于情境加強關聯凸顯百分數意義理解
——《百分數（一）》素養進階習題展評與教學建議

文|褚瓊金 金志龍 宋煜陽

一、習題展評

●習題一

1.習題內容。

放假了，小亮和爸爸媽媽一起去看望爺爺。他們準備買些水果給爺爺，但爸爸告訴小亮，爺爺患有輕微的糖尿病，不能吃糖分含量比較高的水果。于是，小亮查詢了常見水果的糖分含量，哪些水果比較適合爺爺吃？

（1）我選擇給爺爺買（ ）和（ ）。

（2）思考：百分數與分數有什么聯系？使用百分數有什么優點？

2.能力指向。

百分數的意義。通過各類水果中糖分含量的比較，考查學生對百分數意義的理解；通過分數與百分數的對比，引導學生分析百分數表示統計量的優勢。

3.學情分析。

對城區小學100 名學生進行了后測。第（1）小題學生掌握情況良好；第（2）小題學生都能說清楚百分數的優點——“一目了然”“便于比較”。“百分數與分數有什么聯系”這個問題，80%的學生的描述還停留在表象層面，如“百分數是分母是100 的分數”“百分數與分數能相互轉化”等，不能說明兩者的本質聯系。

●習題二

1.習題內容。

選擇合適的數填入括號，并說明理由。

120% 94% 100% 380%

56% 380

（1）據統計，春節期間，半數以上的年輕人選擇自駕的方式回鄉過年，占年輕人回鄉總數的（ ）。

（2）春節期間，小客車上高速實行免費通行，春節期間小客車高速通行免費率達到（ ）。

（3）高速公路上小客車超過了大客車，那一瞬間，小客車的行駛速度是大客車速度的（ ）。

（4）高鐵是準點率最高的交通工具，是人們出行的重要方式。春節期間，全國高鐵準點率達到（ ）。

（5）春節期間，西湖景區共接待游客（ ）萬人次。

（6）思考：什么情況下的百分數可以小于100%？什么情況下的百分數可以等于100%？什么情況下的百分數可以大于100%？

2.能力指向。

百分數的意義。通過一組春節情境，考查學生能否靈活運用百分數表示兩量關系，發展數感；通過與“100%”這個特殊的百分數進行對比，引導學生思考百分數表示“部分與總量之間關系”“兩量之間關系”的不同，發展推理意識。

3.學情分析。

整體正確率高，其中第（5）小題正確率100%，說明學生能體會百分數不能表示具體的量。第（2）小題錯誤率高，在思考過程中有涂改、修正痕跡。對于臨近100%的現實情境，學生容易受干擾。思考說理部分，學生整體表現不佳，在SOLO 評價理論中處于關聯結構、抽象擴展結構的學生僅占四分之一，如表1。

表1

●習題三

1.習題內容。

學校籃球隊要挑選新一屆的運動員參加市級比賽。選手們在刻苦練習，隨機抽取兩位同學的練習數據，如下：

陳好同學：選擇記錄了他1000 次練習數據，其中，投中個數占總個數的20%。

蔣諾涵同學：選擇記錄了他2000 次練習數據，投籃命中率約是38%。

如果你是籃球隊教練，兩個學生中挑選一個進入籃球隊，選（ ）。

理由是：_________________

2.能力指向。

百分數統計意義，體驗統計隨機性中的相對穩定性。情境采用抽樣統計的方式，樣本數據分別是1000 次和2000 次，要求對投籃命中率進行比較，考查學生對百分數意義的理解。

3.學情分析。

本題錯誤率較高，體現出學生對百分數表示“率”的意義理解不深刻，錯誤情況分兩類。第一類，不能體會百分數統計意義。典型錯誤有：（1）計算投中個數進行比較：1000×20%=200（個）、2000×38%=760（個）。（2）以投籃總數作為標準：1000 次＜2000 次。第二類，對命中率的意義理解不透。典型錯誤有：（1）38%÷2=19%＜20%，（2）20%×2＞38%。這一情境中的數據比較特殊，分別是“1000 次對應20%”“2000 次對應38%”，次數成兩倍關系，兩次命中率接近兩倍，對百分數還停留在“具體量”的認識，并且錯誤比較普遍。這就需要學生明確“命中率”這一概念，打破倍數關系的負遷移，才能得出正確結論。

二、教學建議

1.借助具體情境，豐盈百分數的概念。

理解百分數的意義離不開“現實的情境”。一是百分數作為統計量在生活中大量存在；二是概念的建構需要大量現實表象支撐。為此，要創設實際情境，讓學生在具體情境中經歷抽象過程，體會數學知識的應用價值。本習題的情境選擇貼近學生的生活實際，如“給爺爺挑選含糖量較低的水果”“春節景區情況和交通情況”“籃球命中率”。在這些實際情境中，學生能感受到百分數承載著數據信息，對解決實際問題有著重要作用。在這些實際情境中，學生不斷將“不同的百分數”與“現實情境”匹配、調正，豐富百分數的表象，感悟到百分數既可以表示確定的數據，也可以表示隨機數據，從而比較完整地建構百分數的意義。

2.抓住本質關聯，夯實百分數的意義。

概念的理解，需要抓住本質，加強對比與關聯。本練習主要采用兩種策略：一是關聯其他數，主要是關聯“分數、小數、整數”，讓學生在數的對比中明確百分數的意義。與“分數”對比，明白百分數就是分數的比率的意義在生活中的特殊應用，因其分母為100 所以在應用中體現出便于比較的優點；與“整數”對比，體會百分數只能表示關系，不能表示具體的量。二是關聯某些關系，主要是“部份與整體關系”“兩量之間關系”，讓學生在關系中辨析、擴展意義，豐富百分數概念內涵，體會百分數的統計現實意義。