研教融合的離散數(shù)學(xué)教學(xué)研究

李偉湋

（南京航空航天大學(xué) 計算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，江蘇 南京 210016）

引言

《中共中央關(guān)于制定國民經(jīng)濟(jì)和社會發(fā)展第十四個五年規(guī)劃和二〇三五年遠(yuǎn)景目標(biāo)的建議》提出堅持創(chuàng)新在我國現(xiàn)代化建設(shè)全局中的核心地位。人才是實(shí)現(xiàn)創(chuàng)新的基礎(chǔ)，習(xí)近平總書記在中央人才工作會議上明確指出：“深入實(shí)施新時代人才強(qiáng)國戰(zhàn)略?！?/p>

加快建成世界重要人才中心和創(chuàng)新高地，實(shí)現(xiàn)科技自立自強(qiáng)。研究型人才是實(shí)施人才強(qiáng)國戰(zhàn)略，建設(shè)創(chuàng)新型國家的戰(zhàn)略資源，這表明研究型教育人才培養(yǎng)的重要性。因此，培養(yǎng)當(dāng)代大學(xué)生的科研素養(yǎng)是本科教育的重要任務(wù)，也是現(xiàn)代社會對高等人才培養(yǎng)質(zhì)量的基本要求。

建設(shè)高等教育強(qiáng)國必須認(rèn)識到本科教育是大學(xué)的主體和基礎(chǔ)，堅持以本為本，務(wù)必將本科教育放在高等教育的戰(zhàn)略位置，放在人才培養(yǎng)的核心位置，放在教育教學(xué)的基礎(chǔ)位置，放在新時代教育發(fā)展的前沿位置［1］。首先，在政策導(dǎo)向上，“雙一流”建設(shè)總體方案中把一流本科教育作為重要建設(shè)內(nèi)容，明確指出加快推進(jìn)人才培養(yǎng)模式改革，促進(jìn)科教協(xié)同育人，完善高水平科研支撐所需的拔尖創(chuàng)新人才培養(yǎng)機(jī)制［2］。這意味著一流本科教育應(yīng)更加注重研教融合，培養(yǎng)本科生的科研素養(yǎng)，堅持人才培養(yǎng)、學(xué)術(shù)團(tuán)隊(duì)、科研創(chuàng)新“三位一體”，才能滿足當(dāng)今社會對人才質(zhì)量的基本要求。其次，由于新一輪科技革命的影響，大學(xué)知識更新速度已滯后于實(shí)際的科技發(fā)展，簡單的課程和教學(xué)體系改革，短時間內(nèi)無法徹底解決知識更新與科技發(fā)展的矛盾［3］。因此，本科生需要以各種方式參與科學(xué)研究，了解領(lǐng)域最新發(fā)展動態(tài)，通過科學(xué)研究更新專業(yè)知識。目前，本科生科研已形成三種具有代表性的科研形式：一是本科生參與教師的研究項(xiàng)目；二是本科生自主申請科研基金；三是本科生參加科技創(chuàng)新團(tuán)隊(duì)［4］。最后，本科生通過學(xué)科競賽、課程綜合實(shí)驗(yàn)、課程設(shè)計活動等平臺參與科學(xué)研究，從而構(gòu)建本科生參與科研的教學(xué)模式，可以有效地促進(jìn)教學(xué)體系改革。本科生參與科研需要教師與學(xué)生進(jìn)行良好地互動，促使教師熟練掌握學(xué)科發(fā)展及前沿動態(tài)，針對互動過程中產(chǎn)生的新觀點(diǎn)、新角度不斷反思和創(chuàng)新。同時，學(xué)生進(jìn)行的科研工作也是教師科研的重要組成部分，促進(jìn)教師科研發(fā)展?？蒲谐晒淖罱K需要轉(zhuǎn)化為實(shí)際，將科研成果轉(zhuǎn)化為實(shí)際可以促進(jìn)創(chuàng)業(yè)教育發(fā)展［5］。

