新課程標(biāo)準(zhǔn)視域下提升運(yùn)算能力習(xí)題設(shè)計(jì)例談

文 李 勤（特級教師）

習(xí)題設(shè)計(jì)是教學(xué)活動(dòng)的重要組成部分，也是學(xué)業(yè)質(zhì)量的重要保證。《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022 年版）》學(xué)生核心素養(yǎng)指向“三會”，基于新課程標(biāo)準(zhǔn)理念，習(xí)題設(shè)計(jì)需打破原有“數(shù)學(xué)就是多做題”的傳統(tǒng)觀念，關(guān)注數(shù)學(xué)的本質(zhì)，關(guān)注通性通法，體現(xiàn)學(xué)生經(jīng)歷“重計(jì)算結(jié)果轉(zhuǎn)向關(guān)注算法算理，從單一知識點(diǎn)學(xué)習(xí)轉(zhuǎn)向運(yùn)算體系結(jié)構(gòu)化，由固定型思維轉(zhuǎn)向成長型思維”的學(xué)習(xí)過程，發(fā)展核心素養(yǎng)。

運(yùn)算能力一直以來是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一項(xiàng)關(guān)鍵能力。新課程標(biāo)準(zhǔn)在小學(xué)階段和初中階段均提到了“運(yùn)算能力”，小學(xué)階段在運(yùn)算能力發(fā)展上側(cè)重對經(jīng)驗(yàn)的感悟，初中更側(cè)重對概念的理解。運(yùn)算能力培養(yǎng)長期以來容易被教師或家長看作為純粹的技能訓(xùn)練，通過反復(fù)操練，提升計(jì)算熟練度，就是發(fā)展了學(xué)生的運(yùn)算能力，對運(yùn)算能力的理解存在誤讀。

在核心素養(yǎng)培養(yǎng)背景下，運(yùn)算教學(xué)應(yīng)打破以往單一機(jī)械練習(xí)模式，幫助學(xué)生發(fā)現(xiàn)知識間的聯(lián)系，形成整體知識結(jié)構(gòu)。那么，習(xí)題設(shè)計(jì)如何從數(shù)學(xué)基本概念出發(fā)，幫助學(xué)生建立知識聯(lián)系，對數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)有一個(gè)清晰的認(rèn)知，從知識的本質(zhì)入手舉一反三、融會貫通，在算理理解與算法歸納中發(fā)展分析、概括和創(chuàng)新思維？筆者結(jié)合具體實(shí)例做出簡析，與廣大同仁就提升小學(xué)數(shù)學(xué)運(yùn)算能力習(xí)題設(shè)計(jì)進(jìn)行交流。

一、習(xí)題的結(jié)構(gòu)表達(dá)，彰顯運(yùn)算本質(zhì)的一致性

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022 年版）》指出：習(xí)題的設(shè)計(jì)要關(guān)注數(shù)學(xué)的本質(zhì)，關(guān)注通性通法。數(shù)的運(yùn)算的學(xué)習(xí)，蘊(yùn)含在各個(gè)年段，并且相互關(guān)聯(lián)，由淺入深，螺旋上升，構(gòu)成相對系統(tǒng)的知識結(jié)構(gòu)。由于每個(gè)年段在數(shù)的運(yùn)算學(xué)習(xí)時(shí)都有側(cè)重點(diǎn)，教師設(shè)計(jì)習(xí)題時(shí)，往往會聚焦本年段新知學(xué)習(xí)與傳授，易出現(xiàn)“知識本位”，呈現(xiàn)出“例題——習(xí)題”的單向結(jié)構(gòu)與“學(xué)——練”的簡單即時(shí)的學(xué)習(xí)模式，缺乏設(shè)計(jì)對未來學(xué)習(xí)有支撐意義的結(jié)構(gòu)化的數(shù)學(xué)習(xí)題。培養(yǎng)運(yùn)算能力指學(xué)生在理解運(yùn)算法則和運(yùn)算律基礎(chǔ)上，進(jìn)一步明晰運(yùn)算的對象和意義，感悟算法與算理之間的關(guān)聯(lián)，面對不同的實(shí)際問題，學(xué)會用合理簡潔的運(yùn)算策略解決問題等。習(xí)題結(jié)構(gòu)化設(shè)計(jì)，可以將知識進(jìn)行系統(tǒng)梳理和溝通，把零碎的知識點(diǎn)串聯(lián)成一條線，關(guān)注數(shù)學(xué)的本質(zhì)，關(guān)注法理互融，引發(fā)學(xué)生感悟數(shù)學(xué)知識的整體性，建立起有意義的知識結(jié)構(gòu)，形成嚴(yán)謹(jǐn)思考問題的品質(zhì)。

