變剛度曲筋結構表征和等幾何分析與智能設計研究

郝 鵬，張坤鵬，王 博，王 群，石玉紅

（1. 大連理工大學工業裝備結構分析國家重點實驗室，大連，116024；2. 遼寧省工業裝備數字孿生重點實驗室，大連，116024；3. 北京宇航系統工程研究所，北京，100076）

0 引 言

加筋薄壁結構由蒙皮和筋條組成，具有較高的比剛度和比強度，常用作航天運載器的主要承力結構，約占艙段干重的80%以上[1]。在傳統的薄壁結構設計中，多為材料分布均勻的直線型常剛度加筋構型，如正置正交、等三角、Kagome加筋等。然而，直線構型本身就可視為對結構布局的強制約束，致使設計空間嚴重受限。同時，這種具有單一力學性能的常剛度設計，難以滿足新一代裝備的輕質高承載設計需求。

作為一種極具潛力的新型承力結構，國外學者[2～4]最近提出了整體型曲線加筋壁板的設計概念。采用電子束自由成形技術、激光精密金屬沉積工藝、3D打印等技術可以選擇性地沉積材料[2]，即結構從下至上“生長”，如圖1a所示。這種新型結構最早由Kapania教授團隊開展系統研究[3,4]，表明曲線加筋設計可調控無限小直筋的方向、間距、位置等特征，提供更大的設計空間。在與NASA蘭利研究中心和洛克希德·馬丁公司聯合設計中，制造了曲線加筋的平板樣件（見圖1c）[3]，試驗證明此類結構的承載優勢。

圖1 曲筋的制造和試驗 Fig.1 Manufacture and Experimentation of Curvilinear Stiffener

相較于直筋，曲筋帶有更復雜的結構特征，目前研究尚未形成統一的表征形式。Slemp等[3]采用NURBS函數描述曲線加筋路徑。王丹等利用角度線性變化函數[5]和流線函數[6]定義曲線加筋路徑。根據結構的開口類型，郝鵬等分別利用冪指數函數[7]和貝塞爾函數[8]表征曲線加筋路徑。除了加筋路徑，加筋布局和截面形貌的改變同樣能夠實現薄壁結構的變剛度設計[9]。郝鵬等[11]借助PCHIP函數對加筋非均勻布局和截面形貌進行統一表征。近年來，基于拓撲優化設計理念，形成一系列新穎的曲筋構型。張衛紅[12]提出了一種加筋設計新方法：幾何背景網格法，實現了三維曲面薄壁結構的加筋設計。王博等[13]為拓撲優化過程加入Helmholtz各向異性過濾約束，對異形噴管結構進行曲筋增強設計，并基于漸進均勻化技術提出了曲筋生成式方法[14]。褚晟等[15]利用水平集函數開展曲筋布局和形狀的同步優化。李威等[16]根據結構主應力線直接生成曲筋路徑。

曲線加筋結構給現有的數值分析方法帶來了巨大挑戰。與傳統加筋構型不同，曲線筋條具有變曲率幾何特征，無法實現自動結構化網格劃分，且難以保證筋條與蒙皮網格共節點，這對于以多項式有限元方法為基礎的商業軟件來說，分析效率和精度都受到極大的限制。因此開發精度、效率更高的數值方法，對曲線加筋結構的設計具有重要的意義。Kapania等[17]使用插值算法來實現筋條單元和殼體單元自由度之間的耦合，該算法首先在無網格分析[18]中實現，進一步擴展到標準有限元分析[19]和等幾何分析[20]。Saeedi等[21]使用相同的耦合方法，研究了不同參數對加筋板屈曲和彎曲行為的影響，如彎曲剛度、相對質量、橫截面和筋條形狀。郝鵬等[22]提出了一種NURBS樣條加筋單元，針對曲線加筋結構中NURBS投影算法收斂困難的問題，對傳統的投影算法進行了改進，改進的方法具有更高的魯棒性，此外，基于筋條樣條單元的加筋結構等幾何分析方法在精度和效率方面均領先于有限元商業軟件。

與傳統直線加筋構型相比，復雜曲筋結構的梯度難以直接求解，王丹等[5]利用有限差分法獲得結構的靈敏度信息，進一步結合移動漸近線方法開展曲筋路徑的優化設計。為避免陷入局部最優解，郝鵬等[8]利用多島遺傳算法對開口筒殼進行了曲筋補強設計，并開展了復雜曲線網格加筋結構路徑、布局及截面形貌的協同設計[11]。近年來，為了降低數值計算成本，數據驅動的代理模型和深度學習智能優化方法迅速發展。Li等[23]提出了圖像驅動的板料成形智能優化算法，可節省90%的成形時間。Singh等[24]搭建了預測曲筋結構屈曲響應的深度神經網絡，顯著提升了結構優化效率。

