重視顯示形象促進(jìn)深度學(xué)習(xí)
——“數(shù)形結(jié)合”思想在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用分析

文|相 輝

數(shù)學(xué)是研究客觀世界的數(shù)量關(guān)系與空間形式的科學(xué)，小學(xué)數(shù)學(xué)研究的對象概括來講就是數(shù)和形兩個(gè)方面。數(shù)是形的抽象概括，形是數(shù)的直觀表現(xiàn)，數(shù)與形的相互轉(zhuǎn)化，既是數(shù)學(xué)的重要思想，更是解決數(shù)學(xué)問題的有效策略。我國著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾指出“數(shù)與形，本是相倚依，數(shù)無形時(shí)少直覺，形少數(shù)時(shí)難入微”。生動(dòng)形象地闡述了數(shù)形結(jié)合在數(shù)學(xué)教學(xué)中的重要性和特殊性。

然而，很多一線教師課堂上卻過于重視知識的傳授和技能的訓(xùn)練，而忽視“數(shù)形結(jié)合”思想的感悟，致使學(xué)生對數(shù)學(xué)本質(zhì)的理解不夠深入，僅僅知其然而不知其所以然，對解題方式多以模仿為主，缺乏綜合性、靈活性解決問題的能力，學(xué)習(xí)質(zhì)量也大打折扣。下面就以“數(shù)形結(jié)合”這一思想教學(xué)為例，談?wù)勅绾芜\(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想方法，引領(lǐng)學(xué)生開展深度學(xué)習(xí)，提升問題解決能力。

一、顯示形象，深化理解數(shù)學(xué)知識

在小學(xué)數(shù)學(xué)的教學(xué)中，有些抽象的數(shù)學(xué)知識，如果僅僅依靠教師的講述，學(xué)生很難理解，而“數(shù)形結(jié)合”思想能使比較抽象的概念轉(zhuǎn)化為清晰具體、更容易理解的形象化事物，方便學(xué)生理解和掌握。

（一）借直觀圖，深化概念理解

數(shù)學(xué)教學(xué)要重視直觀，要處理好直觀與抽象的關(guān)系。因此，在教學(xué)數(shù)學(xué)概念時(shí)，教師在課堂上要借助直觀圖，在直觀和抽象之間架設(shè)橋梁，使學(xué)生直觀感知數(shù)學(xué)概念的含義，從而觸及數(shù)學(xué)概念的實(shí)質(zhì)，起到深化理解概念的目的。

例如，在教學(xué)蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)五年級下冊第三單元“公因數(shù)”一課時(shí)，有的教師是讓學(xué)生先寫出12 和18 的所有因數(shù)，再讓學(xué)生動(dòng)手圈出兩個(gè)數(shù)公有的因數(shù)1、2、3、6，最后給出描述性的概念“像這樣兩個(gè)數(shù)公有的因數(shù)就是它們的公因數(shù)”。這樣教學(xué)看似讓學(xué)生經(jīng)歷了公因數(shù)概念的形成過程，其實(shí)并沒有反映出概念的實(shí)際意義及其背后的本質(zhì)。

對此，筆者在教學(xué)時(shí)按照“動(dòng)手操作→呈現(xiàn)圖形→直觀感知→深化理解”的思維過程，引導(dǎo)學(xué)生展開探究（過程如圖1 所示）。首先設(shè)計(jì)用邊長6 厘米和4 厘米的正方形紙片去鋪長是18 厘米、寬是12 厘米的長方形操作活動(dòng)，使學(xué)生在操作、比較中初步感知邊長是6 厘米的正方形紙片能正好鋪滿；接著呈現(xiàn)圖形，再次引導(dǎo)學(xué)生直觀感知，體悟出邊長是1 厘米、2厘米和3 厘米的正方形也能正好鋪滿這個(gè)長方形；從而體會到，正方形的邊長與能否正好鋪滿的長方形的長和寬的關(guān)系，即只要邊長的厘米數(shù)既是12 的因數(shù)，又是18 的因數(shù)，就能正好鋪滿。最終通過幾何直觀明晰了公因數(shù)的現(xiàn)實(shí)意義，深刻理解了1、2、3、6 既是12 的因數(shù)，又是18 的因數(shù)，它們就是12 和18 的公因數(shù)。達(dá)到了知其然又知其所以然的教學(xué)目的。