蘇教版四年級下冊《三位數(shù)乘兩位數(shù)》是小學(xué)階段整數(shù)四則運(yùn)算的最后一個(gè)單元，教師設(shè)計(jì)如下習(xí)題。

下圖是二至四年級以來教材例題中我們所學(xué)的整數(shù)乘法豎式。觀察這些乘法豎式，想想整數(shù)乘法的學(xué)習(xí)歷程與聯(lián)系，再列豎式舉例說說三位數(shù)乘三位數(shù)、（ ）位數(shù)乘（ ）位數(shù)怎樣計(jì)算？

數(shù)的運(yùn)算習(xí)題設(shè)計(jì)關(guān)注點(diǎn)要落在理解算理、掌握算法和數(shù)與運(yùn)算之間的關(guān)聯(lián)上。上題教師引發(fā)學(xué)生從二年級的《表內(nèi)乘法》到三年級上冊《兩、三位數(shù)乘一位數(shù)》、三年級下冊《兩位數(shù)乘兩位數(shù)》、四年級下冊《三位數(shù)乘兩位數(shù)》，在觀察、回顧中發(fā)現(xiàn)雖然乘數(shù)的位數(shù)發(fā)生著變化，但算理和算法本質(zhì)上是一致的，讓學(xué)生在此基礎(chǔ)上，大膽設(shè)想還可以算幾位數(shù)乘幾位數(shù)，感悟數(shù)與運(yùn)算之間的關(guān)系，用已有學(xué)習(xí)的知識經(jīng)驗(yàn)、策略方法遷移到未知學(xué)習(xí)中，找到新舊知識之間的關(guān)聯(lián)，體會數(shù)的運(yùn)算本質(zhì)上的一致性，發(fā)展運(yùn)算能力和推理意識。

二、習(xí)題的符號表達(dá)，感受數(shù)學(xué)結(jié)論的一般性

小學(xué)階段核心素養(yǎng)的主要表現(xiàn)并不是孤立的，是存在交叉、關(guān)聯(lián)、融合的。數(shù)學(xué)符號，以及感悟用數(shù)學(xué)符號表達(dá)事物的性質(zhì)、關(guān)系和規(guī)律的關(guān)鍵內(nèi)容，是學(xué)生初步形成抽象能力和推理能力，感悟用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界的重要載體。習(xí)題呈現(xiàn)從具體的算式改為用符號表示數(shù)或者運(yùn)算過程、計(jì)算結(jié)果，促使學(xué)生通過基于符號的運(yùn)用和推理，理解數(shù)與運(yùn)算的關(guān)系，從中感悟數(shù)學(xué)結(jié)論的一般性，建立符號意識。

例如：列豎式計(jì)算“432×□□”時(shí)，究竟是第一步的計(jì)算結(jié)果A 大，還是第二步的計(jì)算結(jié)果B 大？丁丁、樂樂和小宇三位同學(xué)給出了不同的觀點(diǎn)（如下圖）。你贊成誰的觀點(diǎn)？在對應(yīng)的□里畫“√”，并說說你的理由。

此題中，僅能看出是一道三位數(shù)乘兩位數(shù)的算式，計(jì)算過程分別用4 個(gè)□和3 個(gè)□表達(dá)，學(xué)生容易只看方框個(gè)數(shù)判斷A、B 的大小，覺得丁丁觀點(diǎn)正確。此題辨析的關(guān)鍵是理解三位數(shù)乘兩位數(shù)算理依據(jù)，兩位數(shù)個(gè)位上的數(shù)最大是9，9 乘432 是9 個(gè)432；十位上最小是1，表示1 個(gè)十，10 乘432 是10 個(gè)432，根據(jù)數(shù)位上數(shù)的含義及算法，由此得出A