離散數(shù)學(xué)是計算機(jī)科學(xué)與技術(shù)專業(yè)、軟件工程專業(yè)、網(wǎng)絡(luò)安全等計算機(jī)類專業(yè)的基礎(chǔ)核心課程，在計算機(jī)類專業(yè)課程體系中處于重要的基礎(chǔ)理論支撐地位［6］。課程內(nèi)容包括數(shù)理邏輯、集合論、圖論、組合數(shù)學(xué)和代數(shù)系統(tǒng)，課程的數(shù)學(xué)知識多、理論性強(qiáng)，所涉及的內(nèi)容抽象、概念多、知識點(diǎn)分散、公式多，課內(nèi)學(xué)時有限，易造成學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中概念理解不透徹、形象化不夠、學(xué)習(xí)熱情較低等問題。同時，在學(xué)習(xí)離散數(shù)學(xué)時，學(xué)生對專業(yè)課程了解有限，教師難以將基礎(chǔ)知識和專業(yè)內(nèi)容聯(lián)系起來，易造成學(xué)生只是機(jī)械學(xué)習(xí)抽象理論知識，難以學(xué)以致用的問題［7］。

為了滿足國家人才培養(yǎng)的需要和離散數(shù)學(xué)實(shí)踐化教學(xué)的需求，離散數(shù)學(xué)的研教融合尤為重要。本文首先闡述計算機(jī)類專業(yè)科研素養(yǎng)培養(yǎng)的重要性，其次分析離散數(shù)學(xué)的知識體系，最后提出將科研案例融合與離散數(shù)學(xué)教學(xué)的方法并給出研教融合的案例。

一、培養(yǎng)計算機(jī)類專業(yè)科研素養(yǎng)的重要性

計算機(jī)類專業(yè)包括計算機(jī)科學(xué)與技術(shù)、軟件工程、網(wǎng)絡(luò)空間信息安全、數(shù)據(jù)科學(xué)與大數(shù)據(jù)技術(shù)、區(qū)塊鏈工程等專業(yè)，其中數(shù)據(jù)科學(xué)與大數(shù)據(jù)技術(shù)專業(yè)和區(qū)塊鏈工程專業(yè)為新增專業(yè)。相關(guān)專業(yè)包括電子信息工程、自動化、電子科學(xué)與技術(shù)、通信工程、信息工程等電子信息類專業(yè)。在本科教育階段，需要培養(yǎng)學(xué)生的科研知識和科研能力，以達(dá)到學(xué)生科研素養(yǎng)的培養(yǎng)。

該類專業(yè)的科研知識涵蓋科研基礎(chǔ)知識、學(xué)科專業(yè)知識和相應(yīng)的學(xué)科知識，這些知識是培養(yǎng)科研素養(yǎng)的基礎(chǔ)?？蒲谢A(chǔ)知識的掌握是保證科研規(guī)范性、科學(xué)性和有效性的前提條件。本科生要全面學(xué)習(xí)和掌握科研的基本知識，理解科研的內(nèi)涵和科研的過程，進(jìn)而逐步掌握科研的方法。豐富的學(xué)科專業(yè)知識是從事科研的基石。本科生參與科學(xué)研究，不僅需要掌握科研基礎(chǔ)知識和學(xué)科專業(yè)知識，還需要掌握計算機(jī)類專業(yè)的學(xué)科知識，特別是交叉學(xué)科知識，為進(jìn)一步的科研提供知識儲備。

在開展科學(xué)研究活動時，運(yùn)用科學(xué)方法探求事務(wù)的本質(zhì)和規(guī)律的過程中所體現(xiàn)出來的才能即科研能力。科研素養(yǎng)培養(yǎng)的關(guān)鍵就是科研能力，體現(xiàn)為發(fā)現(xiàn)問題能力、開拓創(chuàng)新能力、信息處理能力、文字表達(dá)能力和組織協(xié)調(diào)能力等?？茖W(xué)研究始于發(fā)現(xiàn)，只有善于觀察，才能在社會實(shí)踐中發(fā)現(xiàn)有價值的問題。信息處理能力涵蓋信息的分析、評估，利用信息做出決策和解決問題的能力。科學(xué)研究是一種創(chuàng)新性活動，需要學(xué)生具備創(chuàng)新精神、創(chuàng)新思維與創(chuàng)新能力，并利用創(chuàng)造性的思維分析和解決問題。組織協(xié)調(diào)能力和文字表達(dá)能力體現(xiàn)了學(xué)生的合作能力和表達(dá)能力，是科研能力培養(yǎng)必備的因素。