圖1

這樣教學(xué)，不僅讓抽象的數(shù)學(xué)概念直觀化，隱形的數(shù)學(xué)思維可視化，而且還有效地幫助了學(xué)生直觀感知數(shù)學(xué)概念的內(nèi)涵，真正實(shí)現(xiàn)對數(shù)學(xué)概念的深化理解。

（二）畫示意圖，深入理解算理

“在基本技能的教學(xué)中，不僅要使學(xué)生掌握技能操作的程序和步驟，還要使學(xué)生理解程序和步驟的道理”。也就是說，在小學(xué)數(shù)學(xué)運(yùn)算教學(xué)中，不僅要求學(xué)生掌握程序化的運(yùn)算法則，更要理解蘊(yùn)含在算法背后的算理。我們可以借助圖形表征，變抽象為直觀，實(shí)現(xiàn)對算理的深度理解。

比如，在教學(xué)蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)三年級下冊“有趣的乘法計(jì)算”一課時(shí)，多數(shù)教師首先是讓學(xué)生用豎式計(jì)算24×11、53×11、62×11，然后讓學(xué)生觀察算式與結(jié)果，把積的每一位上的數(shù)和原來的兩位數(shù)進(jìn)行比較。有的學(xué)生發(fā)現(xiàn)積個(gè)位上的數(shù)與原來兩位數(shù)個(gè)位上的數(shù)一樣，有的學(xué)生發(fā)現(xiàn)積百位上的數(shù)，與原來兩位數(shù)十位上的數(shù)一樣，還有的學(xué)生發(fā)現(xiàn)積十位上的數(shù)，等于原來兩位數(shù)個(gè)位與十位上數(shù)的和。接著讓學(xué)生根據(jù)發(fā)現(xiàn)完成填空：23×11=2□3、64×11=□□4、59×11=□□9，同時(shí)用豎式計(jì)算驗(yàn)證。最后得出結(jié)論，兩位數(shù)乘11，兩位數(shù)的十位與個(gè)位上的數(shù)分別是這個(gè)積的首位與末尾，中間的數(shù)是這兩個(gè)數(shù)相加的和，當(dāng)個(gè)位與十位上數(shù)相加滿十時(shí)，要向百位進(jìn)1，最后概括成口訣“兩邊一拉，中間相加”。

筆者在教學(xué)時(shí)沒有到此為止，而是通過畫出示意圖，引導(dǎo)學(xué)生深入理解其中的道理。如23×11，可以把23 看作長方形的長、11 看作長方形的寬，得數(shù)253 看作是長方形的面積。23 拆成20 和3 兩部分，同樣11拆成10 加1，長方形面積就被分成四部分（圖2）。20×10=200，即20 個(gè)十，說明積的百位上是2；3×1=3，即3 個(gè)一，說明積的個(gè)位上是3；另外兩部分分別是2個(gè)十和3 個(gè)十，說明積的十位上是（2+3），表示5 個(gè)十，因此乘得積是253。學(xué)生借助圖形真正理解了“兩邊一拉，中間相加”的道理。

圖2

這樣，學(xué)生在經(jīng)歷“計(jì)算—猜想—驗(yàn)證—內(nèi)化”的探究過程中，顯示形象，以形助數(shù)，由直觀到抽象，既促進(jìn)了算理和算法的自然融通，也使學(xué)生的計(jì)算能力在思維的土壤中得以不斷生長。

（三）構(gòu)造圖形，深度探究算法

計(jì)算教學(xué)中要求能夠理解運(yùn)算的問題，選擇合理簡潔的運(yùn)算策略解決問題，能夠通過運(yùn)算促進(jìn)數(shù)學(xué)推理能力的發(fā)展，形成規(guī)范化思考問題的品質(zhì)，養(yǎng)成一絲不茍、嚴(yán)謹(jǐn)求實(shí)的科學(xué)態(tài)度。因此在教學(xué)中要從數(shù)學(xué)的感知材料出發(fā)，通過邏輯思維，揭示數(shù)與形的本質(zhì)特征，透過表面揭示問題實(shí)質(zhì)。

圖3

可見，教師要善于依據(jù)問題與已知條件的內(nèi)在聯(lián)系，由數(shù)想到形，以形思數(shù)，把抽象的數(shù)學(xué)問題直觀化、形象化，引領(lǐng)學(xué)生把握數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)，從而達(dá)到培養(yǎng)學(xué)生解決問題的目的。

