學生數學抽象能力發展的影響因素分析*

姜合峰 陳文鑫 謝亞錦 龔 葦

（1.太原師范學院數學系，山西晉中，030619；2.太原師范學院教育學院，山西晉中，030619）

《普通高中數學課程標準（2017 年版2020 年修訂）》中對數學抽象的表述是，通過對數量關系和空間形式的抽象，從而得出數學研究對象的素養[1]。也就是從數量與圖形這兩種關系中，抽象出基本概念間的關系，由事物間的關系及內部要素中抽象出一般規律和結構，最后通過數學語言表示出來。數學抽象能力與學生的數學思維之間存在著密切而復雜的聯系，學生數學抽象能力的發展可以使學生的思維更加具有邏輯性，有益于把握數學知識的本質，進而深入理解數學、學習數學。

一、數學抽象的重要價值

1.數學抽象的學科價值

史寧中提出，數學的發展依賴于抽象、推理和模型三個基本思想，其中抽象是核心。通過抽象，能夠把同數學有關的事物由外部世界變換到數學內部，進而轉換成數學的研究對象；借助推理，獲得數學的公理和計算方法，使得數學能夠快速發展；透過模型，開創了極富表現力的數學語言，在數學與外界兩者之間搭建了一座橋梁[2]。數學抽象作為數學發展的基本方式和渠道，貫穿于數學知識的形成、產生、發展和應用的全部過程，使得數學這門學科具有嚴謹性、準確性和廣泛應用性。

2.數學抽象的教育作用

數學抽象是數學的本質特征，也是理性思維的基礎，它滲透在整個數學學習過程中[3]。培養學生的數學抽象能力，有利于學生更好地理解數學知識的層次結構，抓住數學的本質和核心，提高理性思維水平。王光明等人的研究也表明，提升學生抽象思維能力有益于提高數學學習效率[4]。數學抽象思維與抽象能力皆具有很強的遷移功能，能夠增強知識和能力的效用，可以幫助學生更加高效地解決數學中的問題，以及日常生活或其他學科中的相關難題。

二、學生層面的影響因素分析

1.學生數學知識的掌握程度

數學抽象是以知識的本質為核心，以知識的結構為基礎，實現知識轉化的過程，是在一個熟悉、關聯或綜合的情境中進行的[5]。學生對已有數學知識的整體把握程度越好，進行數學抽象的過程就越順利。

數學知識是層層遞進的，每個知識點之間都存在關聯性，對數學知識之間聯系的理解是進行抽象的關鍵之一。學生厘清知識點之間的邏輯關系，建立清晰、簡明的知識框圖之后，再進行數學抽象就會容易很多。需要用到哪個知識點，便能順著知識點之間的聯系，更加方便、快捷地提取所需內容，進而運用到數學抽象的過程中。

例1.（2019 全國理科卷）直四棱柱ABCDA1B2C1D2底面是菱形，AA1=4，BA=2，∠BAD=60°，E、M、N分別是BC、BB1、A1D的中點，求證：MN∥平面GDE.

這類題的證明過程會涉及多個性質、定理等。證明線與面平行，立刻想到線面平行的判定定理，通過直線MN與平面C1DE中一條直線平行證明線面平行，將問題的解決轉到證明線線平行上。線線平行證明的方法有很多，結合已知條件選取合適的解決方法來證明即可。許多學生在思考過程中，雖然能夠想到線面平行的判定定理，但是在證明兩條線平行時，想不到利用平行四邊形的性質來證明，這是由于學生對知識整體掌握不扎實，阻礙了相關知識的重現和提取，導致問題的解決出現困難或者錯誤。學生要對知識本質深度理解，并對概念之間的邏輯聯系整體把握，才能通過細節“順藤摸瓜”提取關鍵知識點，完成抽象過程。