再如：

想一想，填一填。

此題設(shè)計(jì)，我們依然不能看到完整的算式，呈現(xiàn)的都是兩位數(shù)乘兩位數(shù)，需要學(xué)生從兩位數(shù)乘兩位數(shù)積的范圍和已知數(shù)相乘情況進(jìn)行辨析，兩位數(shù)乘兩位數(shù)積可能是三位數(shù)也可能是四位數(shù)，上面三道算式均符合兩位數(shù)乘兩位數(shù)積的范圍。這時(shí)，需要聚焦已知數(shù)與積之間的關(guān)聯(lián)。可以看到，①、③兩道算式中已知數(shù)與積存在合理關(guān)聯(lián)，第②題通過估算可以發(fā)現(xiàn)，二十幾與二十幾相乘不可能是四位數(shù)，由此判斷第②題的結(jié)果一定是錯(cuò)的。在習(xí)題的符號表達(dá)設(shè)計(jì)下，學(xué)生首先對問題情境加以識別，然后對問題的結(jié)構(gòu)、路徑等做出判斷，調(diào)取以往學(xué)習(xí)的知識儲備，尋找解決問題的突破口，對應(yīng)已有的知識模型解決當(dāng)前的問題，或者建構(gòu)新的數(shù)學(xué)模型，提升運(yùn)算能力。

三、習(xí)題的分層表達(dá)，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)能力的發(fā)展性

運(yùn)算能力是小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的關(guān)鍵能力。所謂關(guān)鍵能力，是指學(xué)生在處理各種事件的能力中占據(jù)著主導(dǎo)地位、起著主要作用的能力。運(yùn)算能力的培養(yǎng)，不僅在計(jì)算教學(xué)中，還要在較復(fù)雜的真實(shí)情境中，學(xué)生能夠選擇恰當(dāng)?shù)倪\(yùn)算方法解決問題，通過分析比較、抽象概括，運(yùn)用自己的思維來對數(shù)學(xué)問題進(jìn)行區(qū)分和分析，從數(shù)學(xué)概念、原理及法則之間的聯(lián)系出發(fā)，以整體的、聯(lián)系的、發(fā)展的眼光看問題，找到解決問題的突破口，在問題解決中發(fā)展辯證思維和創(chuàng)新思維等高階思維，形成科學(xué)的思維習(xí)慣，發(fā)展核心素養(yǎng)。

1.判一判：下面的問題哪些能用算式15×5×2 解決，能的在□里打“√”，不能的在□里打“×”。

2.改一改：試著改變一個(gè)條件，讓它也能用算式15×5×2 解決。

3.編一編：看到這個(gè)算式，你還能寫出哪些生活中有趣的數(shù)學(xué)故事？在下面寫出一個(gè)能用算式15×5×2 解決的數(shù)學(xué)故事并與你的同伴分享吧。

這道習(xí)題有三個(gè)層次，分別是“判一判”“改一改”“編一編”，每一個(gè)層次指向?qū)W生不同的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力。“判一判”讓學(xué)生從數(shù)學(xué)算式“15×5×2”出發(fā)，依據(jù)算式的含義，觀察、比較提供的四種情境，分析其中的數(shù)量關(guān)系，尋找它們的共同點(diǎn)，進(jìn)而抽象為一組數(shù)量關(guān)系或一個(gè)乘積模型，理解這些數(shù)量關(guān)系雖然名稱不同，但本質(zhì)相同，體現(xiàn)出由“繁”到“簡”的思維過程，為學(xué)生的數(shù)學(xué)知識生長找準(zhǔn)基點(diǎn)，發(fā)展學(xué)生初步的抽象思維。“改一改”環(huán)節(jié)，需要學(xué)生在判斷找到“植樹節(jié)”這一情境不符合15×5×2 算式含義后，進(jìn)一步思考需要修改哪一個(gè)條件就能符合該算式。并且想到將“如果每5 人栽1 棵樹”這個(gè)條件替換為“每1 人栽5 棵樹”，實(shí)現(xiàn)問題解決。“改一改”環(huán)節(jié)，學(xué)生不僅能將算式表達(dá)的含義與題中數(shù)量關(guān)系聯(lián)系起來，還要根據(jù)算式含義找到合適的條件，學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)觀察、數(shù)學(xué)思考等學(xué)習(xí)過程，增強(qiáng)解決問題的能力，培養(yǎng)思維的嚴(yán)謹(jǐn)性和邏輯性。“編一編”環(huán)節(jié)，讓學(xué)生開拓了思維空間，增強(qiáng)了習(xí)題的探索性，使學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)不斷得到完善和發(fā)展，是數(shù)學(xué)知識在較高層次上的應(yīng)用。由于學(xué)生編題時(shí)，依據(jù)算式15×5×2 的含義，主動(dòng)思考數(shù)學(xué)條件和問題的聯(lián)系，選取生活中的素材，用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實(shí)世界，經(jīng)歷數(shù)學(xué)表達(dá)、遷移運(yùn)用等學(xué)習(xí)過程，提升學(xué)生內(nèi)容分析能力和數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)應(yīng)用能力，促進(jìn)逆向思維的發(fā)展。

