基于“至簡數(shù)學”基本觀念的變式教學實踐

摘要：“至簡數(shù)學”基本觀念包括學生觀、教師觀、數(shù)學觀、教材觀、學習觀、教學觀.如何秉承“至簡數(shù)學”的基本觀念實施課堂教學，本文中以“關(guān)于原點對稱的點的坐標”的變式教學為例，擬秉承教材觀、學生觀、教學觀的教學策略，通過“始于簡單而終不簡單”的變式教學模式，致力于“改善學”實現(xiàn)學生自主發(fā)展，“改善教”實現(xiàn)增強教學效益.

關(guān)鍵詞：至簡數(shù)學；變式教學；“四基”；“四能”；數(shù)學素養(yǎng)

“至簡數(shù)學”基本觀念包括：學生觀是“人人享有學好數(shù)學的權(quán)利”，教師觀是“成為學生數(shù)學學習的重要他人”，數(shù)學觀是“數(shù)學是‘人的數(shù)學’‘活的數(shù)學’”，教材觀是“在充分理解的基礎上靈活運用”，學習觀是“只要好學就能學好，只有學會才能會學”，教學觀“始于簡單而終不簡單”［1］．

1 基于“至簡數(shù)學”的變式教學策略

1.1 基于教材觀，研“變式”教學

靈活運用教材，在充分理解教材的基礎上對教材進行再創(chuàng)造，使課時教學具有整體性，成為既有復習前知，又有預習新知，也有學習新知的教學范式，從而實現(xiàn)“形簡而神不簡”.

教材分析：

人教版九年級上冊第23章“旋轉(zhuǎn)”的知識結(jié)構(gòu)導圖如圖1.

從知識結(jié)構(gòu)圖可知，“關(guān)于原點對稱的點的坐標”一節(jié)處于本章中間位置.《義務教育數(shù)學課程標準（2022年版）》課程實施中教學建議第2點指出：“整體把握教學內(nèi)容，注重教學內(nèi)容的結(jié)構(gòu)化，幫助學生學會用整體的、聯(lián)系的、發(fā)展的眼光看問題，形成科學的思維習慣，發(fā)展核心素養(yǎng).”［2］基于此，為實現(xiàn)至簡數(shù)學“讓學生學簡單的數(shù)學，讓學生簡單地學數(shù)學，讓學生數(shù)學學得不簡單”的目標，對本節(jié)內(nèi)容進行“變式”教學研究.

初始設計：教學流程如圖2，由關(guān)于原點對稱的點的坐標，到求關(guān)于原點對稱的點的坐標，再到關(guān)于原點中心對稱的點的坐標變化規(guī)律的應用，最后到畫求關(guān)于原點對稱的圖形.屬于通用式設計，未能實現(xiàn)教材的“活”.

變式設計：教學流程如圖3，以教材例題為母題進行一題多變的變式教學模式，根據(jù)圖形的旋轉(zhuǎn)，由關(guān)于原點對稱的點的坐標，到求關(guān)于原點對稱的點的坐標，再到關(guān)于原點中心對稱的點的坐標變化規(guī)律的應用，然后到畫求關(guān)于原點對稱的圖形，接著到圖案的設計.各知識點之間相互交替形成一個閉環(huán)，整章節(jié)知識內(nèi)容環(huán)環(huán)相扣，使課時教學含單元教學、新授課教學含復習與預習教學，使單元知識結(jié)構(gòu)化，擬實現(xiàn)“理解”“再創(chuàng)造”教材的目標.

1.2 基于學生觀，讓“四基”落地

落實基礎知識，至簡數(shù)學擬通過“經(jīng)驗化數(shù)學”，引導學生運用已有的學習經(jīng)驗解決新的問題，激發(fā)每一位學生的思考，促進每一位學生的創(chuàng)新，讓數(shù)學學習變?yōu)樗伎己蛣?chuàng)新的實驗場，使得人人會學數(shù)學［3］.在案例變式教學中，擬通過課本教學例題，以至簡的知識問題串，誘發(fā)學生學習數(shù)學的欲望，逐步引導學生運用已有的構(gòu)造全等三角形的經(jīng)驗、方法，解決變式教學中旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)角度、旋轉(zhuǎn)方向發(fā)生變化的問題，領(lǐng)悟構(gòu)造全等三角形求解的通性通法，從而達到讓學生掌握基礎知識、學會基本技能、感悟基本思想、用活基本活動經(jīng)驗的教學目標.