二、借數(shù)解形，優(yōu)化問題解決策略

借數(shù)解形就是借助于數(shù)的精確性和嚴(yán)密性，來闡明形的某些屬性。其中以數(shù)定位可以在解決圖形類問題的過程中，通過用數(shù)對的方式固定圖形中的人或物，給圖形賦予數(shù)字的含義，讓復(fù)雜的圖形問題變得簡潔明了。

比如，在教學(xué)蘇教版四年級數(shù)學(xué)下冊第八單元“用數(shù)對確定位置”一課時(shí)，筆者首先展示座位示意圖，讓學(xué)生說出其中小軍的位置，學(xué)生觀察示意圖說法不一。這時(shí)學(xué)生就會產(chǎn)生認(rèn)知上沖突，不明白為什么小軍的位置沒有發(fā)生變化，但描述的結(jié)果卻不一致呢？從而產(chǎn)生了統(tǒng)一描述方法的需求。此時(shí)筆者順勢引出在二維空間下可以用數(shù)對來確定位置，豎排叫“列”，橫排叫“行”，“列”是從左往右數(shù)，“行”是從前往后數(shù)，這樣用兩個(gè)數(shù)字就可以清晰、準(zhǔn)確地表示出某一點(diǎn)在平面中的位置。這種以數(shù)定位的方法，給圖形賦予數(shù)的含義，不僅有利于學(xué)生理解數(shù)學(xué)中的問題，而且能幫助學(xué)生化解學(xué)習(xí)上的難點(diǎn)。

三、數(shù)形互譯，提升數(shù)學(xué)思維能力

在解決數(shù)學(xué)問題的過程中，不僅有以形助教、借數(shù)解形，有時(shí)還會出現(xiàn)數(shù)與形互譯的情況，即把數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)化為圖形表征，再根據(jù)對圖形的分析、觀察和聯(lián)想，逐步抽象算式來解決問題。“數(shù)”與“形”互譯，可以使原本模糊難辨的問題變得清晰明朗，把復(fù)雜的數(shù)量關(guān)系變得直觀形象，把抽象的數(shù)學(xué)思維變得具體可視。

比如教學(xué)蘇教版六年級數(shù)學(xué)下冊第三單元“解決問題的策略”一課時(shí)，筆者呈現(xiàn)問題“雞兔同籠，有20個(gè)頭，54 條腿，雞、兔各有多少只？”學(xué)生有的采用列表法進(jìn)行有序列舉，找出正確答案；有的假設(shè)雞和兔的只數(shù)一樣多，再根據(jù)總腿數(shù)進(jìn)行調(diào)整，找出答案；還有的用畫圖法（圖4），畫20 個(gè)圓表示一共有20 只動(dòng)物，再給每個(gè)動(dòng)物畫2 條腿，把所有的動(dòng)物都看作是雞，算一算畫出的腿數(shù)比54 條少了14 條。一只雞比一只兔多2 條腿，于是再給其中的動(dòng)物添上2 條腿，使畫出的腿正好是54 條。把14 條添完，要添7 只，說明兔有7 只，雞有13 只。

圖4

接著筆者讓學(xué)生對上面的幾種方法進(jìn)行融合對比，學(xué)生發(fā)現(xiàn)，列表法和畫圖法，一個(gè)是數(shù)一個(gè)是形，列表簡單、畫圖直觀，形式上雖然不同，但它們的本質(zhì)上卻是一樣的，都是運(yùn)用假設(shè)的策略。學(xué)生通過“數(shù)”與“形”之間的不斷切換，把具體的形象思維推向抽象認(rèn)知的思維地帶，逐步感悟到邏輯推理的內(nèi)涵，明白了列式計(jì)算的道理。即可以假設(shè)都是雞：20×2=40（條）、54-40=14（條），兔有14÷（4-2）=7（只）、雞有20-7=13（只）；也可以假設(shè)都是兔：20×4=80（條）、80-54=26（條），雞有26÷（4-2）=13（只）、兔有20-13=7（只）。

這樣通過“數(shù)”與“形”互譯，學(xué)生的抽象思維有了形象思維的支撐，抽象思維和形象思維協(xié)同發(fā)展，不僅解決了問題，而且提升了數(shù)學(xué)思維能力。因此教師應(yīng)在數(shù)學(xué)教學(xué)中盡可能的去挖掘“數(shù)”與“形”的本質(zhì)聯(lián)系，將數(shù)形結(jié)合的思想方法落實(shí)到實(shí)處，不僅能培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維，還能鍛煉學(xué)生的抽象思維，讓學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)充滿“智趣”！