單元整體理念下教學內容的再思考與整合

摘要：數學是一門研究數量關系和空間形式的學科，它的嚴謹性和邏輯性使得各個知識點之間存在著千絲萬縷的關系，而且很多知識點可以串聯在一起成為一個整體.單元整體形式的教學內容安排是一種很好的知識結構化的形式，它可以讓學生對某一部分的知識點有一個整體的把握，形成非常清晰的知識導圖，并且能夠理解在這個結構圖中哪些是關鍵要素和難點，還可以在知識網絡的邊緣進行拓展提升，對知識理解的深度和廣度大有幫助.

關鍵詞：結構;單元整體;深度

數學是一門研究數量關系和空間形式的學科，它的嚴謹性和邏輯性使得各個知識點之間存在著千絲萬縷的關系，而且很多知識點可以串聯在一起成為一個整體.《義務教育數學課程標準（2022版）》要求學生通過經歷獨立的數學思維過程，理解數學基本概念和法則的發生與發展；經歷數學“再發現”的過程，理解數學基本概念之間、數學與現實世界之間的聯系.為實現這一目標，其中很重要的一條措施就是對內容進行結構化整合.

單元整體教學是統觀全局，把握數學知識內在邏輯關聯的系統性設計［1］.

它可以讓學生對某一部分的知識點有一個整體的把握，形成非常清晰的知識導圖，并且能夠理解在這個結構圖中，哪些是關鍵要素和難點，還可以在知識網絡的邊緣進行拓展，對理解知識的深度和廣度大有幫助.本文中以設計“平行四邊形的判定”的關鍵教學過程為例來闡述觀點.

1 “平行四邊形的判定”單元整體教學設計

每一版塊幾何知識的學習都會經歷定義、性質、判定和應用的過程，平行四邊形也不例外，判定的學習是在定義和性質之后，根據大單元和大概念理念，判定的學習和探究可以從回憶平行四邊形的性質開始.

1.1 第一課時教學設計

教師引導：同學們，請回憶平行四邊形的性質.

如圖1，四邊形ABCD是平行四邊形，對角線AC與BD相交于點O，

可以得到哪些結論？

結論：（學生回答）（1）AB∥CD，（2）AD∥BC，（3）AB=CD，（4）AD=CB，

（5）AO=OC，（6）OB=OD，（7）∠BAD=∠BCD，（8）∠ABC=∠ADC.

教師提示：請大家思考，對于一個幾何圖形我們學習了性質之后一般學習什么內容？這個內容跟性質之間又有什么關系？

學生回答：一般情況下學習性質之后學習判定，判定和性質之間的關系是互為逆命題.

提問：根據定義“兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形”，即根據結論（1）和（2）可以組成一個逆命題來判定一個四邊形是平行四邊形，那么請同學們思考，還有哪些結論有組成逆命題的可能性？

學生經過思考回答：如果按照組合的方式，根據分類討論的思想還有（1）（3），（1）（4），（1）（5），（1）（6），（1）（7），（1）（8），（2）（3），（2）（4），（2）（5），（2）（6），（2）（7），（2）（8），（3）（4），（3）（5），（3）（6），（3）（7），（3）（8），（4）（5），（4）（6），（4）（7），（4）（8），（5）（6），（5）（7），（5）（8），（6）（7），（6）（8），（7）（8），總共27種情況.

提問：分類情況有很多，該怎么辦呢？

學生回答：雖然分類情況很多，但是有很多種情況從對稱的角度來講是相同的.

學生通過獨立思考，逐一分析比較發現：（1）（5），（1）（6），（2）（5）和（2）（6）；（1）（7），（1）（8），（2）（7）和（2）（8）；（2）（3）和（1）（4）；（2）（4）和（1）（3）；（3）（5），（3）（6），（4）（5）和（4）（6）；（3）（7），（3）（8），（4）（7）和（4）（8）；（5）（7）和（6）（8），（5）（8）和（6）（7）.這里的每一組里的情況都是一樣的.所以以上的27種情況可以精簡為11種情況：（1）（3），（1）（4），（1）（5），（1）（7），（3）（4），（3）（5），（3）（7），（5）（6），（5）（7），（5）（8），（7）（8）.