1.3 基于教學觀，滲透“數(shù)學”素養(yǎng)

研讀分析教材，取簡易教學素材；融通知識要點，抓住數(shù)學核心；思“創(chuàng)新”教法，悟“變式”教學模式.本變式教學課例以過程原則為主導，通過“游戲數(shù)學”讓數(shù)學娛樂化，通過“動手數(shù)學”讓數(shù)學操作化，通過“實驗數(shù)學”讓數(shù)學實驗化，讓學生從具身認知、實踐認識、實驗認識等方面自然而然地獲得數(shù)學認知與發(fā)展.

以簡約方式，授簡明內(nèi)容，促學生學習.以信息技術(shù)化繁為簡，化抽象為直觀，本變式教學課例融合信息技術(shù)開展教學，利用希沃白板制作“基礎鞏固趣味選擇”數(shù)學小游戲，結(jié)合幾何畫板演示構(gòu)造全等三角形，運用幾何推理論證數(shù)學猜想的正確性，使學生樂于參與數(shù)學學習，樂于積極進行數(shù)學思考、探索創(chuàng)新.

變式教學課例中，通過數(shù)學猜想、實驗論證、幾何證明、從一般到特殊、從數(shù)字到字母、從抽象到直觀、經(jīng)歷實踐感知等，培養(yǎng)學生的數(shù)學素養(yǎng)，加強學生發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題、解決問題的能力，引導學生歸納總結(jié)解題的通性通法，培養(yǎng)學生的類比思想、構(gòu)造全等思想、數(shù)形結(jié)合思想、面積割補思想、轉(zhuǎn)換思想等，感悟數(shù)學素養(yǎng)，促進核心素養(yǎng)自然生長.

2變式教學案例

2.1 原題呈現(xiàn)

探究 如圖4，在直角坐標系中，作出下列已知點關(guān)于原點O的對稱點，并寫出它們的坐標.這些坐標與已知點的坐標有什么關(guān)系？

A（4，0），B（0，-3），C（2，1），D（-1，2），E（-3，-4）.

例 如圖5，利用關(guān)于原點對稱的點的坐標的關(guān)系，作出與△ABC關(guān)于原點對稱的圖形.

進行“變式”教學設計時，將上述探究與例題合二為一“創(chuàng)造”情境.

2.2 情境引例

在學校足球比賽模擬訓練中（定點傳球不考慮時間與位移）A，B，C，D，E，F(xiàn)，O七位同學的站位情況如圖6所示，思考：當A傳球給O時，O順時針轉(zhuǎn)90°傳球給F，F(xiàn)是否可以接到O傳來的球？并說明理由.

設計意圖：激發(fā)學生思考，引導學生進行數(shù)學建模，啟發(fā)學生進行思維轉(zhuǎn)化，將學生的站位當作點的位置建立幾何模型來求解.

2.3 “創(chuàng)造”變式例題

在學生建立坐標系判斷F是否可以接到球之前，請學生先思考如下問題：

（1）如圖7，請寫出A，B，C，D，E，F(xiàn)，O七位同學的坐標位置.

設計意圖：落實基礎知識，激發(fā)每一位學生的思維，以基礎為起點吸引學生積極參與學習.

（2）①請同學們寫出A，B，D，E關(guān)于原點對稱的點的坐標，并猜想：對稱點之間的坐標存在什么關(guān)系？

②猜想：若對任意點M（x，y），則點M（x，y）關(guān)于原點對稱的點的坐標為M1（-x，-y）.同學們可以證明它的正確性嗎？

實驗證明：如圖8，利用幾何畫板，拖動點M（x，y），引導學生觀察點M1坐標的變化情況.

幾何證明：如圖9，過點M，M1分別作x軸的垂線，垂足為N，N1，

引導學生構(gòu)造全等三角形進行證明，并思考判定三角形全等的依據(jù).

設計意圖：培養(yǎng)學生“四能”，引導學生通過推理證明結(jié)論的正確性，讓學生體驗由數(shù)字到字母、由特殊到一般、從猜想到數(shù)學實驗論證及推理的證明過程，培養(yǎng)學生感受數(shù)學的嚴謹性、辯證思維等素養(yǎng).

③基礎鞏固，趣味選擇.

在多媒體教學平臺自帶功能中設計趣味游戲活動.

設計意圖：通過趣味游戲活躍數(shù)學課堂，激發(fā)學生學習興趣，鞏固課堂知識內(nèi)容，提高限時計算速度和速算的準確率，增強學生的競爭意識.

（3）在圖7中，連接AB，AC，BC，作出△ABC關(guān)于原點對稱的圖形△A1B1C1.

解析：問題（3）答案如圖10所示.

設計意圖：落實課堂教學目標，引導學生分析、歸納、總結(jié)作圖方法，為變式訓練、知識遷移作鋪墊.

