在多重具身體驗(yàn)中習(xí)得“量感”

江蘇省無(wú)錫市新洲小學(xué) 孫曉華

“量感”主要是指對(duì)事物的可測(cè)量屬性以及大小關(guān)系的直觀感知，是學(xué)生對(duì)于量的比較、運(yùn)算、估計(jì)等方面的感悟?！傲扛小钡慕⒂兄趯W(xué)生養(yǎng)成用定量的方法認(rèn)識(shí)和解決日常生活中與數(shù)量關(guān)系及空間形式有關(guān)的問(wèn)題的習(xí)慣，從而提高學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)。筆者認(rèn)為，“量感”的習(xí)得，需借助多重具身體驗(yàn)。

一、借助直觀素材，建立“量”的清晰概念，給“量感”的萌生營(yíng)造土壤

“量感”的培養(yǎng)首先基于生活素材的直觀感知，只有讓學(xué)生充分經(jīng)歷對(duì)“量”的體驗(yàn)過(guò)程，關(guān)于“量”的概念建立才會(huì)形象、深刻而清晰，從而為“量感”的萌生營(yíng)造土壤。

（一）深刻體會(huì)計(jì)量單位產(chǎn)生的必要性

在“量”的領(lǐng)域，每個(gè)計(jì)量單位就像一把“尺子”，用來(lái)規(guī)定人類(lèi)在不同領(lǐng)域的統(tǒng)一標(biāo)準(zhǔn)。而計(jì)量單位這把“尺子”形成的必要性和合理性是“量感”形成的前提條件。

長(zhǎng)度的測(cè)量需求最開(kāi)始出現(xiàn)于遠(yuǎn)古時(shí)代的生產(chǎn)生活中，在教學(xué)“認(rèn)識(shí)厘米”一課時(shí)，不妨從古人的測(cè)量經(jīng)驗(yàn)開(kāi)始，用拃（見(jiàn)圖1）、用腳長(zhǎng)（見(jiàn)圖2）來(lái)量一量，后來(lái)發(fā)展到把小樹(shù)枝做成小棒（見(jiàn)圖3）進(jìn)行測(cè)量。在這個(gè)“粗測(cè)量”的過(guò)程中，“小棒”成為半抽象的物象工具。

圖1

圖2

圖3

在此基礎(chǔ)上，教師可以進(jìn)一步創(chuàng)設(shè)情境：

大個(gè)子老鼠和小個(gè)子貓用小棒分別量了兩根獸骨的化石，問(wèn)誰(shuí)的獸骨化石長(zhǎng)一些？（見(jiàn)圖4）但由于小棒長(zhǎng)度不確定，所以結(jié)果無(wú)法確定。矛盾的沖突引出1 厘米、1 分米、1 米三種固定長(zhǎng)度的小棒，于是長(zhǎng)度計(jì)量單位產(chǎn)生了。

圖4

再看面積單位的產(chǎn)生，當(dāng)學(xué)生需要用精準(zhǔn)的數(shù)學(xué)化方式描述“面有多大”時(shí)，觀察法、重疊法、剪拼法只能在特定場(chǎng)景中適用，于是面積單位產(chǎn)生有了第一層需求。教師可以用小長(zhǎng)度量大長(zhǎng)度、小質(zhì)量量大質(zhì)量的經(jīng)驗(yàn)（見(jiàn)圖5）啟發(fā)學(xué)生：用一個(gè)確定的小面積同樣能量出大面積里包含了多少個(gè)小面積，尋找一個(gè)小面積成為面積單位產(chǎn)生的第二層需求。學(xué)生用圓形、三角形、正方形等紙片（見(jiàn)圖6）進(jìn)行嘗試，發(fā)現(xiàn)小正方形正好可以不重疊地填滿(mǎn)長(zhǎng)方形。用小正方形來(lái)測(cè)量大長(zhǎng)方形的面積，這是面積單位產(chǎn)生的第三層需求。第四層需求便是用統(tǒng)一大小的小正方形去度量，由此產(chǎn)生平方厘米、平方分米、平方米等面積計(jì)量單位。

圖5

圖6

體積、角度、質(zhì)量、時(shí)間、貨幣等的度量同樣需要經(jīng)歷計(jì)量單位產(chǎn)生需求的過(guò)程，“量感”的形成才有向上伸展的力量。