為了讓學生能夠更加方便理解和接受，教師從簡單到復雜排序讓學生逐個解決：

（1）（3），（1）（4），（1）（5），（1）（7），（3）（4），（5）（6），（7）（8），（3）（5），（3）（8），（5）（7），（5）（8）.

教師引導：根據以上分析，最終確定有11種情況可作為判定平行四邊形的命題，接下來我們就逐一進行分析和證明.首先看第一種情況——（1）（3）組合.

把（1）（3）組合翻譯成幾何語言：已知在四邊形ABCD中，AB∥CD，AB=CD，判斷四邊形ABCD是否為平行四邊形.

給予學生充足的時間自主完成證明.

證明：如圖2，連接AC.

∵AB∥CD，

∴∠BAC=∠DCA.

又∵AB=CD，AC=CA，

∴△ABC≌△CDA.

∴∠CAD=∠ACB.

∴AD∥BC.（根據定義“兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形”證明四邊形ABCD是平行四邊形.）

總結得到第一個判定定理：一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形.

設計意圖：形成這個命題的幾何形式時，必須重新畫圖給出一個沒有對角線的四邊形ABCD，因為添加輔助線對學生來說本身就是一種很好的思維挑戰，否則會大大降低題目的挑戰性.給學生充足的時間思考，在目前還不具有判定定理的情況下，只能從定義出發去判定一個四邊形是平行四邊形.

教師適當小結之后，引導學生繼續考慮下一種情況——（1）（4）組合.

轉化為幾何命題：如圖3，在四邊形ABCD中，AB∥CD，AD=CB，判斷四邊形ABCD是否為平行四邊形.讓學生獨立思考并且分析得到反例：等腰梯形.所以這個逆命題不能成為判定平行四邊形的定理.

把（1）（5）寫成幾何語言：如圖1，已知在四邊形ABCD中，AB∥CD，對角線AC，BD相交于點O，且AO=OC，判斷四邊形ABCD是否為平行四邊形.

證明：∵AB∥CD，

∴∠BAO=∠DCO，∠ABO=∠CDO.

又∵OA=OC，

∴△ABO≌△CDO.

∴AB=CD.

又∵AB∥CD，

∴四邊形ABCD是平行四邊形.

設計意圖：從整體知識結構上理解了除特殊的可以作為判定定理的命題以外，也存在其他能夠證明四邊形是平行四邊形的命題的可能性，并且對前面的判定定理也是一種很好的鞏固.

按順序繼續分析（1）（7）：如圖4，已知在四邊形ABCD中，AB∥CD，

∠BAD=∠BCD，判斷四邊形ABCD是否為平行四邊形.

先讓學生獨立思考，自主完成證明.

證明：∵AB∥CD，

∴∠ABC+∠BCD=180°.

∵∠BAD=∠BCD，

∴∠ABC+∠BAD=180°.

∴AD∥BC.

∴四邊形ABCD是平行四邊形.

教師追問：有沒有其他的證明方法？

學生思考回答.

證明：如圖5，連BD.

∵AB∥CD，

∴∠ABD=∠CDB.

又∵∠BAD=∠BCD，

BD=DB，

∴△ABD≌△CDB.

∴AB=CD.

又∵AB∥CD，

∴四邊形ABCD是平行四邊形.

按順序繼續分析（3）（4）：已知在四邊形ABCD中，AB=CD，AD=CB，判斷四邊形ABCD是否為平行四邊形.

證明：如圖6，連接AC.

∵AB=CD，BC=AD，

AC=CA，

∴△ABC≌△CDA.

∴∠BAC=∠DCA.

∴AB∥CD.

又∵AB=CD，

∴四邊形ABCD是平行四邊形.

總結得到第二個判定定理：兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形.