2.學生數學思維的發展程度

數學是一門抽象性較強的學科，要在思維相當活躍的情況下方能收到較好的學習效果。從理論上說，數學中的符號語言實際上是數學思維的外顯形式，而數學思維就是數學符號語言的內核。數學符號是數學思維的載體，反映了數學思維的基本特征。在數學抽象的過程中，學生的思維是不可缺少的一個重要因素，它為數學抽象提供幫助，為數學抽象開辟新的途徑，使數學抽象進行得更加順利。

數學知識體系是一個紛繁復雜的體系。在進行數學抽象的時候思維發散，從一點出發聯想到多個相關聯的知識點，便可對數學知識達到層次性的認識。若只局限于數學中的某一模塊，數學抽象就會遇到障礙。當數學抽象遇到阻礙，試著轉換角度、轉變方向，從另一個數學角度進行分析、理解，便可能在另一范圍中得到想要的結果。

例2.求（x+x2+y）5展開式中的x5y2系數。

受思維的局限，學生往往會一項一項計算，這樣就很復雜。如果試著跳出這個范圍，從“排列組合”的角度進行思考，就會容易很多。其實，x5y2也就是x·x2·x2·y·y，從“排列組合”的角度來思考，就是從五個x+x2+y中分別抽取一個x、兩個x2、兩個y進行相乘，從而求出x5y2的系數。由此可見，走出固定的“圈子”，發散思維，從多個角度進行思考，數學抽象也會變得更順利。

3.學生數學能力水平的高低

數學能力與數學抽象能力，在抽象過程中是相輔相成的，數學能力的缺失，會讓數學抽象能力降低。因此，在抽象過程中，數學能力的作用是不可忽視的。

以數學閱讀理解能力為例。如果學生的數學閱讀理解能力不夠，那么一些偏向數學化的語言在學生看來就顯得晦澀難懂，這不利于學生數學抽象能力的發展。相反，如果數學閱讀能力相對較好，在看到一些題目或者閱讀相關數學概念、文章等時，就能舍棄無用的干擾信息，準確地理解核心內容，并由此聯想到相關的數學知識，進而能在已有的知識結構中提取相關內容，實現數學抽象。因此，要想使數學抽象能力提高，就需要讓學生的數學能力保持一種較高水平。

例3.（2018 北京理科）“十二平均律”是通用的音律體系，朱載堉最早通過數學方法計算出半音比例，為這個理論的發展做出了重要貢獻。把1 個純八度音程劃分為12 份，按順序獲得13 個單音，并且自第2 個單音開始，每個單音頻率和上一單音頻率之比都為，若第1 個單音頻率為f，則第8 個單音頻率為多少？

此題實質上是一個有關于等比數列的問題。如果學生的數學閱讀理解能力有限，很容易受到題目的背景和載體信息的干擾，使其無法正確地理解題干，不能抓住題目中的關鍵信息。學生若具備較強的數學閱讀理解能力，便能拋開題目背景以及無用信息，保留下關鍵的數學信息，并轉化為數學問題進行解答。由此可見，在數學抽象過程中，數學閱讀理解力也是必不可少的。學生數學閱讀理解力足夠強，才能剔除題目中與數學無關的信息，從而確定數學研究的對象，進行深入的分析。

4.同伴互助學習的有效程度

著名的教育家蘇霍姆林斯基表示：在學習中，情緒對學生起著某種積極的作用，可以刺激學生產生更加強烈的學習欲望，使得學生的學習更具有成效。數學學習也不例外，良好的學習氣氛以及互助活動，能使學生更加積極地思考，并參與討論、探究互動，在輕松愉悅的環境下交流探討新知識，通過學生之間的溝通進行思想上的碰撞，互相啟發，感悟數學抽象。

數學知識的學習是枯燥乏味的，特別是一些較為抽象的數學知識更不易理解。在課堂上激勵學生開展有效地互動學習，營造愉快和諧的學習氛圍，能夠調動學生課堂學習的積極性，在一個心情舒暢的狀態下進行交流思考、互助啟發、活躍思維，提高數學抽象能力。在枯燥無趣的數學課堂上，學生死氣沉沉，學習氛圍低沉，同伴之間也沒有交流，只有教師在侃侃而談，學生會喪失探索知識的積極性，思維也會停滯，數學思維得不到足夠的鍛煉，便會導致學生數學抽象能力無法得到有效提升。