四、習(xí)題的溯源表達(dá)，體現(xiàn)數(shù)學(xué)思維的深刻性

《荀子·大略》中提到：“善學(xué)者盡其理，善行者究其難。”數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，不能局限于課本，要對學(xué)習(xí)內(nèi)容進(jìn)行整體建構(gòu)，從數(shù)學(xué)學(xué)科本質(zhì)的視角展望未來學(xué)習(xí)，為學(xué)生今后自主建構(gòu)知識體系提供強(qiáng)有力的支撐。提升學(xué)生的運(yùn)算能力，習(xí)題設(shè)計(jì)還要追本溯源，追溯數(shù)學(xué)發(fā)展史，幫助學(xué)生知曉數(shù)學(xué)知識的產(chǎn)生與來源、價(jià)值與意義等，感受數(shù)學(xué)學(xué)科特征，從數(shù)學(xué)本質(zhì)上深刻理解，對數(shù)學(xué)概念的現(xiàn)實(shí)背景與數(shù)學(xué)學(xué)科后續(xù)發(fā)展有所了解，繼承和發(fā)揚(yáng)中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化，滲透數(shù)學(xué)的文化屬性。

每個(gè)國家的古老文明都孕育著燦爛的數(shù)學(xué)文化，比如我們熟悉的乘法豎式。你知道嗎？現(xiàn)在的這種乘法形式是經(jīng)過千百年的演變才形成的！今天就讓我們一起來欣賞乘法豎式的演變過程吧！如下圖所示，145×12 的算法有這么多種形式，同學(xué)們，你們看懂其中的奧秘了嗎？如果你還不明白，可以上網(wǎng)找找相關(guān)資料。

試一試：先任意選擇一、兩種方法算一算（在方框里畫“√”），再豎式驗(yàn)算一下。

現(xiàn)在教科書呈現(xiàn)的乘法豎式的寫法是人們經(jīng)過長期實(shí)踐后優(yōu)化形成的。千百年來，古人在計(jì)算中不同方式的表達(dá)，不僅展現(xiàn)了古人的智慧，也蘊(yùn)涵著深刻的數(shù)學(xué)思想，在不同算法表達(dá)下體現(xiàn)了算理間的融通。這樣的習(xí)題，學(xué)生數(shù)學(xué)理解不再停留于對數(shù)學(xué)規(guī)律的淺層理解，引發(fā)學(xué)生追本溯源，挖掘知識背后的本質(zhì)，探尋知識潛藏的道理，溝通知識間的內(nèi)在聯(lián)系，知法明理，做到知其然且知其所以然，幫助學(xué)生學(xué)會清晰、深入、合理、全面地思考問題，在解題的過程中，學(xué)生或許能獲取關(guān)于乘法的靈感，在幾種算法基礎(chǔ)上進(jìn)一步思考探秘，甚至形成自己富有創(chuàng)造性的計(jì)算方法，提升學(xué)生思維的深刻性，發(fā)展數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

五、習(xí)題的開放表達(dá)，豐富數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的實(shí)踐性