分析（5）（6）：如圖1，已知四邊形ABCD中，對角線AC和BD相交于點O，OA=OC，OB=OD，判斷四邊形ABCD是否為平行四邊形.

證明：∵OA=OC，OB=OD，∠AOB=∠COD，

∴△AOB≌△COD.

∴AB=CD，∠OAB=∠OCD.

∴AB∥CD.

∴四邊形ABCD是平行四邊形.

總結得到第三個判定定理：對角線互相平分的四邊形是平行四邊形.

分析（7）（8）：已知在四邊形ABCD中，∠BAD=∠BCD，∠ABC=∠ADC，判斷四邊形ABCD是否為平行四邊形.

證明：∵∠BAD=∠BCD，∠ABC=∠ADC，

且∠BAD+∠BCD+∠ABC+∠ADC=360°，

∴∠BAD+∠ABC=180°，

∠ABC+∠BCD=180°.

∴AB∥CD，AD∥BC.

∴四邊形ABCD是平行四邊形.

總結得到第四個判定定理：兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形.

設計意圖：（7）（8）這種情況證明起來看似簡單，但是實際證明的時候是有難度的.相比較于前面幾種情況基本都可以用全等來證明，而這種情況全等幾乎是無效的，此問題的解決有助于拓展學生解決問題的思路.

1.2 第二課時教學設計思路

針對上一節課研究得到的幾個判定定理針對性的設計一些典型例題，讓學生繼續學習鞏固，融匯貫通，掌握這些判定定理使用的基本技巧，此處就不展開敘述了.

1.3 第三課時教學設計（拓展提升）

教師引導：第一課時中，關于平行四邊形的判定總結了11種情況，并且已經分析了7種相對比較常規的情況，總結出了四個判定定理，這節課我們將對剩下的四種情況（3）（5），（3）（8），（5）（7），（5）（8）進行探究.

首先探究（3）（5）：已知在四邊形ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，AB=CD，OA=OC，判斷四邊形ABCD是否為平行四邊形.

給學生足夠的思考時間后提問：大家有什么想法？請個別同學回答.

學生回答：根據給出的條件，能夠聯想到的結論是△AOB≌△COD，但是尋找這兩個三角形全等的條件時發現，只能找到“SSA”的對應條件，感覺沒法證明這兩個三角形全等.

教師引導：既然大家發現了“SSA”的情況，可能不能證明這兩個三角形全等，如果不全等，那么勢必不是平行四邊形，所以是不是可以嘗試構造反例來說明.

師生一起從反證的思想分析：如果四邊形ABCD是平行四邊形，那么一定有△AOB≌△COD，如果能夠構造出一個四邊形滿足AB=CD，OA=OC，但是△AOB不全等于△COD，這樣的四邊形一定不是平行四邊形，從而成為反例.由此想到先構造一個ABCD（如圖7），則必有結論AB=CD，AO=CO.然后，以A為圓心，以AB長為半徑作圓交對角線BD于點B′，所以AB′=CD，AO=CO，因為△AOB≌△COD，所以△AOB′不全等于△COD，可知四邊形AB′CD一定不是平行四邊形.故說明由（3）（5）構成條件的命題是不能判定四邊形是平行四邊形的.

設計意圖：利用反證法解決問題非常具有挑戰性，它需要學生先對問題進行分析抓住問題的本質，然后聯想以前學習過的知識點和這個問題的聯系，再利用以前的知識構造出反例解決問題，對學生學習能力的提升是非常有好處的.

教師引導：上面的問題我們利用之前學習過的全等三角形知識成功地構造反例得出了結論，接下來分析（3）（8）組合.

（3）（8）組合而成命題跟（3）（5）組合而成的命題有類似之處.在△ABC和△CDA中，AB=CD，AC=CA，∠ABC=∠CDA，兩個三角形滿足“SSA”的對應關系，不能判定這兩個三角形全等，從而懷疑不能判定四邊形ABCD是平行四邊形，故考慮從反面去構造.