利用計算機(jī)解決科學(xué)研究中的問題一般分三個步驟進(jìn)行。一是分析領(lǐng)域性問題，構(gòu)造出計算機(jī)能解決的模型。構(gòu)造領(lǐng)域模型的思維方法必須應(yīng)用離散數(shù)學(xué)知識，離散數(shù)學(xué)中的大部分內(nèi)容是討論從基本對象的角度出發(fā)，根據(jù)對象之間的相互作用、相互聯(lián)系，用通用語言如代數(shù)語言、符號邏輯語言、圖形語言等構(gòu)造出對象之間相互作用的模型，也稱之為對象之間相互運(yùn)算的模型。這是構(gòu)造和生成問題模型的基本方法。二是在計算機(jī)的軟硬件資源上完成模型的算法設(shè)計。模型構(gòu)造完成后，需要在計算機(jī)上運(yùn)行，則需要規(guī)劃設(shè)計一個運(yùn)算步驟，告訴計算機(jī)要做什么、怎么做，計算機(jī)根據(jù)設(shè)計的運(yùn)算步驟按部就班的自動處理。這個運(yùn)算步驟即算法，算法必須是可行、有限、確定的。三是實(shí)現(xiàn)對算法過程的有效控制。算法設(shè)計的關(guān)鍵是算法過程控制，該控制是根據(jù)模型的離散結(jié)構(gòu)對算法進(jìn)行控制，離散數(shù)學(xué)中講解的各種離散結(jié)構(gòu)在算法控制設(shè)計過程中有著重要的作用。經(jīng)過這三個步驟，計算機(jī)可以自行處理結(jié)果，完成問題解決。離散數(shù)學(xué)提供這種通用模型的思維方法，通過如何從簡單的對象出發(fā)、研究對象的相互作用，采用不同語言描述對象之間的相互作用，表達(dá)出通用模型。通過該過程實(shí)現(xiàn)了科研能力的提升。

計算機(jī)類專業(yè)的科研知識和科研能力二者相互促進(jìn)，互為基礎(chǔ)，構(gòu)成了計算機(jī)類專業(yè)科研素養(yǎng)培養(yǎng)的基本要素。離散數(shù)學(xué)是計算機(jī)類專業(yè)的課程理論基礎(chǔ)，所涉及的科研知識，在計算機(jī)科學(xué)中應(yīng)用十分廣泛，在數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)、數(shù)據(jù)庫、計算機(jī)編譯、計算機(jī)體系結(jié)構(gòu)、計算機(jī)網(wǎng)絡(luò)、軟件工程和人工智能中均有應(yīng)用，處于基礎(chǔ)地位。通過離散數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)能夠幫助學(xué)生建立抽象思維和邏輯推理能力，建立舉一反三的思維方式，提高學(xué)生的創(chuàng)新能力和運(yùn)用數(shù)學(xué)方法分析解決實(shí)際問題的能力［8］。

二、離散數(shù)學(xué)知識體系

離散數(shù)學(xué)的名稱是1974年由美國IEEE計算機(jī)協(xié)會典型課程分委會正式提出，是研究離散對象及其結(jié)構(gòu)的一門數(shù)學(xué)學(xué)科。該課程是數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)、算法與程序設(shè)計、自動機(jī)理論、人工智能、形式語言等計算機(jī)科學(xué)課程的基礎(chǔ)。離散數(shù)學(xué)課程由五個部分組成，包括數(shù)理邏輯、集合論、圖論、組合數(shù)學(xué)和代數(shù)系統(tǒng)，這五個部分是一個有機(jī)整體。數(shù)據(jù)邏輯和集合論是圖論的基礎(chǔ)，集合論和組合數(shù)學(xué)是代數(shù)系統(tǒng)的基礎(chǔ)。每部分都有大量的概念、定理和證明，抽象程度高。