習(xí)題的單一、枯燥，脫離現(xiàn)實(shí)，結(jié)果唯一，容易讓學(xué)生產(chǎn)生反感的情緒。激發(fā)學(xué)生主動(dòng)學(xué)習(xí)，樂于實(shí)踐，享受探究，需要在思考習(xí)題設(shè)計(jì)內(nèi)涵的同時(shí)還要關(guān)注習(xí)題呈現(xiàn)的方式。習(xí)題設(shè)計(jì)可以通過巧妙的形式、深刻的內(nèi)涵、開放的空間讓學(xué)生感到興致盎然，主動(dòng)思考，能夠面對挑戰(zhàn)時(shí)敢于質(zhì)疑問難，在不斷實(shí)踐過程中發(fā)現(xiàn)和提出問題，靈活運(yùn)用觀察、猜測、計(jì)算、推理、驗(yàn)證等方法分析和解決問題，熟練掌握數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識和基本技能，理解數(shù)學(xué)的思想與方法，豐富數(shù)學(xué)的基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，形成良好的思維品質(zhì)的同時(shí)發(fā)展積極的情感、態(tài)度和價(jià)值觀。

自主編題：

從11、23、68、14、55、70 這六個(gè)數(shù)中任意選擇兩個(gè)數(shù)編成一道乘法算式，將符合要求的乘法算式寫在對應(yīng)的方框里。（溫馨提示：可以采用口算、筆算或估算驗(yàn)證結(jié)果）

（1）按照要求編題。

（2）編寫進(jìn)位乘法時(shí)，上面的6 個(gè)數(shù)中，你一定不會選用哪個(gè)數(shù)？為什么？

此題雖然有要求，但是提供給學(xué)生六個(gè)數(shù)，學(xué)生可以任意選擇兩個(gè)數(shù)編成一道乘法算式，在開放的情境中考查學(xué)生的運(yùn)算能力、推理能力、思維能力和綜合能力。學(xué)生在排列組合算式過程中逐漸建立整體的計(jì)算體系，讓每個(gè)算式都不在孤單，進(jìn)一步感受到數(shù)學(xué)知識具有系統(tǒng)性和整體性的特點(diǎn)。第二個(gè)問題中不會選用哪個(gè)數(shù)的提出，讓學(xué)生產(chǎn)生了認(rèn)知沖突，激活了學(xué)生的學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)，促進(jìn)學(xué)生積極探究，聚焦對數(shù)的特點(diǎn)和兩位數(shù)乘兩位數(shù)算理的思考。進(jìn)而發(fā)現(xiàn)一定不會選用的數(shù)是11，因?yàn)? 乘任何不為0 的數(shù)都等于它本身，在兩位數(shù)乘法中，各個(gè)數(shù)位上的數(shù)與1 相乘的結(jié)果最大是9，不可能有進(jìn)位。

習(xí)題設(shè)計(jì)的開放，依然始終關(guān)注學(xué)生運(yùn)算能力和推理意識的形成和發(fā)展，在開放的問題情境中凸顯學(xué)生主體地位，滿足學(xué)生個(gè)性化、多樣化的學(xué)習(xí)和發(fā)展需求，通過實(shí)際問題和具體計(jì)算，運(yùn)用知識間蘊(yùn)藏的規(guī)律建立知識聯(lián)系并形成整體和辯證性思維，提高解決問題的能力，發(fā)展初步的應(yīng)用意識。

當(dāng)然，提升學(xué)生小學(xué)數(shù)學(xué)運(yùn)算能力的習(xí)題設(shè)計(jì)還可以體現(xiàn)在趣味性、綜合性、真實(shí)性、跨學(xué)科性等方面，努力使學(xué)生擺脫枯燥單一的機(jī)械式訓(xùn)練，避免計(jì)算的盲目性，將視角聚焦在學(xué)生學(xué)習(xí)過程中的“關(guān)鍵點(diǎn)”和“困惑點(diǎn)”，找準(zhǔn)學(xué)生運(yùn)算能力提升的“切入點(diǎn)”和“關(guān)鍵點(diǎn)”，教師從舊有的數(shù)學(xué)知識本位的學(xué)業(yè)質(zhì)量觀，走向素養(yǎng)本位的新的學(xué)業(yè)質(zhì)量觀，學(xué)生運(yùn)算能力、符號意識、模型意識等在應(yīng)對和解決各種不確定的真實(shí)現(xiàn)實(shí)問題或任務(wù)中逐步提升，數(shù)學(xué)知識、方法和價(jià)值得到了不斷整合和重構(gòu)，幫助學(xué)生認(rèn)識、理解和表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界的本質(zhì)、關(guān)系和規(guī)律，發(fā)展實(shí)踐能力和創(chuàng)新精神，形成和發(fā)展核心素養(yǎng)。