復雜曲筋的高精度高效設計需要分別從分析模型和優化算法這兩個方面入手。Kapania等[17]針對曲筋建立了高精度的殼單元分析模型，通過多項式代理模型[2]減少優化中的數值分析次數，并為NASA開發了曲筋專用設計軟件EBF3PanelOpt[4]，考慮到過多設計變量對優化效率的影響，建議最多優化曲筋數目為6條。郝鵬等[22]建立了基于新型樣條加筋單元和幾何投影算法的曲筋結構等幾何分析方法，并利用深度學習模型提出了曲筋布局的智能設計方法[10]，開發了結構變剛度智能設計優化軟件平臺，突破了傳統設計參數優化的維度局限，可實現幾十根曲筋的同步設計。

為推動變剛度曲線加筋結構在工程中的進一步應用，分別從該類結構的表征、等幾何分析、優化層面對相關文獻進行了梳理，對各方法的特點與適用性展開討論，并總結了研究面臨的挑戰及未來發展趨勢。

1 變剛度曲線加筋結構的表征

相較常剛度結構，設計變剛度曲線加筋結構的核心在于引入更豐富的結構特征。表1為曲線加筋結構的表征[11]，本章將分別對曲線加筋結構幾何顯式和隱式表征進行介紹。

表1 曲線加筋結構的表征 Tab.1 Characterization of Curvilinearly Stiffened Structures

1.1 曲線加筋結構的顯式表征

a）貝塞爾曲線：樣條函數是表征曲線的最直接方式[8]。該函數由3個控制點控制，起點Ps，中點Pm，終點Pe。在歸一化的設計空間中，曲筋路徑被定義為

b）NURBS曲線：作為更加復雜的樣條函數，Slemp等[3]利用NURBS函數對曲筋路徑進行表征：

式中Ni,p為非周期節點矢量上的p次B樣條基函數；Pi為控制點；wi為控制點的權因子。因此，可以通過控制點位置和權因子的變化，實現比貝塞爾曲線更為精確的曲筋路徑控制。

c）線性函數：基于曲筋路徑角度線性變化函數，王丹等[5]在長為l的方形設計區域中，定義一條通過原點的參考路徑：

式中θ為路徑的夾角；T1和T2分別為在路徑起點和終點處的角度，如圖2a所示。

d）流函數：利用描述流體運動的流函數，王丹等[6]在整個設計區域中定義了多根筋條路徑的布局：

通過c的改變可以獲得不同的流場。在流場中，將相同函數值的點進行投影，獲得清晰的流線加筋路徑，并且在同一流場中的路徑彼此不相交。

e）冪指數函數：對于更加復雜的網格加筋壁板，通過冪指數函數的變化可以調控整體曲線加筋布局[7]。如圖2b所示，曲筋的起點和終點沿矩形設計域邊界移動，曲筋的中點位置由冪指數函數控制：

圖2 線性函數和冪指數函數的表征 Fig.2 Characterization of Power Function and Linear Function

式中λ為布局參數；N為筋條數目；DL為設計域寬度。當λ=1時，路徑間距相等；當λ＞1時，設計域中部的筋條比兩側更密集；當λ＜1時，情況相反。

f）PCHIP函數：針對多根筋條的位置分布特征，劉大川等[11]基于PCHIP函數提出了非均勻布局的調控方法。通過將參考路徑移動不同距離di，獲得含有N根筋條的一簇曲筋結構，表示為數組［d1,d2,…,dN］：

式中dmax和dmin分別為平移最大和最小距離。在坐標系中，直線表示筋條的均勻分布，當直線變為曲線時，筋條分布變為非均勻。圖3為5種典型加筋布局[11]。

圖3 曲線加筋布局的PCHIP表征 Fig.3 Curvilinearly Stiffened Layouts Characterized by PCHIP

1.2 曲線加筋結構的隱式表征

a）基于Helmholtz各向異性過濾的拓撲優化：基于結構拓撲優化設計理念，王博等[13]利用隱式Helmholtz偏微分方程定義了各向異性濾波器：

式中ρ為區域 Ω設計變量；ρ為過濾后的密度；c為三維基向量。在拓撲優化過程中，通過施加各向異性的過濾擠壓約束，獲得垂直于異形噴管曲面的加筋結構。

b） 基于漸進均勻化方法的曲筋生成式方法：馬祥濤等[14]基于漸進均勻化技術提出了曲線加筋的生成式方法。首先定義了不同方向加筋單元，并利用等效方法獲得各向異性的材料，再對材料分布進行拓撲優化，最后通過流線函數重構獲得清晰的曲線加筋路徑。

c）基于主應力線的曲筋布局方法：針對含有任意曲面的復雜殼體結構，李威等[16]提出基于主應力線的曲筋布局方法。如圖4所示，根據主應力場獲取多條初始加筋結構，通過對每根筋條的應變能進行排序，去除對結構承載沒有貢獻的筋條，并對剩下的筋條進行局部位置優化，最終獲得高承載的新型曲線加筋結構。