教學建議：后面的構造過程可以放手讓學生獨立完成，這樣可以極好地鍛煉學生的類比遷移的能力.

答案呈現：如圖8，在△AB′D中，AB′=AD，C是邊B′D上的一點（B′Clt;CD），連接AC，作點B′關于AC中垂線的對稱點B，連接AB，BC，形成四邊形ABCD.由以上的作圖過程，可知BC=AB′=AD，∠ABC=∠AB′C=∠D，也就是滿足了一組對邊相等且一組對角相等，但是因為AB不等于CD，所以四邊形ABCD不是平行四邊形.

故由（3）（8）構成條件的命題不能判定四邊形是平行四邊形.

接著按順序分析（5）（7）：已知在四邊形ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，且

OA=OC，∠BAD=∠BCD，判斷四邊形ABCD是否為平行四邊形.

此問題從對稱的角度很容易想到箏形，如圖9，四邊形ABCD中，對角線BD垂直平分AC，OD≠OB.根據對稱性很容易得到OA=OC，∠DAB=∠BCD，但是四邊形ABCD不是平行四邊形，所以由（5）（7）構成條件的命題不能判定四邊形是平行四邊形.

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課堂小練：已知四邊形ABCD中，AC，BD交于點O，請從給定的四個條件

①AB=CD，②AD∥BC，③∠BAD=∠BCD，④BO=DO中

選擇兩個，使得四邊形ABCD可判定為平行四邊形，你的選擇是（" ）.

A．①②

B．②④

C．①③

D．①④

課后拓展分析（5）（8）：已知在四邊形ABCD中，對角線AC，BD相交于點D，且OA=OC，∠ABC=∠ADC，判斷四邊形ABCD是否為平行四邊形.

答案呈現：此問題從正面證明比較困難，所謂正難則反，嘗試從反面說明.當滿足OA=OC，∠ABC=∠ADC，那么OB不等于OD是不可能的.如圖10，假設OA=OC，∠ABC=∠ADC成立，但是OB=OD不成立.不妨設OBgt;OD，延長OD至點E，使得OE=OB，連接AE，CE.因為OA=OC，OB=OE，那么四邊形ABCE是平行四邊形，所以∠ABC=∠AEC，所以∠AEC=∠ADC與∠ADCgt;∠AEC矛盾，所以OB不等于OD是不可能的，所以四邊形ABCD一定是平行四邊形.

設計意圖：此組合情況有一定的難度，

需要學生有足夠的時間去獨立思考，

不要求所有學生都能理解，所以作為課后拓展比較合適.解決問題的過程中需要學生綜合運用各種數學方法，還會用到前面學到的平行四邊形的判定方法，借助對判定的研究鞏固前面學習的判定定理，是對知識很好的整合.

2 結語

傳統的初中數學教學，遵循的是“遞進式”的教學思路，即基于教材的編排，遵循數學知識之間的邏輯體系、難度梯度［2］.而

本文以“總-分”的形式整體設計和安排了本模塊教學內容，從平行四邊形的性質的逆命題的角度出發研究判定，非常符合數學研究的基本邏輯.用分類討論的思想方法完整地考慮了所有可能的情況，然后有序地進行逐一分析.首先研究常規情況，得到了四個基本的判定定理，在第三課時又對整體知識框架的邊緣進行研究，起到拓展提高的效用，對學生數學問題的理解和解決提出了更高要求.縱觀全局，這樣的設計更加能夠讓學生從總體上把握知識內容，在學生腦海中形成完整的知識導圖，起到了整理知識的功效，有助于學生在今后解決問題時有序地展開聯想，找到聯系，發現本質，從而解決問題.

參考文獻：

［1］

徐登峰.指向關鍵能力發展的數學單元整體教學策略［J］.中國數學教育，2021（Z3）：37-40，44.

［2］張躍.初中數學單元整體建構教學——以蘇教版初中數學“平面圖形的認識（一）”教學為例［J］.數學教學通訊，2020（17）：69-70.