（一）數(shù)理邏輯

數(shù)理邏輯是用數(shù)學(xué)方法研究推理的有效性、證明的真實(shí)性、數(shù)學(xué)的真理性和計算的可行性等邏輯問題，在人工智能、程序理論、數(shù)據(jù)庫理論等研究中有著重要的應(yīng)用。該部分內(nèi)容包括命題邏輯的基本概念、命題邏輯的等值演算、命題邏輯的推理理論、一階邏輯的基本概念和一階邏輯的等值演算。主要研究自然語句的符號表示、邏輯代數(shù)、形式證明和驗(yàn)證推理，從簡單語句的共性出發(fā)，分析內(nèi)部結(jié)構(gòu)培養(yǎng)學(xué)生對離散對象的概括能力。

（二）集合論

集合論以集合元素為研究對象、探索集合、元素和成員關(guān)系，對數(shù)學(xué)的對象、性質(zhì)及其發(fā)生、發(fā)展的一般規(guī)律進(jìn)行科學(xué)研究，是一門基礎(chǔ)的學(xué)科，已成為研究計算機(jī)科學(xué)的有力工具。該部分內(nèi)容包括集合基本概念、集合運(yùn)算、二元關(guān)系和函數(shù)。集合論是計算機(jī)科學(xué)的基礎(chǔ)，該部分內(nèi)容培養(yǎng)學(xué)生對對象描述能力、分析事物間聯(lián)系的能力，提高學(xué)生的思維能力。

（三）圖論

圖論是數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)和數(shù)據(jù)表示理論數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，是計算機(jī)網(wǎng)絡(luò)學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)，是離散數(shù)學(xué)的重要組成部分。圖論起源于著名的哥尼斯堡七橋問題，以圖為研究對象，已發(fā)展成為多學(xué)科領(lǐng)域的基礎(chǔ)。該部分內(nèi)容包括圖的基本概念、樹和幾種特殊的圖。圖論部分介紹圖和樹的基本概念、基本事實(shí)和基本理論的基礎(chǔ)，重點(diǎn)介紹歐拉圖、哈密頓圖、二部圖和平面圖。重在培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力、訓(xùn)練學(xué)生應(yīng)用圖論理論知識進(jìn)行實(shí)際問題求解和未知探索的能力。

（四）組合數(shù)學(xué)

組合數(shù)學(xué)是研究依給定規(guī)則安排某項(xiàng)事物數(shù)量規(guī)律的科學(xué)。該部分內(nèi)容包括基本的組合計數(shù)公式、遞推方程和生成函數(shù)。組合數(shù)學(xué)首先探討符合要求的安排是否存在，當(dāng)存在的時候，如何把它們實(shí)際構(gòu)造出來，如何計算符合要求的全部安排的個數(shù)，若已給出最優(yōu)標(biāo)準(zhǔn)，如何求得符合要求且達(dá)到最優(yōu)的安排。用組合數(shù)學(xué)算法求解實(shí)際問題，是程序設(shè)計的基礎(chǔ)。

（五）代數(shù)系統(tǒng)

代數(shù)系統(tǒng)包含代數(shù)系統(tǒng)的基本概念和典型的代數(shù)系統(tǒng)。這部分內(nèi)容包括半群、群、子群及陪集、同態(tài)，環(huán)與域和布爾代數(shù)理論，著重理解代數(shù)系統(tǒng)、半群、群和子群的基本概念，掌握與理解拉格朗日定理及其應(yīng)用，掌握半群、群的基本性質(zhì)與重要結(jié)論的證明方法和技巧，以及群與子群等的驗(yàn)證和判別。該部分內(nèi)容重點(diǎn)訓(xùn)練學(xué)生運(yùn)用代數(shù)結(jié)構(gòu)進(jìn)行對象抽象與問題求解，培養(yǎng)學(xué)生建立模型和轉(zhuǎn)換模型的能力。

