提升數學核心素養理念下的大學數學課程教學改革與研究

摘 "要 "以大學數學課程為載體，用實際數學案例分析在教學過程中如何滲透數學思想，拓展數學思維，掌握數學方法，營造學習氛圍，提高學習興趣，逐步提升六大數學核心素養。

關鍵詞 "數學核心素養；教學改革；高等數學；線性代數；概率論與數理統計

中圖分類號：G642.3 " "文獻標識碼：B

文章編號：1671-489X（2022）14-0086-04

Teaching Reform and Research of University Mathema-tics Course Under Idea of Improving Mathematics Core Literacy//WANG Yuhua， DU Chunxue， CUI Guifang， LAI Shuchen， CHEN Linjue

Abstract "Focusing on the teaching of college mathematics， "taking the courses of higher mathematics as the starting point，

this paper explores practical teaching cases to analysis how to

permeate mathematical ideas， guide students to learn mathema-

tics thinking， master mathematics learning methods， increase learning interest， and then create a good atmosphere of mathe-

matics education for students， and gradually improve their core literacy.

Key words "mathematic core literacy; teaching reform; ad-vanced mathematics; linear algebra; probability and statistics

0 "引言

隨著現代教育的高速發展，數學教育已具有豐富的內涵和外延。作為重要理論基礎課，大學數學課程的教學改革也越來越受到高等院校的重視。為了培養具備創新能力的新一代大學生，數學課程教學必須注重數學思想與方法的講授，注重學生創新思維能力和科學精神的培養，注重學生邏輯推理、直觀想象、數學運算、數學抽象、數學建模和數據分析等六大數學核心素養的提升[1-4]。本文以高等數學、概率論與數理統計、線性代數等數學課程的教學內容為例，通過具體教學案例，闡述授課過程中如何提升大學生的數學核心素養。

1 "從數學角度去認識自然，培養學生的直

觀想象能力

數學對觀察自然、解釋自然作出重要貢獻，世界上的一切事物似乎都可以用數學語言表達。著名物理學家伽利略曾說：“數學是上帝用來書寫宇宙的文字。”高等數學課程中就有很多這樣的“文字”描述自然生活中的重要現象，如常見的圓曲線、對數螺線、擺線、伯努利雙紐線、玫瑰線、拋物線等，這些曲線都是數學對眾多生活現象的量化與描述。自然界中常見的水流渦旋、鸚鵡螺殼、葡萄藤莖、蜘蛛網架構甚至漩渦形星系中的旋臂，這些客觀事物都表現出的統一規律——螺旋形態，就可以用數學上的對數螺線方程表述出來。工程上許多構件的形狀呈擺線狀態，擺線是數學中的重要曲線之一，種類繁多，比如以基線為直線的平擺線和余擺線、以基線為圓的內擺線和外擺線等。在機械工業中，內外擺線常被選用為齒輪輪廓曲線的一部分，以保證平滑地接觸。余擺線在農業機械中應用廣泛，如水稻插秧機、蘿卜收獲機等農用機械的運動軌跡呈余擺線狀。在真空行業中，常用余擺線來設計真空泵的轉子與泵腔的形狀。家庭生活中也能見到這些曲線的影子，如簡單的圓曲線在生活中隨處可見，像車輪、圓盤等很多事物的形狀都呈現為圓，電風扇的扇片呈三葉玫瑰線形狀。經濟上也常用一些特殊曲線表示量的關系，如用庫茲涅茨曲線表示收入分配與經濟增長的關系，用拉弗曲線描述稅收和稅率之間的關系。

數學是大自然的語言，教師在課堂上可將講授內容鑲嵌在具體的問題情境中，用上述具體實物形態培養學生的視覺思維，讓學生學會用數學的視角認識自然，用數學符號描述現象，用曲線圖形表述量的關系。進行擺線內容教學時，可用動畫演示各類擺線形狀，用視圖展示擺線在工業上的實際應用，實現化難為易、化靜為動，讓學生對擺線方程有直觀的了解，并結合應用實例，把研究問題具體化，提高學生應用數學的意識和解決實際問題的能力。在教學空間曲線和曲面時將幾何與代數結合，采用直觀的幾何圖形講授二次曲面方程[5]，讓學生領悟“數缺形時少直觀，形少數時難入微”的數形結合理念，從而培養學生的直觀想象能力。