（二）充分感知基準(zhǔn)計(jì)量單位

精準(zhǔn)把握計(jì)量單位是“量感”萌生的重要因素。不同領(lǐng)域的計(jì)量單位中都有一個(gè)“基礎(chǔ)細(xì)胞”，如“厘米”是長(zhǎng)度單位的“基礎(chǔ)細(xì)胞”，1 厘米就是種子單位“量”，“1厘米有多長(zhǎng)”的直觀感知是長(zhǎng)度計(jì)量單位概念建立的基礎(chǔ)。在教學(xué)過(guò)程中，教師應(yīng)該充分調(diào)動(dòng)學(xué)生的多種感官來(lái)建構(gòu)1 厘米的長(zhǎng)度概念，不妨采用“一看”“二比畫(huà)”“三留印象”“四找參照物”的層級(jí)式體驗(yàn)，先拿出1 厘米長(zhǎng)的小棒仔細(xì)看，再借助小棒用心比畫(huà)，然后根據(jù)感官印象演示、驗(yàn)證1 厘米有多長(zhǎng)，并在不斷調(diào)整中把1 厘米記在心里，憑借這種感覺(jué)在生活中尋找哪些物體的長(zhǎng)度大約是1 厘米。當(dāng)生活中或者身體上的1 厘米成為學(xué)生腦海中1 厘米的物象支撐時(shí)，1 厘米的概念建構(gòu)即初步完成。

（三）深入明晰計(jì)量單位進(jìn)率

“數(shù)＋單位”是“量感”的外顯表達(dá)方式，在一定程度上，“量感”和“數(shù)感”息息相關(guān)。在數(shù)的認(rèn)識(shí)中，位值的理解采用物化的途徑來(lái)建立，那么在“量”的認(rèn)識(shí)中，計(jì)量單位之間的進(jìn)率理解同樣需要借助直觀的物化途徑來(lái)完成。分米和厘米、米和分米之間的進(jìn)率，教師可以引導(dǎo)學(xué)生用“疊加”式助力感悟，1 厘米1 厘米地疊加，10 個(gè)1 厘米就是1 分米（見(jiàn)圖7）。反過(guò)來(lái)，分米到厘米，可以用“分割”式，把1 分米長(zhǎng)的紙條以1 厘米為單位進(jìn)行分割，1 分米里面有10 個(gè)1 厘米，從而得出“10 厘米=1 分米，1 分米=10 厘米”。面積單位1 平方厘米和1 平方分米之間的關(guān)系感悟同樣如此，在拼和分割的過(guò)程中（見(jiàn)圖8），以數(shù)正方形為媒介，實(shí)現(xiàn)了一維空間單位量向二維空間單位量的認(rèn)知轉(zhuǎn)化。

圖7

圖8

綜上所述，教師應(yīng)該為學(xué)生提供豐富的素材，讓學(xué)生親身體驗(yàn)、直觀感知，建立起單位標(biāo)準(zhǔn)量的清晰概念，使“量感”習(xí)得處于生機(jī)勃勃的萌芽狀態(tài)，也讓測(cè)量具有最扎實(shí)的“壘土”。

二、利用估測(cè)活動(dòng)，積累量的豐富表象，給“量感”的生長(zhǎng)輸送營(yíng)養(yǎng)

“量感”素養(yǎng)特指小學(xué)階段學(xué)生對(duì)“量”的估測(cè)推斷意識(shí)和直覺(jué)感知能力。“量感”很多時(shí)候體現(xiàn)在不借助工具的前提下對(duì)數(shù)量有較準(zhǔn)確的感知，這就要求教師在組織關(guān)于“量的計(jì)量”教學(xué)過(guò)程中，對(duì)身邊的事物屬性及其度量大小進(jìn)行各種形式的估測(cè)，充分積累量的豐富表象。

（一）借助基本單位長(zhǎng)度進(jìn)行估測(cè)

當(dāng)學(xué)生調(diào)動(dòng)多種感官建立起一個(gè)單位量的標(biāo)準(zhǔn)時(shí)，教師還需要讓學(xué)生“量感”的培養(yǎng)延續(xù)、生長(zhǎng)，借助直觀估測(cè)，建立幾個(gè)單位量的累加表象。

