巧用“r2”求圓或圓內(nèi)組合圖形的面積

林賀密

為了幫助學生探索以圓半徑為邊長的正方形面積和圓面積的聯(lián)系，巧用“r²”求圓和圓內(nèi)組合圖形的面積，可設計如下教學活動。

一、借助基本圖形，探明基本規(guī)律

教師出示任務：如圖1，已知正方形的面積是40cm²，你能求圓的面積嗎？

學生獨立完成，再重點討論：“圓的半徑是多少？怎樣求圓的面積？”教師引導學生發(fā)現(xiàn)這個組合圖形是由正方形和圓組成，因為正方形的邊長ɑ=圓的半徑r，S_正方形=ɑ²=r²=40（cm²），所以S_圓=πr²=40π（cm²）。小結(jié)：S_圓=S_正方形×π。

二、巧用轉(zhuǎn)化思想，溝通解決方法

1.教師出示任務。圖2～圖4如果每幅圖中陰影部分面積都是40cm²，那么請求出圖2、圖3中整圓的面積和圖4中半圓的面積。并引導學生思考：“與圖1相比，這3幅圖發(fā)生了怎樣的變化？陰影部分的圖形和圓有什么聯(lián)系？怎么求圓或半圓的面積？”

2.轉(zhuǎn)化圖形。學生獨立嘗試后小組交流，選派學生代表上臺匯報。

預設：（1）對折法。通過對折，可把長方形平均分成兩個小正方形（如圖5），正方形的邊長ɑ=圓的半徑r；小正方形的面積為長方形面積的一半；S_正方形=ɑ²=r²=40÷2=20（cm²）。得出：S_圓=S_正方形×π=20π（cm²）。

（2）軸對稱法。以圖3中線段AB為對稱軸畫三角形OAB的軸對稱圖形O′AB，由此得到正方形OAO′B，它繞點O旋轉(zhuǎn)45°后，與基本圖形形狀一致（如圖6）。三角形OAB的面積為正方形OAO′B面積的一半。根據(jù)基本圖形正方形的邊長ɑ=圓的半徑r；S_正方形=ɑ²=r²=40×2=80（cm²），得出：S_圓=S_正方形×π=80π（cm²）。

（3）分割旋轉(zhuǎn)法。將圖4中三角形ABC沿半徑OB分割，分割后的圖形經(jīng)旋轉(zhuǎn)得到基本圖形（如圖7），S_三角形=S_正方形=r²=40（cm²），得出：S_半圓=S_正方形×π÷2=20π（cm²）。

3.溝通聯(lián)系。教師引導學生進行比較：“這三道題有什么相同點和不同點？你有什么發(fā)現(xiàn)？”

預設：學生通過比較發(fā)現(xiàn)，三個圖形都能轉(zhuǎn)化為基本圖形（如圖1）。這些圖形都無法通過直接求r值來計算圓的面積。這時，可以利用對稱、旋轉(zhuǎn)等方法將復雜圖形變?yōu)榛緢D形，直接用“r²”的值來求圓或半圓的面積。

三、適當變式拓展，明晰解題模型

教師出示練習題：圖8中，已知平行四邊形ABCD的面積是50cm²，求陰影部分的面積。

學生嘗試解決后，進行全班交流。教學反饋：在圖8中，從D點出發(fā)作線段AB的垂線，得到的正方形的面積等于平行四邊形面積的一半（如圖9），即正方形EBOD的面積是25cm²，則圓的面積為25πcm²，而陰影部分面積為圓面積的1/4，即25/4πcm²。

以上教學，學生把以圓的半徑為邊長的正方形作為基本圖形，探索圓面積與正方形面積之間的關(guān)系，并運用對稱、分割、旋轉(zhuǎn)等方法，總結(jié)出了用“r2”求圓內(nèi)有關(guān)組合圖形面積的方法，發(fā)展了空間觀念和推理能力。

（浙江省寧波市海曙外國語學校? ?315175）