2 "用數學思維理解問題，培養學生的邏輯

推理能力

大物理學家愛因斯坦曾說：“純粹數學，就其本質而言，是邏輯思想的詩篇。”事物之間的內在聯系、事物的發展規律都可以用數學的方式進行表達。在授課過程中，教師要幫助學生準確表達自己的思想，幫助學生用數學的思維解決問題，幫助學生掌握分析、抽象、綜合、歸納等數學方法，在知識的生成過程中逐步培養學生的邏輯推理能力。教師還要深入分析數學思想和方法在各知識間的聯系，進一步幫助學生構建思維結構，并合理完善知識網絡。下面就高等數學課程中的幾個問題分析如何培養學生的邏輯推理能力。

拉格朗日中值定理是高等數學課程中的重要定理，證明方法多種多樣：可以利用數形結合進行做差構造輔助函數法，以學過的羅爾定理為紐帶，推演定理結論[6]；也可采用逆向思維，從定理的結論出發，構造輔助函數，然后利用羅爾定理加以證明；還可以采用構造特殊行列式法加以證明。這三種方法都是以羅爾定理為橋梁，構造的輔助函數都滿足羅爾定理條件。教師在授課過程中一定要幫助學生理清新問題（拉格朗日定理）和老問題（羅爾定理）的內在聯系，掌握知識擴張所遵循的一般規律，培養學生的邏輯推理能力。用類比思想講授定積分、重積分、曲線曲面積分，領會各類積分定義和性質的共性以及計算方法的差異，培養從特殊到一般的邏輯推理能力；強調全微分公式的重要性和應用普遍性，為后續推導多元復合函數求導公式與隱函數求導公式提供理論研究；應用反證法證明調和級數發散，并引導學生繼續用縮放法證明調和級數的和可以趨于無窮大，培養學生反證的邏輯思維，并體會“積微成著”的思想理念。教師要重視學生學習過程的理性認識和感性認識，要幫助學生于無形中獲得提升邏輯推理能力的機會，在不知不覺中培養學生的創新意識和科學精神。

教師在教學過程中注重科學倫理和數學思維方法訓練的教育，用數學思維去理解現象，進一步培養學生的數學推理能力以及探究未知、尋找真理、攀登科學高峰的使命感。

3 "用數學方法研究問題，培養學生的數學

運算能力

針對自然科學的研究，一定要使用合適的數學方法加以演算、推導、分析和預測，可采用分析法、綜合法、歸納法、圖像法、窮舉法等數學方法。在講授過程中也要引導學生將運算原理和運算方法有效融合，并通過進一步的運算推理，促進計算技能的形成，逐步提高學生的數學運算能力。在進行行列式運算時，可根據行列式的特點，采用按行或列展開法、化上三角形（下三角形）行列式法、歸納法、定義法、加邊法等數學方法，并采用多個方法相結合去求解問題，做到具體問題具體分析。比如將圓方程變為橢圓方程，采用伸縮法對圖像進行推導，得出算理并推廣到三維空間中，將旋轉曲面變為其他的二次曲面。又如在進行多元函數求導時，可先根據復合結構畫出鏈式圖，采用分線相加、連線相乘、單路全導、岔路偏導的方法求解問題。不同的問題求解方法不同，這要求教師在教學過程中盡力幫助學生學會選擇適合的方法，掌握運算技巧，學會用數學方法去研究問題，并對知識進行構建，進一步提升數學運算能力。

4 "用數學思想感受世界，提升學生的建模

能力

為了培養高質量、高層次人才，適應現代化科技發展需要，很多高校已開設數學建模課程。數學建模主要運用數學的思想，根據提出的實際問題，采用數學的語言、數學的方法，通過數學抽象，建立數學模型并加以求解，即是用數學來求解實際問題的過程。這就要求學生對所提出的問題經過抽象概括后能形成本質認識，并運用數學語言建立模型，用數學的方法求解模型并驗證其準確性。

在課堂教學中，教師要逐步培養學生的建模思想，通過介紹經典的模型激發學生學習數學的動機，通過深入的分析去探究問題，逐漸提升學生獨立獲得知識的能力。比如大學數學課程中定積分的概念，通過大化小、常代變、近似和、取極限這四個分步驟，對曲邊梯形面積進行求解，并在求解過程中抽象出定積分的概念。這個初級建模過程包含化整為零、以直代曲、積零為整、無限逼近四大數學思想。借助幾何直觀和數學抽象，學生領會到化整為零的微元思想，了解以直代曲的線性化思想，體會積零為整的求和思想，理解無限逼近的極限思想，體驗從具體到抽象、從有限到無限、從特殊到一般的探索過程。讓學生理解數學思想，學會建模過程，并由此引導學生繼續使用上述數學思想解決旋轉體體積、側面積、曲線弧長、變力做功等實際問題。通過深入淺出的講解，讓學生領悟定積分是求解不均勻、不規則幾何量或物理量的有效工具，感受數學本身的價值。