部分同學可能對這道題束手無策，而有些同學則會有思路和方向，也會有一部分學生能正確解答。如果開展小組合作學習，組內進行充分交流，共同對題目進行解讀，探討解題思路，便能幫助學生利用有關的數學公式對已知條件一步步進行變形，最終解決數學問題。通過合作學習，同伴之間相互幫助，思維充分活躍起來，共同探究解題的關鍵，這樣無思路的同學自然有了解題思路，也會在潛移默化中提高自身的數學抽象能力。

三、教師層面的影響因素分析

1.教師對基礎數學知識的重視程度

教師對基礎知識的鉆研程度以及備課的有效性都受到其對數學基礎知識的重視程度的影響。數學中的定理、公式等的證明過程蘊含著很多重要的數學方法和規律，教師對基礎知識重視不夠，會使這些有價值的內容不能被充分挖掘，思維過程不能完全暴露出來，不利于學生數學抽象能力的提高。反之，如果教師足夠重視數學基礎知識，在課前鉆研教材，根據學生的認知發展，對知識進行編排重組，能使學生更加準確、深刻地理解數學知識，這對學生數學抽象能力的發展有著推動作用。

2.教師對數學抽象能力的理解

教師在學生發展過程中的角色，決定了教師應具備較高的專業水平。教師要對數學能力、數學方法、教學內容等有深度的理解，清楚自己在學生數學學習過程中所起的作用，要有計劃地實施培養策略，切實提高學生的抽象能力。

教師只有逐步加深對數學抽象能力的正確理解，才會明白數學抽象能力對于學生來說具有多么重大的意義，繼而真正重視起來。教師只有真正理解數學抽象，才能結合抽象的特點，對課堂教學進行改進和完善，使教學內容的編排形式有利于學生學習，從而在培養學生數學抽象能力上取得預期的效果。如果教師對數學抽象理解不到位，領悟不到數學抽象的本質和關鍵，就無法采取相應的措施對學生進行培養。

3.教師對教學方法的選擇

學生獲取知識和培養能力主要是在教師課堂教學過程中實現的，因此，要想學生的數學抽象能力要所進步，就要抓住課堂上的時間，讓學生在有限的時間內，得到更多的鍛煉。教師要不斷地改進教學，使用不同的教學方法，增加教學環節中的趣味性，提高學生的學習積極性，使得教學效果更加理想。

學生數學抽象能力的培養并非一件簡單的事，要想提高學生的數學抽象能力，就要讓學生的思維充分活躍起來。如果教師教學方法單一，學生課堂參與度不足，無法緊跟教師的思路進行思考，久而久之，學生思維水平就會下降。而不同的教學方法，能充分帶動學生思考，鍛煉思維能力，進而便于理解數學知識。教學方法的多樣化，還能在一定程度上營造良好的學習氛圍，提高學生學習的興趣和熱情，這對提高數學抽象能力也起到很大的促進作用。

4.教師的教育觀念

教師的教育觀念會影響教學的方式方法以及對教學的理解。教師的教學方法陳舊、對教學理解不正確、對素質教育的特點和規律了解不足，皆是教師教育觀念落后的表現。教育觀念落后會使教師把教學授課當作一種心理負擔，導致課堂教學效果不佳，學生被動接受，挫傷學生的積極性，對學生抽象能力的提升產生負面影響。如果教師能緊跟時代步伐，全面貫徹素質教育理念，正確認識學生學習能力培育的重要性，采用科學的教學方法對學生進行培養，可以收到事半功倍之效。

學生的數學抽象能力是不可能在短期內養成和發展起來的，需要經過一個漫長的熏陶過程，才能有所提升。教師在這一過程中要足夠耐心時刻關注學生的學習狀況，及時提供幫助，當好引路人。