培養(yǎng)估測意識發(fā)展空間思維
——《不規(guī)則圖形面積》素養(yǎng)進階習題展評與教學建議

文|葉 青 宋煜陽

一、習題展評

●習題一

1.習題內(nèi)容。

下面的不規(guī)則圖形用哪種圖形來估測面積比較好？（ ）

2.能力指向。

為不規(guī)則圖形尋找合適的測量標準。呈現(xiàn)同一個不規(guī)則圖形的不同轉(zhuǎn)化策略，考查學生對平面圖形轉(zhuǎn)化的直覺判斷能力。

3.學情分析。

對城區(qū)小學44 名學生進行了后測。本題正確選項為A、B、C，有95. 5%的學生選擇A，選擇B、C 的相對較少。學生對于面積大小估計存在空間視覺上的偏差，也反映出學生將不規(guī)則圖形轉(zhuǎn)化成組合圖形的估計意識相對較弱。

●習題二

1.習題內(nèi)容。

林林制作了一朵花的標本，正在填寫標本說明。這朵花的面積是多少？他犯愁了，如果將標本用方格圖（圖1）進行測量，你能幫幫他嗎？

圖1 一格表示1cm2

2.能力指向。

確定不規(guī)則圖形面積區(qū)間值。考查學生將不規(guī)則圖形想象成規(guī)則圖形的意識水平和估計面積范圍的適切水平。

3.學情分析。

學生會有以下三種解題思路。思路一：把不滿一格的也按整格計算，這朵花的面積是24cm2。思路二：把花朵圖案近似轉(zhuǎn)化成梯形（如圖2），列式：（3＋5）×5÷2＝20（cm2）。思路三：滿格的有9 格，不是滿格的有15 格，如果把不滿一格的都按半格計算，這朵花的面積大約是16.5cm2。

圖2

測評統(tǒng)計顯示，有半數(shù)以上的學生采用思路三，可見用數(shù)格子的方法比較直觀，易掌握。而采用思路二的學生占40.9%，將不規(guī)則圖形轉(zhuǎn)化成基本圖形的過程中，學生關(guān)注了形的相似度，而忽視了轉(zhuǎn)化前后圖形面積的差異度，常常會往大了估，思路一也暴露了這一點。這類錯誤實質(zhì)上是學生對于圖形面積區(qū)間度分析能力還有欠缺。

●習題三

1.習題內(nèi)容。

天一廣場是寧波的商業(yè)時尚坐標地，已知天一廣場周邊的亞細亞廣場的面積大約為1.3 公頃，請畫一畫并估一估天一廣場的（圖3）面積是多少？

圖3

2.能力指向。

真實情境下估測策略的運用。考查學生的推理能力和空間意識，能運用已知信息作為估測標準，自主構(gòu)造方格圖進行估測。

3.學情分析。

根據(jù)學生解決問題的具體表現(xiàn)，劃分為五個水平層次，如表1。

表1

測試班級有47.7%的學生停留于水平2，主要反映為：（1）信息提取能力較弱，對于唯一的已知信息“1.3 公頃”與最終需要解決的問題之間的關(guān)系沒有理清；（2）分析問題思路受限，47%的學生能借助格子圖進行思考，但沒有將“1.3 公頃”確定為估測標準，割裂了亞細亞廣場面積與一個格子面積之間的內(nèi)在聯(lián)系，標準未能實現(xiàn)統(tǒng)一。達到水平4 的學生為20.5%，說明在估測策略的綜合運用上有較大的困難。

二、教學建議

1. 積累“割補”經(jīng)驗，豐富空間認知能力。

估測不規(guī)則圖形面積的基本方法是根據(jù)圖形的特點將其轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形。一方面，由于學生對于長方形、正方形、平行四邊形、三角形和梯形的面積計算方法的熟知，導致在具體的轉(zhuǎn)化過程中，容易使思路往某一個規(guī)則圖形發(fā)展。另一方面，由于組合圖形的面積計算對于學生而言尋找必要的信息是一個難點，學生往往會從心理上進行規(guī)避。而“轉(zhuǎn)化”是否合理的第一直覺就是轉(zhuǎn)化前后的圖形很像，大小差異不大。為此，需要提供給學生不規(guī)則性更明顯的圖形，促使他們難以直接關(guān)聯(lián)到某一個規(guī)則圖形，只能進行多次割補形成組合圖形，不斷積累“割補”的經(jīng)驗，提升轉(zhuǎn)化能力，實現(xiàn)看到不規(guī)則圖形能立刻將其分割成若干個基本圖形，提高空間認知的敏銳度。

2.滲透“區(qū)間”思想，豐富空間想象能力。

不規(guī)則圖形面積的估計過程是一個空間想象的過程，它需要經(jīng)歷將觀察到的幾何圖形在腦海中進行分解再組合。而其分解再組合的目的就是不斷縮小面積范圍尋找區(qū)間，進而逐步逼近準確面積。這個過程可以借助格子圖，格子圖能輔助學生的空間感實現(xiàn)從無形到有形。如花標本的面積估計，將此標本置于格子圖中，學生的視覺能依托橫縱線的對比縮小實際面積范圍，通過對不滿格留空面積的多少進行估計來確定面積區(qū)間，最終實現(xiàn)使估計范圍值更接近準備面積的目的。

3.優(yōu)化“估策”意識，豐富空間思辨能力。

現(xiàn)實生活中不規(guī)則圖形隨處可見，解決此類問題的關(guān)鍵在于如何提取和分析相關(guān)信息以及對應策略。問題的真實性、挑戰(zhàn)性能成為促動學生空間思維辨析，估測策略完善的內(nèi)驅(qū)力。如天一廣場面積的估計，挑戰(zhàn)性體現(xiàn)在：其一，天一廣場地形為不規(guī)則圖形且與規(guī)則圖形差異較大，學生無法進行直接轉(zhuǎn)化；其二，僅提供亞細亞廣場面積，兩個廣場面積之間的聯(lián)系需自主建構(gòu)。在開放性問題中，學生在估測策略的初步提出、自我否定、再次完善中不斷自我思辨，經(jīng)歷了估測標準的確立，估計范圍的精縮。這樣的體驗能提升學生的策略優(yōu)化意識，發(fā)展空間思維能力。