離散是對連續(xù)事物的分割，同時事物也不喪失其原有屬性。計算機(jī)是一個離散結(jié)構(gòu)，只能處理離散的或者離散化了的數(shù)量關(guān)系。在計算機(jī)中處理任何的連續(xù)量，如圖像處理必須將連續(xù)量離散化后再行處理，離散對象的處理是計算機(jī)科學(xué)的核心。離散數(shù)學(xué)是計算機(jī)學(xué)科主要方法，以研究離散型的結(jié)構(gòu)及其相互間的關(guān)系體系為主要目標(biāo)，能夠?qū)﹄x散量進(jìn)行系統(tǒng)和全面的分析，為計算機(jī)提供有力工具［9］。離散數(shù)學(xué)在計算機(jī)專業(yè)中已有相關(guān)應(yīng)用，如在軟件測試中應(yīng)用等價類的概念，在人工智能中利用邏輯推理，在編程中應(yīng)用數(shù)理邏輯等［10］。

三、科研問題融入離散數(shù)學(xué)

在離散數(shù)學(xué)的教學(xué)過程中，為更好地引導(dǎo)學(xué)生理解并應(yīng)用理論知識，結(jié)合科研項(xiàng)目，以科研項(xiàng)目中的解決方案為主線，教學(xué)與科研的融合通過提出問題、分析問題、解決問題三個步驟實(shí)現(xiàn)。離散數(shù)學(xué)中的集合論學(xué)習(xí)粗糙集等理論的基礎(chǔ)、數(shù)理邏輯部分在軟件工程的研究領(lǐng)域應(yīng)用廣泛，圖論是神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、Petri等網(wǎng)絡(luò)結(jié)果算法的研究基礎(chǔ)，組合數(shù)學(xué)和代數(shù)系統(tǒng)在計算機(jī)領(lǐng)域應(yīng)用廣泛，是學(xué)生進(jìn)一步學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。

本小節(jié)將以命題邏輯推理理論課堂教學(xué)，結(jié)合實(shí)際問題為例介紹相關(guān)教學(xué)過程。在提出問題階段，激發(fā)學(xué)生對離散數(shù)學(xué)課程的學(xué)習(xí)興趣，讓學(xué)生由被動學(xué)習(xí)轉(zhuǎn)變?yōu)橹鲃訉W(xué)習(xí)，在課前預(yù)習(xí)階段，介紹科研項(xiàng)目中的實(shí)際問題，并利用大數(shù)據(jù)將MOOC資源等開源的資料推送給學(xué)生。在數(shù)理邏輯知識介紹部分的教學(xué)活動中，以一個看護(hù)嬰兒移動機(jī)器人的安全行為檢測為例，該機(jī)器人有上、下、左、右四種動作。一種典型的場景是，機(jī)器人必須重復(fù)確認(rèn)嬰兒狀態(tài)（見圖1〔b〕）和回到充電樁充電（見圖1〔c〕），在這個過程中必須避開危險區(qū)域（見圖1〔d〕）。

例如，在嬰兒b附近，僅允許執(zhí)行左轉(zhuǎn)動作，當(dāng)采取左轉(zhuǎn)動作時，可能會發(fā)生以下情況：（1）機(jī)器人以0.1的概率撞到墻上，并把嬰兒吵醒；（2）機(jī)器人以0.8的概率向左移動或以0.1的概率向下移動。如果嬰兒被吵醒了，則機(jī)器人無法在一個時間步長內(nèi)離開，并且要通知相關(guān)人員（見圖1〔a〕）；否則，機(jī)器人應(yīng)該直接返回到充電樁充電。如何用數(shù)學(xué)模型來刻畫該場景的完整目標(biāo)準(zhǔn)則？

