用GeoGebra教學頻率分布直方圖

莫 競

（東莞市第二高級中學，廣東 東莞 523129）

0 引言

大數據時代的計算機技術不斷提升，各種軟件和現代信息技術在統計工作廣泛應用，大大提高了統計工作的效率。數據分析是大數據時代數學應用的主要方法。《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》（以下簡稱《標準》）中建議，統計的核心是數據分析，統計的教學活動應通過典型案例進行，鼓勵學生盡可能運用計算機處理數據[1]。根據《標準》的教學建議，學生需要通過處理案例獲得數據分析的經驗，習得數據分析的方法，理解數據分析的思路，從而能夠區別統計思維與確定性思維、歸納推斷與演繹證明的差異。可見，在統計內容的教學中，不僅要教授必要的統計技術，更重要的是要培養學生的統計思維。教學中教師應該充分發揮信息技術優勢，剪枝節（統計技術），強主干（統計思維）[2]。

以頻率分布直方圖為例，它是普通高中數學必修內容。雖然繪制頻率分布直方圖僅有五個作圖步驟，但是每個步驟的工作量都非常大，如果不借助于信息技術，學生將會在煩瑣的數據操作中磨滅學習的熱情，那就談不上統計思維的培養了。于是，在信息技術支持下如何開展頻率分布直方圖的教學就成了必須逾越的課題。

通過軟件例如Excel、SPSS等只要錄入數據就能快速生成頻率分布直方圖，但這不利于學生理解頻率分布直方圖的構造和特點，例如很多學生經常會把縱軸的意義搞錯[3]，所以學生很有必要經歷頻率分布直方圖的制作過程。經過探索，我們發現GeoGebra可用于頻率分布直方圖的教學。

1 GeoGebra的統計功能介紹

GeoGebra是一款能多平臺使用的開源動態數學軟件，因適用于幾何學、三角學與微積分的動態圖形而聞名。其實，該軟件還有強大的統計分析功能。學生可以使用GeoGebra創建統計圖，進行假設檢驗，并對現實世界的現象進行統計模擬，而且操作十分簡便[4]。本文就利用GeoGebra教學頻率分布直方圖進行介紹。

GeoGebra自帶統計功能包括：單變量分析、雙變量回歸分析、多變量分析、分布與檢驗等。例如，把數據輸入表格區的A列后，選中A列再點擊“單變量分析”的按鈕，就能快速輸出頻數分布直方圖，如果點擊“顯示統計”按鈕，還能得到樣本容量、均值、方差、標準差等基本的數據信息，拖動直方圖上方的滑動條時，還能得到不同組數的圖形。點開選項，我們可以選擇“頻數類型”中的“正態化”，就能得到“頻率分布直方圖”，如果選擇顯示“頻數表”和“頻數折線圖”，就會在直方圖上附加折線圖，在直方圖下方有“區間分組”和“頻率/組距”的對應列表，如圖1所示。

圖1

可見，利用GeoGebra能快速獲得頻率分布直方圖及相關的數據，但要想學生獲得制作頻率分布直方圖的獲得經驗，就需要讓學生經歷制作頻率分布直方圖的步驟。由于GeoGebra集代數與幾何于一身，所以能利用GeoGebra提供的指令完成相關數據操作。

2 教學片段

片段1：對“頻率分布直方圖”的整體認識。

學生把教材[5]中“100戶居民用戶的月均用水量”數據輸入表格區中的A列，得到A1至A100共100個數據，利用GeoGebra單變量分析功能，得到直方圖。教師引導學生先關注“頻數類型”中“頻數”“相對”和“正態化”三個選項的區別。

問題1：在三個選項轉換的時候，哪些地方變了，那些地方沒變？

在三個選項轉換的時候，我們可以發現直方圖的橫坐標是不變的，但是縱坐標發生了變化，從較大的數變成較小的的數。

問題2：在三個不同的選項下拖動滑動條，圖形會產生什么變化？這些變化是由哪些因素引起的？

在三個不同的選項下拖動滑動條，我們可以看到小矩形的形狀發生了變化。在“頻數”選項下拖動滑動條，縱坐標的變化較大，在“相對”條件下拖動滑動條，縱坐標的變化小了，在“正態化”條件下拖動滑動條時縱坐標變化很小，也就是說縱坐標相對比較穩定。