圖4 基于主應力線的加筋布局方法[16] Fig.4 Stiffened Layout Method based on Principal Stress Lines

2 變剛度曲線加筋結構的等幾何分析

曲線加筋薄壁結構的設計過程對分析方法的效率、魯棒性和網格自動化提出了挑戰。目前，基于板殼理論的商用有限元軟件（ANSYS、ABAQUS等）已經能夠解決大部分的加筋結構分析。然而，具有復雜幾何特征的蒙皮-筋條結構給有限元軟件的分析帶來了兩個難點：a）每次設計迭代之后，整體的網格都需要重新劃分，對自動網格劃分技術提出了很高的要求；b）幾何近似精度是標準有限元分析在處理復雜幾何時面臨的瓶頸問題，復雜幾何意味著精細網格，即規模更大的計算模型，如圖5所示。模型復雜度和分析復雜度的增加不利于結構優化[26]。因此，曲線加筋結構分析需要更先進的數值方法。2005年美國Hughes[27]首次提出了基于NURBS基函數的等幾何分析方法，并證明等幾何分析方法可以有效解決標準有限元網格構建中的高成本、耗時和幾何誤差等問題。此外，等幾何分析方法實現了CAD與CAE的無縫連接，使結構設計過程的自動化更加方便，并被國際公認為“一種替代標準多項式有限元分析的數值方法”。

圖5 有限元模型與等幾何模型的對比 Fig.5 Comparison of the FEA Model and the IGA Model

2.1 基于殼模型的加筋結構等幾何分析

筋條是加筋板殼的一個子結構，可通過殼單元建模[28]。由于NURBS張量積造成了四邊拓撲限制，單個NURBS片無法表示復雜模型。對于曲筋板殼，必須考慮多片樣條幾何的等幾何分析。多片樣條幾何的等幾何耦合算法包括：罰函數法、拉格朗日乘子法和Nitsche法。耦合方法的魯棒性對于加筋板殼的設計尤為重要。

2.2 基于梁殼耦合模型的加筋結構等幾何分析

對于網格加筋結構，使用殼模型對筋條進行建模的成本極高。使用梁單元可以有效地減少分析變量，且這一優勢會隨著筋條數量的增加而擴大。因此，基于梁模型的加筋板殼分析方法得到了廣泛的研究。為了實現與退化殼單元的耦合，郝鵬等[22]提出了一種NURBS樣條加筋單元，該單元基于三維空間退化梁單元，利用NURBS可以精確獲取筋條的局部坐標系，筋條單元與蒙皮單元之間的關系如圖6a所示。

通過大量的算例驗證了該單元對于各類加筋結構的分析具有較高的魯棒性，特別地，對于復雜曲面蒙皮和變曲率筋條模型，該方法在分析效率和求解精度方法均高于基于有限元方法的商業軟件，如圖6b所示的一個曲線加筋平板，受到如圖6c所示的載荷工況，通過不同分析方法的對比，如圖6d和6e所示的等幾何分析和ABAQUS分析結果對比，可以明顯觀察到，等幾何分析方法在稀疏網格下就收斂到了商業軟件密集網格下的結果。此外，通過改進NURBS投影算法，使其更加適用于曲線加筋結構，大幅提升了曲線加筋結構幾何建模的效率和魯棒性。

圖6 基于梁-殼耦合的加筋模型[22] Fig.6 Stiffened Model based on Beam-shell Coupling

3 變剛度曲線加筋結構的優化設計

相較傳統常剛度結構，具有更大設計空間的曲線加筋結構增加了優化設計的難度，本節將分別對梯度類、演化類和智能優化方法進行介紹，不同優化方法的對比如表2所示[11]。

表2 不同優化方法的對比 Tab.2 Comparison of Different Optimization Methods

3.1 梯度類優化

在開展結構的梯度類優化過程中，由于具有明確的尋優方向，往往經過較少次數的數值分析就能獲得優化解，因此被廣泛地應用到工程結構設計中。

然而，梯度類優化在尋優過程中容易陷入局部最優解。針對NURBS函數表征的曲線加筋結構，Slemp等[3]開展結構輕量化設計，以最小化蒙皮和筋條質量為優化目標。將不同參數的導數進行比較：

