示出規范的過程，讓學生結合其修正自己的過程.待學生調整完畢，教師再請學生交流解題（尤其是獲取解題思路時）方法上的收獲，并重點梳理“從條件深挖、結論關聯中找尋解題思路”的分析范式，明確該分析范式是今后分析問題的重要方法，可在不同類型的問題解決中類比使用．

2 例題教學過程分析

2.1 獨立思考先于集中交流

本文中這道例題的教學，教師先安排學生基于教師提出明確要求下的獨立思考．這種帶著任務的自主活動，對學生的“四能”形成是至關重要的．學生是學習的主體，無論是數學知識，還是數學技能，只有學生自己獲得的，才是牢靠的，才能真正融入到學生的認知結構中，成為學生數學素養的重要組成部分．因此，不管教學內容、教學時段如何，學生個體的獨立思考一定要提前安排，一定要讓他們充分經歷．顯然，本文中這道例題的教學給出了很好的范式，教師讓學生自己先思考，然后再交流，這樣讓學生在有自己思維參與的情況下，深度參與例題教學，從而形成有效的認知．對學生的持續發展是十分有益的．

2.2 深度分析重于淺層求解

對數學問題的理解深刻與否，能否給出問題的求解過程并非唯一指標，筆者以為厘清問題的枝節及其與數學知識體系的關聯或許遠比淺層次的問題解決要重要很多．例題教學如果僅停留在例題的解法分析上，而忽略了獲取解法過程中對例題本身的深度分析是不可能深刻的．顯然，本文中對例題的分析是深刻的、到位的，在教師的循循善誘下，學生嘗試從條件生長結論，在結論探求中不斷與條件關聯，一個條件生長出多個結論．這些結論有與問題解決相關的，也有問題解答幾乎用不上的，但是交流中，都采取不拋棄、不放棄的策略，讓學生把相關結論說得清清楚楚、理得明明白白，著實讓學生體會到了“基于同一條件生長出的多個結論，應根據基本情境選用、適用”的理論．這樣的思維與交流過程，讓學生的思緒在發散中收斂，在收斂中聚焦，起到了很好的發展“四能”、提升素養的作用．

2.3 矯正優化成于過程體驗

教師安排學生探索思路后，自主解答，并基于解答成果進行“問題”過程的范式化、完整過程的標準化，讓學生發現自己分析問題過程中的漏洞，看到他人解法中的亮點與不足，并在點評、交流、矯正中實現方法的優化完善，對分析范式起到了較好的鞏固強化作用．顯然，學生自主求解與分析比對，是成就矯正優化的基礎．試想，如果沒有充分的體驗，學生就不太可能對自己的求解過程有清醒的認識，其修正也就不太可能如文中所描述得那樣順暢了．

3 幾點感悟

3.1 范式分析要有深度、廣度

例題教學不可就題講題，想要通過例題教學提升學生的“四能”，解題思路的自然貫通尤為重要．在例題教學中，教師要通過分析范式的建構與應用來提升例題教學的品位，把例題教學的深度和廣度拓展開來，讓學生真正在例題的分析、交流和解答中獲得超出例題蘊含知識之外的方法．以本文中的例題為例，不少學生可以解出來，但這樣的教學僅停留在這道例題之上，沒有例題解法之外的收獲，這顯然是我們進行例題教學所不想看到的．案例中，教師充分采用“綜合分析”法，讓學生基于條件展開充分推導，發現所有能得到的結論，再基于結論進行訴求返尋，讓條件與結論間的關聯不斷靠近，最終在問題解決的同時，也為學生分析解決類似數學問題提供了一個思維范式．

3.2 范式分析要持之以恒

學生“四能”的成長，源于一定數量的例題教學中分析范式的建構與應用積聚，由量變轉化為質變．也就是說，當一定數量的例題范式分析后，范式分析過程和基于過程中的知識技能提取應用才會真正成為學生分析問題的范式，融入學生的認知技能中，成為其面對數學問題的一種自覺行為，取之即來，來之即用．而本文中的這種對條件、結論的細致分析，對任何一道數學問題的分析與解答都是適用的．這一能力的培養是需要從“相交線”第1課時開始，然后在今后的每一節課中都一以貫之地執行下去，并不斷地讓學生自我嘗試、自我矯正、自我完善．終有一天，如文中教師那樣有耐心、有毅力又有方法的范式分析自然會成為學生數學認知的一部分．

3.3 例題教學要重視范式應用

之所以要建構問題分析的范式，還是為了讓學生分析問題和解決問題有法可依，有據可循．所以，任何分析范式一旦建構成型，就應立即投入使用，使之成為學生分析問題和解決問題的工具．為此，教師應選出一批適用范式的配套練習，在學生獲取范式后供學生針對性訓練．當然，范式的應用也不是一帆風順的，也會有波折，這就需要教師給予適時的幫助與指導，以便學生矯正自己的分析行為，將范式規范而準確地應用到問題解決過程中去．總之，分析范式的形成不僅依賴于關鍵例題的教學，更依賴于適量的針對性練習的鞏固與強化．

參考文獻：

［1］中華人民共和國教育部．義務教育數學課程標準（2022年版）［S］．北京：北京師范大學出版社，2022．