問題3：如果要繪制頻率分布直方圖，你會采用什么步驟？

設計意圖：因為學生在前面的學習中經常利用GeoG-ebra開展探究活動，所以他們能很嫻熟地利用GeoGebra自帶的統計功能直接繪制出頻率分布直方圖。以學生已經學習過的頻數分布直方圖為知識的生長點引入主題，通過三個問題引導學生對該結果進行深入思考，為深入探究頻率分布直方圖的特征做準備。問題3起到承上啟下的作用，同時能培養學生的統計流程意識。

片段二：設置分組。

為了確定每個小矩形的底邊，就要對數據進行分組。教材中建議，當數據不超過100個時，常分成5至12組，并且一般取等長的組距，組距力求取整。

問題4：分組時需要哪些前提條件？

通過對片段一中的圖形進行觀察，學生結合繪制頻數分布直方圖的經驗，知道分組時首先需要知道數據的范圍，即要找出數據中的最小值和最大值，利用表格區中的數據創建列表“l1”，利用指令：“最小值(l1)”和“最大值(l1)”得到數據中的最大值記作a，最小值記作b。

問題5：分組時如果事先已經確定組距為k，那么組數應該怎么確定呢？

學生經過討論后發現，組數可以利用(b-a)/k向上取整獲得，在GeoGebra中可以用指令：“ceil((b-a)/k)”獲得。

問題6：怎樣設置分組區間的端點？

由于組距一般是等長的，而且力求“取整”，所以可以考慮對最小值向下取整，即d=floor(a)；對最大值向上取整，即e=ceil(b),從而得到直方圖所有區間中的最小值和最大值。用k來表示組距，那么所有分組區間的端點可以使用序列指令得到，即：“序列(d+i*k,i,0,ceil((e-d)/3)”，由此可以得到序列l2，其中的元素就是每個分組的區間端點，同時會創建滑動條k，設置k的取值范圍為：從1到ceil((b-a)/3)，增量為1。

設計意圖：為了能確定分組區間的端點，需要對分組區間的特點進行思考。因為在問題2中，學生發現分組數（或組距）會影響頻率分布直方圖最后的形狀，所有引入了參數k。當我們拖動k時，可以改變k的值。這時GeoGebra就不僅僅是一個展示工具，還是一個思維工具，能把學生的思維結果快速呈現出來，減輕學生的認知負荷。

片段三：列頻率分布表。

有了橫坐標后，就要計算每個小矩形的高的值。利用GeoGebra的統計指令能夠快速進行頻數統計以及頻率和每個小矩形的高的值的計算。

問題7：怎樣利用GeoGebra計算小矩形的高？

因為小矩形的高等于頻率/組距，而頻率=頻數/樣本容量，所以可以利用指令：“頻數列表(l2,l1)”得到每個分組區間的頻數，其結果是序列l3；利用指令：“映射(p/100,p,l3)”將l3中的每個元素除以樣本容量100，從而得到每個分組區間的頻率，其結果是序列l4。利用指令：“映射(p/k,p,l4)”計算出每個分組區間的頻率與組距的比值，也就是每個小矩形的高的值。

問題8：怎樣用表格文本指令繪制頻率分布表？

首先需要了解頻率分布表的組成結構，它一共有三列，第一列是分組區間，第二列是相應區間的頻數，第三列是相應區間的頻率。

接著就能利用GeoGebra提供的指令構建各列的數據和繪制頻率分布表。利用指令：“序列("["+l2(i)+","+l2(i+1)+如果(i<>長度(l3),")","]"),I,1,長度(l3)”獲得個分組區間的數學表達式序列l7；分別利用指令：“追加("分組",l7)”“追加("頻數",l3)”和“追加("頻率",l4)”增加表頭，依次得到序列l8、l9和l10；最后利用指令：“表格文本(l8,l9,l10,"v|_")”獲得頻率分布表，拖動k的滑動條時，頻率分布表也會隨之而變化，如圖2所示。