式中a，t分別為平板長度和厚度；hst，wst分別為筋條高度和厚度。其中，設計參數對總質量的不同影響導致梯度優化過程出現收斂速度慢、解不穩定的病態問題。通過對設計變量縮放、移動處理，可以克服此類問題。

針對流函數表征的曲筋布局，王丹等[6]通過均勻化方法獲得無加筋平板模型，減少了復雜曲筋結構的建模和分析耗時。以屈曲值λ的倒數為優化目標，等效材料剛度Ce作為中間變量，利用鏈式法則，獲得響應的梯度信息。結果表明，相較的直線加筋構型，流線型曲筋使結構抗屈曲性能提升了50.9%，如圖7所示[6]。

圖7 直線和流線加筋布局的對比 Fig.7 Comparison of Straight and Streamlined Stiffened Layout

在曲線加筋的隱式表征中，以數目眾多的離散單元作為變量，增加了梯度類優化的求解難度，并且獲得的筋條路徑連續性差。馬祥濤等[14]基于漸進均勻化方法獲得無加筋的平板，以最小化應變能作為優化目標，并利用移動漸近線方法開展拓撲優化，經過重構獲得清晰的曲筋路徑。結果表明，相較于直線加筋構型，曲筋設計使得結構整體剛度提升17%。

3.2 演化類優化

由于演化類優化算法同時對設計空間中的多個解進行評估，減少陷入局部最優解的風險，并且適應度函數不受連續可微的約束，其定義域可以任意設定，這些特點擴大了演化類優化算法的應用范圍。

基于PCHIP插值函數，劉大川[11]等利用多島遺傳算法建立了曲線網格加筋結構的一體化設計框架。如表3所示，相較于直筋-均勻分布的設計，曲筋-非均勻分布的優化效率更高，進一步考慮筋條高度和厚度的截面特征，開展曲筋-非均勻-變截面的優化設計，使結構的承載性能進一步提高。

表3 幾種加筋類型的優化結果對比 Tab.3 Comparison of Optimized Results for Several Stiffened Types

3.3 智能優化

近年來，人工智能技術迅速發展，在大量數據的驅動下，形成了逼近局部或全局的智能優化機制，為解決復雜結構設計提供了一種極具潛力的優化策略。

Mulani和Joshi等[2,4]建立的響應面代理模型對于結構質量的預測誤差小于±1%，代替高保真的數值求解，加快了變剛度曲筋的設計過程。另外，搭建了曲筋設計的專用軟件平臺：EBF3PanelOpt[4]，可在多種工況下，實現薄板或薄殼的直線、曲線及葉片型加筋設計。

為了加速曲筋的優化過程，Singh等[24]建立了DNNs學習模型，對結構屈曲響應的預測精度達到95%，將優化效率提高了近200倍，但是訓練過程需要5萬個數據。為了減少數據，Singh等[25]建立了自適應機器學習模型，節約了70%的有限元數值分析計算。

對于貝塞爾函數表征的曲線加筋路徑，如圖8所示，郝鵬等[10]基于深度學習方法提出了曲筋布局的智能優化框架。由于設計過程中包含眾多的連續-離散類型變量，傳統代理模型（RBF、Kriging）對于結構響應預測誤差%RMSE約為15%，而深度學習模型有效識別曲筋圖像特征，預測誤差降至5%，大幅度改善模型預測精度。基于該優化框架形成結構變剛度設計軟件，為新型曲線加筋結構研究提供一種高效優化工具。

圖8 基于深度學習的智能布局設計 Fig.8 Intelligent Layout Design based on Deep Learning

4 結論與展望

基于變剛度曲線加筋結構的全流程設計，本文分別從表征、等幾何分析與智能優化3個角度進行了歸納總結。面臨的關鍵技術挑戰主要為：a）復雜、不規則的變剛度結構特征的精確調控、建模及分析困難；b）結構細節的激增，為傳統優化技術帶來了巨大挑戰。

為了應對以上技術挑戰，進一步的研究方向包括：a）建立基于層次樣條的設計-分析-優化一體化模型，突破幾何數據結構無法統一、復雜邊界收斂性振蕩等瓶頸問題；b）建立物理機制引導的領域神經網絡和優化框架，實現該類結構的高效、高穩健性設計。