面對該科研問題，在分析問題階段，將該問題劃分成不同場景，將各個場景狀態(tài)和動作進(jìn)行自然語言描述，并將新課知識導(dǎo)入。結(jié)合該實(shí)際問題，啟發(fā)學(xué)生應(yīng)用數(shù)理邏輯和集合論知識描述各個場景的狀態(tài)和動作。根據(jù)學(xué)生解決的情況，進(jìn)一步介紹科研工作中常用線性時序邏輯表示完整的準(zhǔn)則，并講解時序邏輯基本語法來源于離散數(shù)學(xué)中的教學(xué)內(nèi)容，引導(dǎo)學(xué)生將圖1中的規(guī)則用線性時序邏輯語言表達(dá)如下：

圖1 幼兒園場景下的綜合策略總結(jié)

該公式中，（1）表示避免危險狀態(tài)；（2）表示如果嬰兒無人看管，在相關(guān)人員過來或者需充電之前無須回到嬰兒身邊；（3）通知相關(guān)人員后，立即離開并回到嬰兒身邊；（4）嬰兒入睡后，返回到充電樁充電并無須通知相關(guān)人員；（5）充完電后，先回到嬰兒身邊，不用去尋找相關(guān)人員；（6）如果嬰兒醒來，立即通知相關(guān)人員。

通過課前提出問題，激發(fā)學(xué)生興趣，在課堂中分析問題，將新課導(dǎo)入，討論解決問題的具體方法，啟發(fā)學(xué)生將一個實(shí)際背景的科研問題用課堂中的知識點(diǎn)去解決，提高學(xué)生對離散數(shù)學(xué)的實(shí)際應(yīng)用的認(rèn)識和對科學(xué)研究的熱情。教師在教學(xué)中，起到引導(dǎo)牽引作用，注重培養(yǎng)學(xué)生獨(dú)立思考問題、分析問題和解決問題的能力。課后，讓學(xué)生組建學(xué)習(xí)小組，以小組的形式解決機(jī)器人行為檢測的其他場景問題，學(xué)習(xí)如何對問題進(jìn)行抽象，如何分析實(shí)際問題，如何建立數(shù)學(xué)模型，應(yīng)用所學(xué)知識解決實(shí)際問題，給予學(xué)生成就感，培養(yǎng)和提升學(xué)生應(yīng)用理論知識、解決科研問題的能力，達(dá)到以研促教的目的。

結(jié)語

結(jié)合教學(xué)目標(biāo)，針對教學(xué)知識的重點(diǎn)和難點(diǎn)問題，將科研問題引入教學(xué)課堂中。教師明確學(xué)生需掌握的基本理論及核心知識點(diǎn)，圍繞知識點(diǎn)設(shè)置科研問題和場景，以科研問題為主線，將科研問題與知識點(diǎn)相結(jié)合，通過科研問題的提出、分析和解決三個步驟完成求解，將科研問題融入教學(xué)中。具體通過科研問題引入問題，確定研討題目，啟發(fā)學(xué)生思考，分析問題，提示科研問題解決要點(diǎn)，進(jìn)入解決問題，幫助學(xué)生厘清思路，把握要點(diǎn)，化解教學(xué)中的重點(diǎn)和難點(diǎn)。培養(yǎng)學(xué)生科研探索的素養(yǎng)，將科研問題進(jìn)行抽象建立數(shù)學(xué)模型和算法設(shè)計，提高學(xué)生將理論知識應(yīng)用于實(shí)踐的能力，促進(jìn)學(xué)生對知識點(diǎn)的吸收、理解和應(yīng)用。在研究型高校的教育教學(xué)中，通過科研知識的融入，有效引導(dǎo)學(xué)生對科研問題的認(rèn)識，激發(fā)學(xué)生對理論學(xué)習(xí)的興趣，提高對知識點(diǎn)的理解和應(yīng)用能力，從而有效提高離散數(shù)學(xué)的教學(xué)成效。