圖2

設計意圖：由于之前的學習中有利用表格文本列函數值表的活動經驗，學生已經能比較熟練的使用指令構造一些序列，所以，在利用GeoGebra構建頻率分布表的時候，學生要把注意力集中到各數據之間的邏輯關系上來，這個過程有助于學生對個統計數據關系的理解，同時還能加深他們學統計表格隨機性的認識。

片段四：繪制頻率分布直方圖。

問題9：怎樣利繪制頻率分布直方圖？

頻率分布直方圖中的每個小矩形的底邊是分組區間的端點，縱軸是“頻率/組距”，所以可以使用指令：“條形圖(最前元素(l2,長度(l3))+k/2,l5)”繪制出頻率分布直方圖，由于使用條形圖指令時，系統會將l2中的元素作為小矩形底邊的中點，因此需要將圖形平移k/2個單位，也就是加上k/2的原因。點擊直方圖屬性時，還能根據需要設置各小矩形的顏色，如圖3所示。圖上還能看到“g=1”的標簽，這指的是所有小矩形的面積之和為1。

圖3

問題10：拖動k的滑動條，觀察圖形的變化，你發現不同的組數對直方圖數據的分布規律有什么影響？

觀察可以發現，同一組數據，組數不同時得到的直方圖的形狀是不盡相同的，當頻率分布直方圖的組距大、組數少的時候，容易看出數據整體的分布特點，但損失了各組內數據的分布情況；當頻率分布直方圖的組距小、組數多的時候，保留了較多的原始數據信息，但是圖形變得不規則，不容易察覺數據的總體分布特點，如圖4（P133）所示。

圖4

設計意圖：在GeoGebra中使用條形圖指令制作的頻率分布直方圖能方便地選擇不同的小矩形進行著色，為后續問題討論提供了方便。通過觀察圖形地變化，加深學生對統計數據隨機性地理解，從而將統計思維與確定性思維進行區分。

片段五：利用頻率分布直方圖估計均值和方差。

問題11：怎樣利用頻率分布直方圖估計均值和方差？

使用頻率分布直方圖估算均值和方差時，將同一分組區間里的數據統一為該區間的中點的值，所以可以使用指令：“ave=總和((l2(i)+k/2)l4(i),i,1,長度(l3))”來獲得平均值，使用指令：“sqrt(總和((l2(i)+k/2-ave)2*l4(i),i,1,長度(l3)))”獲得標準差。

問題12：拖動滑動條k，觀察比較利用直方圖獲得的均值和標準差與利用單變量分析得到樣本的均值和標準差之間的區別？為什么會造成這種區別？

通過GeoGebra自帶的單變量分析得到的樣本均值是8.79，標準差是6.2047，如圖5所示，當拖動滑動條時可以發現，由頻率分布直方圖估算得到的均值和標準差都和自帶的數據有差異，這是因為頻率分布直方圖已經將數據信息做了簡約化處理，是以損失一部分信息為代價的，盡管這樣，估算的結果與真實值相差其實并不大。

圖5

設計意圖：通過估算平均值和方差，并通過變化k值來比較這兩個值與“真值”的差異，讓學生能親切地感受到統計思維與確定性思維的區別，加深統計結果隨機性的理解。

3 結語

統計內容的學習有一個螺旋上升的過程，義務教育階段的統計內容以描述性統計為主，著重在感性層面認知統計思維，學習方式偏重于計算；而高中階段的統計內容將過渡到推斷性統計，著重于通過理性層面認知統計思維，學習方式偏重于統計推斷。頻率分布直方圖一課具有很強的實踐性，雖然內容難度不大但統計思想深刻。學生利用GeoGebra進行操作實踐和動態圖形的分析，能更好地理解頻率分布直方圖的特點，能更深刻的理解統計思維與確定性思維的區別，加深統計結果隨機性的理解。