如在“角的度量”一課中，學(xué)生借助“看一看、摸一摸”1°，把1°記在心里后，教師依次出示幾個(gè)大小不一的角，讓學(xué)生估一估這些角里面分別有幾個(gè)1°，是幾度角（見(jiàn)圖9）。隨著估測(cè)、驗(yàn)證，再估測(cè)、再驗(yàn)證的循環(huán)往復(fù)，學(xué)生不僅進(jìn)一步加深了對(duì)1°的認(rèn)知，并且逐步把5°、10°、20°的大小印象印刻在腦海中，甚至到60°時(shí)，可以用后期形成的5°或者10°的表象加以估測(cè)。如估測(cè)一個(gè)水杯的高度時(shí)，教師可以先選擇一個(gè)合適的計(jì)量單位——厘米，然后建構(gòu)1 厘米的表象，引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)比畫(huà)、估測(cè)水杯的高度大約是多少厘米，同時(shí)進(jìn)一步用厘米尺或者1 厘米的小棒、吸管等具象物體去測(cè)量驗(yàn)證，這時(shí)候杯子高度的表象便建立了。在這個(gè)過(guò)程中，標(biāo)準(zhǔn)單位量的作用很重要。

圖9

（二）借助實(shí)際生活經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行估測(cè)

隨著估測(cè)經(jīng)驗(yàn)的累積、估測(cè)值的不斷增加，以及估測(cè)情況的日益復(fù)雜，教師還要培養(yǎng)學(xué)生借助生活中的實(shí)際經(jīng)驗(yàn)來(lái)進(jìn)行估測(cè)，并讓估測(cè)過(guò)程化繁為簡(jiǎn)。

首先，要學(xué)會(huì)為估測(cè)尋找一種“中介量”——非標(biāo)準(zhǔn)的估測(cè)參照物。如教室里飲水機(jī)上的桶裝水容量為19 升，這是每個(gè)學(xué)生都比較熟悉的，選擇它作為“中介量”來(lái)估測(cè)熱水器的容量、熱水瓶的容量或者浴缸的容量便有了支撐。

教師還可以進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生自行建立多個(gè)估測(cè)參照物。如對(duì)于“噸”的“量感”經(jīng)驗(yàn)積累，不妨以學(xué)生熟悉的自身體重作為中介量。一般三年級(jí)學(xué)生的平均體重是25 千克左右，4 個(gè)三年級(jí)學(xué)生的體重大約是100 千克，40個(gè)三年級(jí)學(xué)生的體重大約是1000 千克，也就是1 噸。這時(shí)候，40 個(gè)學(xué)生的體重就是一個(gè)中介量。

在估測(cè)的過(guò)程中，被估測(cè)物體與“中介量”之間一般會(huì)存在一定的倍比關(guān)系，因此，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)兩者之間的倍比關(guān)系，也是估測(cè)過(guò)程中的重要一環(huán)。如樓房的層高大約是3 米，一根電線桿比三層樓房矮一點(diǎn)，差不多是兩層半樓房那么高，由此可以估測(cè)出電線桿的高度大約是8 米左右。

利用估測(cè)活動(dòng)，借助參照物，積累起更多關(guān)于量的表象，即便到后來(lái)不用這一“中介量”，被測(cè)物體關(guān)于“量”的感覺(jué)依然能清晰地印刻在學(xué)生的腦海中。這時(shí)，估測(cè)便成為一種給“量感”生長(zhǎng)輸送營(yíng)養(yǎng)的重要渠道。

三、搭建應(yīng)用平臺(tái)，解決量的實(shí)際問(wèn)題，給“量感”的豐盈注入能量

“量感”培養(yǎng)的過(guò)程也是數(shù)學(xué)與生活緊密聯(lián)系的過(guò)程，“量的計(jì)量”均來(lái)自日常生活與生產(chǎn)的實(shí)際需要，具有很強(qiáng)的現(xiàn)實(shí)意義。教師要為學(xué)生搭建應(yīng)用平臺(tái)，將實(shí)際測(cè)量和推理測(cè)算相結(jié)合，主動(dòng)嘗試運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法尋求解決關(guān)于“量”的實(shí)際問(wèn)題的策略，探索數(shù)學(xué)知識(shí)的應(yīng)用價(jià)值，給“量感”的豐盈注入能量。