在教師的引領下，學生通過建立簡單的數學模型，了解數學思想，形成思維習慣，發展創新意識，逐步提高數學建模的能力，從而大幅度地提高數學綜合素養。

5 "用數學工具解決問題，培養學生的數學

抽象能力

科學家狄拉克曾這樣說：“數學是一項工具，特別適合于處理任何一類抽象概念，而且，它在這方面的作用是無止境的。”大學數學的線性代數課程內容抽象，很多學生認為晦澀難懂，并認為線性代數就是求解線性方程組問題，其實線性代數在很多領域都有重要應用。教師一定要將難以理解的抽象問題鑲嵌在實際問題中，將難懂的抽象問題具體化。

如在講授矩陣的定義和乘法運算時，可先介紹矩陣在生產生活應用中的具體實例，讓學生先熟悉這個抽象概念的重要作用。矩陣的類型多種多樣，如表示事物數量的數量矩陣、機器手臂的位姿矩陣、數據調節器的狀態矩陣、航空公司的通路矩陣、密碼學中的加密矩陣，甚至某種運動的旋轉矩陣等。可見，矩陣作為一項重要的工具，在不同的學科中都扮演著重要角色。

除了角色重要外，矩陣與矩陣之間的運算更能表達現實事物之間的關系。矩陣理論中定義了加減乘逆等運算法則，如矩陣的乘法運算單從乘法定義上看過于抽象，而事實上矩陣乘法運算在各行各業有廣泛應用。在工程上，可以用向量表示研究對象，用旋轉矩陣表示某種運動，而矩陣和向量相乘則表示將這種旋轉運動施加在研究對象上，運算結果正是旋轉后的研究對象。在圖像學處理中，可以采用剪切矩陣乘原始圖像矩陣，從而實現圖像的適當變換。在密碼學中，可以采用加密矩陣乘明文矩陣實現加密過程。在經濟管理中，可以使用矩陣乘法實現成本、利潤的核算。此外，在交通的流量模型、動物數量的預測模型、數字信號處理、行星的軌道模型等各類問題中，矩陣乘法都是非常重要的數學求解工具。

將抽象的矩陣乘法運算具體到工程學、經濟學、物理學等學科的實際問題中，揭示數學智慧與文化精神，并以實例詮釋課程的價值，實現理論與實踐相結合，不僅可以加深本科生對數學科學的本質理解，還可以培養本科生的數學抽象思維，提升它們的數學核心素養。

6 "用數學方式研究問題，培養學生的數據

分析能力

隨著科學技術的高速發展，21世紀正進入數字文明時代，數據日益成為一種重要的信息。為了更好地研究問題，學生必須學會從實際問題中收集和處理有用的信息，對所獲得的信息進行數據分析。數據分析是對事物在數量特性方面的高度抽象與概括，針對數據分析素養的培養可通過概率論與數理統計課程塑造學生的數據分析觀念，提高收集和處理科學信息的能力，鼓勵學生從多方面剖析數據、獲取新知識，培養學生的數據分析能力。

概率論與數理統計課程內容不僅包括具體的知識、規律、法則的學習，還涵蓋過程、思想和觀念的學習。比如在進行點估計章節教學時，除了講授矩估計和極大似然估計的具體算法外，還應講授兩種估計產生的思想，以大數定律為理論依據傳遞矩估計思想，用獵人和徒弟打獵一槍擊中獵物后，誰擊中概率大的具體問題引出極大似然估計思想。如果時間允許，還可以引導學生使用非線性最小二乘法估計參數或貝葉斯估計。讓學生用多種數學方法去思考問題，用多種數據分析方法解決問題，提升學生的數據分析能力。

7 "結論

六大數學核心素養是一個相互聯系、相互交織的整體。教師要更新觀念，關注數學教學內容，以提升學生的數學核心素養為目標，利用課堂教學培養學生核心素養，全面提高學生的知識和方法技能，厚植學生學習數學的情懷，把六大數學核心素養轉化成大學數學課程教學中具體的目標，并且逐步落實在具體的數學教學活動中，為學生營造良好的數學教育氛圍，為高等教育改革奉獻力量。

參考文獻

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