（4）在圖7中，以點E為對稱中心，作出△ABC關(guān)于點E對稱的圖形△A2B2C2.

解析：問題（4）答案如圖11所示.

設計意圖：進行知識遷移，改變對稱中心的位置，讓學生探究關(guān)于點對稱的坐標的解題通性通法，培養(yǎng)學生自主探究能力.

（5）在圖7中（F是否可以接到球的問題），連接AO，繞點O順時針旋轉(zhuǎn)90°得到點A3，求對應點A3的坐標.

解析：通過構(gòu)造全等三角形進行證明，如圖12，得到點A3與點F的坐標重合，所以F可以接到球.

設計意圖：改變旋轉(zhuǎn)角度，激發(fā)學生探究欲望，引導學生運用已有的活動經(jīng)驗解決新的問題，培養(yǎng)學生發(fā)現(xiàn)、提出、分析、解決問題的能力.

（6）在圖7中，若C傳球給O，O用與C同樣的力度逆時針旋轉(zhuǎn)90°傳球，B應往哪個坐標位置點接球？

解析：通過構(gòu)造全等三角形進行證明，如圖13，點C旋轉(zhuǎn)到點C3的位置，所以B在C3的坐標處接球.

設計意圖：改變旋轉(zhuǎn)方向，培養(yǎng)學生的作圖能力以及構(gòu)造全等三角形的思維方法，引導學生歸納總結(jié)求此類題型的通性通法，拓展學生思維空間，讓學生體驗從抽象到具體的轉(zhuǎn)化過程，發(fā)展學生數(shù)學素養(yǎng).

（7）在圖7中，點D繞點E順時針旋轉(zhuǎn)90°后得到點D1，求點D1的坐標.

解析：問題（7）答案為D1（-2，6），如圖14.

設計意圖：改變旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)角度，加強學生對知識的靈活運用，引導學生體驗、生成模型思想（“一線三垂直”“雙垂圖”等）.

（8）在（7）的條件下，求點D運動到D1時，所經(jīng)過的路徑長.

解析：問題（8）解題思維圖如圖15所示，答案略.

設計意圖：對知識進行深化、延伸，由求點的坐標拓展到求點的軌跡長，拓展學生思維空間，加強學生對綜合知識的運用能力，培養(yǎng)學生幾何直觀素養(yǎng).

（9）如圖16，當△AGO繞點O順時針旋轉(zhuǎn)90°時，求線段AG掃過的面積.

解析：問題9解題思維圖如圖17所示，答案略.

設計意圖：綜合運用，加強學生對數(shù)形結(jié)合思想的運用能力，滲透割補法求面積的方法技能，讓學生體驗化歸、轉(zhuǎn)換思想.

（10）如圖18，作出△ABC繞點O順時針旋轉(zhuǎn)90°，180°，270°后的圖形，并說明是什么模型圖，由此聯(lián)想到了什么知識或性質(zhì)、定理？

解析：問題（10）答案如圖（趙爽弦圖模型圖，勾股定理幾何推理圖等）19所示.

設計意圖：鞏固課時學習內(nèi)容，預習新課知識內(nèi)容.滲透數(shù)學文化、傳統(tǒng)文化，實現(xiàn)立德樹人的教學目標.

3 結(jié)語

通過“改善學”的“至簡數(shù)學”教學，讓全體學生“樂意學”，讓多數(shù)學生“沉迷學”，讓部分學生“善于學”．

通過“改善教”的“至簡數(shù)學”教學，讓參與研究的教師“輕松教”，讓愿意探索的教師“享受教”，讓深入研究的教師“善于教”．將“至簡數(shù)學”教學設計和教學實施作為自變量，專業(yè)素養(yǎng)作為因變量，能達到促進教師專業(yè)水平發(fā)展的目的．

學生學習的視角維度在探究中不斷發(fā)生變化，思維能力逐漸被喚醒，幾何直觀素養(yǎng)、推理能力獲得培養(yǎng)，思維空間不斷地擴容，數(shù)學素養(yǎng)自然而然地生長.

總之，至簡數(shù)學致力于“改善學”實現(xiàn)學生自主發(fā)展，“改善教”實現(xiàn)增強教學效益.

參考文獻：

［1］鄧凱.“至簡數(shù)學”秉承的基本觀念［J］.中學數(shù)學，2022（10）：18-19，23.

［2］中華人民共和國教育部.義務教育數(shù)學課程標準（2022年版）［S］.北京：北京師范大學出版社，2022.

［3］張景中.張景中教育數(shù)學文選［M］.上海：華東師范大學出版社，2021：34-47.