（一）實(shí)踐操作，在實(shí)際測(cè)量中解決問(wèn)題

關(guān)于“量的計(jì)量”，其可測(cè)性離不開(kāi)動(dòng)手操作、實(shí)地測(cè)量等精準(zhǔn)化路徑。

測(cè)量工具是實(shí)際測(cè)量的必要元素。長(zhǎng)度的測(cè)量工具是尺，質(zhì)量的測(cè)量工具是秤，容積的測(cè)量工具有量筒、量杯，角度的測(cè)量工具是量角器……測(cè)量工具的形成，本身也是“量感”培養(yǎng)的助推器。以角的測(cè)量工具形成為例，當(dāng)學(xué)生明確用1°能量出角的大小后，教師追問(wèn)：“每次量角，我們都帶上一堆的1°，你覺(jué)得怎么樣？”這一問(wèn)題引發(fā)了學(xué)生的深度思考：測(cè)量長(zhǎng)度的時(shí)候，把1 厘米1 厘米的小長(zhǎng)度拼起來(lái)，形成一把厘米尺（見(jiàn)圖10），現(xiàn)在把這些小角拼起來(lái)，能不能形成一把尺呢？借助操作，將180 個(gè)1°拼成一把半圓尺，量角器的雛形便初具規(guī)模（見(jiàn)圖11）。在這個(gè)過(guò)程中，以一種需求性、結(jié)構(gòu)化的視角，將不同“量”的測(cè)量工具關(guān)聯(lián)起來(lái)，再次通過(guò)“疊加”方式呈現(xiàn)“量”的連續(xù)可加性，測(cè)量工具的生成便成為延展性“量感”的迸發(fā)。

圖10

圖11

動(dòng)手操作是度量本質(zhì)的深刻體現(xiàn)。認(rèn)識(shí)克和千克時(shí)，借助臺(tái)秤讓學(xué)生稱(chēng)出1 千克大米、1 千克蘋(píng)果、1 千克橘子、1 千克香蕉、1 千克黃瓜等，拎一拎、掂一掂1 千克有多重，再稱(chēng)一稱(chēng)書(shū)包的質(zhì)量、背一背并稱(chēng)一稱(chēng)小朋友的質(zhì)量；認(rèn)識(shí)千米時(shí)，帶上卷尺，走出教室，量一量、走一走百米跑道的長(zhǎng)度，讓兩組學(xué)生站在跑道兩端，相互喊一喊，感受100 米有多長(zhǎng)，并想象10 個(gè)這樣的100 米就是1000 米，然后選擇一條典型的路線體驗(yàn)從學(xué)校到某標(biāo)志性建筑大約是1 千米。只有不斷地操作體驗(yàn)，“量感”素養(yǎng)才會(huì)在精準(zhǔn)化具身體驗(yàn)中豐厚起來(lái)。

（二）測(cè)算推理，在綜合運(yùn)用中解決問(wèn)題

在面對(duì)“較大量”的實(shí)際問(wèn)題時(shí)，教師還可以引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)有邏輯的推理想象、測(cè)算等方式來(lái)感知“大量”。電線桿的高度、大樹(shù)的高度、一棟大樓的高度等都是生活中的“大量”，教師可以運(yùn)用比例的知識(shí)，通過(guò)測(cè)量影長(zhǎng)求出電線桿、大樹(shù)、樓房等的高度，還可以用拍照、計(jì)算的方式來(lái)求解。在角的度量中，我們也會(huì)遇到類(lèi)似的問(wèn)題：大于180°的角如何測(cè)量？重新設(shè)計(jì)量角器或者分割大角分別測(cè)量再相加，都是解決問(wèn)題的途徑。

“量感”的持續(xù)發(fā)展除了需要生活經(jīng)驗(yàn)的“外衣”點(diǎn)綴，還需要思維的參與使之內(nèi)化，實(shí)現(xiàn)從感性認(rèn)識(shí)到理性認(rèn)識(shí)的飛躍，從而建立不同量的清晰概念。

通過(guò)多重遞進(jìn)式的體驗(yàn)，學(xué)生對(duì)“量”的合理預(yù)測(cè)、精準(zhǔn)估計(jì)、理性判斷等能力日益增強(qiáng)，“量感”以更精確、深刻的樣態(tài)，逐漸依托形體內(nèi)化于心、外化成體系，從而促進(jìn)學(xué)生“量感”素養(yǎng)的發(fā)展。