伺服機構故障下運載火箭自適應重構方法

胡存明，張衛東，張桃源，張曉東，王鵬

（1.上海航天控制技術研究所，上海 201109；2.上海航天技術研究院，上海 201109）

0 引言

新一代捆綁運載火箭采用模塊化設計，其芯級發動機和助推發動機一起參與姿態控制［1-2］，以提高控制能力，但這也導致伺服機構數量增加、故障概率增大。為了保證運載火箭安全可靠飛行，進一步提高故障情況下的適應能力，亟需開展針對伺服機構故障的高可靠冗余重構控制方法研究［3］?？刂浦貥嫹椒ㄊ撬欧C構故障重構控制的關鍵點。常見的重構方法可歸納為非優化分配方法和優化分配方法。非優化分配方法主要包括：按比例系數分配、按指令需求分配、鏈式遞增法分配［4-5］等。優化分配方法主要包括，偽逆法［6-8］、線性規劃法［9-11］以及二次規劃法［12］等。

目前，重構飛行控制主要以飛機為研究對象［13-14］，運載火箭重構控制研究剛剛起步。馮昊等［15］采用離線控制策略，基于控制力矩不變原則對運載火箭伺服機構卡死故障進行了重構，離線控制策略需要裝訂大量數據，適應性較差。BODSON［16］提出了迭代偽逆法，但當期望目標不可達時易引起較大平均誤差，不適于在線控制分配。程堂明等［17］將伺服機構故障下的擺角分配問題轉化為1 范數單目標約束優化問題，采用線性規劃方法實現姿控重構。PETERSON等［18］認為針對考慮約束的二次規劃最優求解，收斂速率慢，不適用于實時控制。黃盤興等［19］針對重型運載火箭，考慮位置飽和約束限制，提出了一種偽逆法和不動點法相結合的混合優化控制策略。

本文針對運載火箭伺服機構故障帶來的控制重構問題，提出一種計算效率高、誤差小的自適應重構方法，給出完整推導過程，通過了數學仿真驗證。

1 捆綁火箭動力學模型

以某捆綁運載火箭為研究對象，該火箭配置4 臺助推器，各助推器配置單臺發動機，芯級配置1 臺發動機，芯級與助推發動機推力和最大擺角均相同。發動機和伺服機構布局示意如圖1 所示。

圖1 某捆綁火箭發動機和伺服機構布局示意Fig.1 Layout of the engines and servo mechanisms of a launch vehicle

為考核伺服機構故障對姿態控制系統影響，需將伺服機構加入閉環控制，建立伺服機構與等效擺角關系。完整的閉環控制流程框如圖2 所示。

圖2 運載火箭控制分配及合成控制流程框Fig.2 Flow chart of the control allocation and synthesis of a launch vehicle

基于發動機和伺服機構布局，建立考慮發動機振動方程的箭體動力學模型，在此只描述伺服故障重構所用模型。

式中：φ、ψ、γ分別為俯仰、偏航、滾動姿態角偏差；ωz、ωy、ωx分別為俯仰、偏航、滾動角速率；θ、σ分別為彈道傾角、彈道偏角；δφ、δψ、δγ分別為三通道發動機合成等效擺角；δφ_SF、δψ_SF、δγ_SF分別為三通道伺服合成等效擺角；Ωpj、ζpj分別為晃動頻率和阻尼比；ypj、Zpj分別為貯箱等效晃動質量位移；ωi、ξi、qi分別為火箭第i階空間模態對應的頻率、阻尼比和廣義坐標；ωR、ξR分別為發動機頻率和阻尼比；分別為剛體運動方程系數。未說明的模型符號的含義參見文獻［20］。

針對上述動力學模型，定義狀態量x和控制輸入u，建立其狀態空間模型。

2 控制重構方法研究

基于運載火箭姿態控制模型，開展針對伺服機構故障控制中重構方法的研究。系統可控性要求故障后系統對箭體仍具有一定的控制能力，完成規定任務。控制重構方法中使用到的優化算法主要包括偽逆法、線性規劃法、混合優化法。

2.1 基于SVD 改進的控制重構方法

假設rank(B)=r，控制分配模型為f(u)=Bu=Pδ=δf，定義擺角δ和矩陣系數P，控制矩陣B的奇異值分解（Singular Value Decomposition，SVD）為

式中：U=(Ur Um-r)；V=(Vr Vn-r)；Σr為單位陣。

建立目標函數：

得到：

求取其無窮范數，可得：

可得到最終的操縱輸入：

式中：ρ為比例縮放因子。

可以看出ud無窮范數的最小化保證了ρ的最大化，使得式（6）中：

為滿足約束的共線最優解，等價于線性規劃解。由于最小化無窮范數在實際情況中不便于使用，需近似處理。注意到：

又因為

因此當n較小時，可用‖ur‖∞來近似最小化無窮范數，近似誤差隨n減小而減小。又

在火箭的控制重構中，一般有n?m，假設r=m，此時：

就是無約束偽逆法的最優解。最終輸入為

2.2 方法對比分析

針對自變量帶約束的f(u)=Pδ問題，當Pδ1在可行集時，能找到u1滿足f(u1)=Pδ1，當Pδ2在非可行集時，只能通過優化算法求解。以自變量約束在自由度xn，xn+1上形成的可行集邊界為例，3 種常用優化算法差異對比如圖3 所示。

圖3 控制重構優化算法對比Fig.3 Comparison of several control reconfiguration optimization algorithms

偽逆法極小化輸入范數，但是不能充分考慮輸入約束，常用的對輸入直接截斷方法雖然高效，但是會造成部分通道喪失控制能力。帶截斷的偽逆法在圖3 中的優化結果為f(u11)到f(u12)的扇形區域，最終的值取決于xn，xn+1對截斷輸入的依賴程度。

線性規劃法在Pδ2矢量方向尋找誤差范數最小的解，最優解為目標矢量方向與對應可行集邊界的交點，如圖3 所示。因為線性規劃法保證了優化結果與目標矢量方向相同，適用于產生目標力和目標力矩的應用場合。

混合優化法綜合考慮了輸入需求和輸出誤差范數。通過加權值改變輸入代價和輸出誤差代價的權重，其可退化為偽逆法和誤差最小法。誤差最小法的優化目標為誤差范數最小，最優解為目標矢量與可行集邊界最近的點，即Pδ2在邊界的垂線交點f(u3)。誤差最小法適用于距離誤差需求優于方向誤差的應用場合。

偽逆法便于實現，復雜計算可離線實現，但會造成控制耦合問題；而線性規劃法雖然優化輸出始終保持與目標等效擺角矢量共線，但需要實時進行在線線性規劃求解，對系統計算能力要求較高，且輸入易飽和；混合優化法存在收斂問題和控制耦合問題。本文針對現有方法存在的缺點，提出了一種基于SVD 改進的控制重構方法。

基于SVD 的改進算法優化目標與線性規劃法相同，在輸入無約束情況下計算輸入解集，通過最小化解集元素的無窮范數得到初始解，初始解是最有可能滿足輸入約束的解。若初始解u*滿足輸入約束，則直接得到最終輸入為u*；否則，通過比例縮放因子ρ，使得輸入u4=ρu*滿足約束邊界條件，同時由于：

保證了u4為滿足共線輸出特性的最優解，等價于線性規劃解。改進方法與線性規劃法優化結果對比如圖4 所示。

圖4 中：f(u42)=f(u2)為線性規劃算法得到的最優解，也是改進方法得到次優解的上邊界，f(u41)=為改進方法得到次優解的下邊界，出現下邊界的必要條件為

圖4 基于SVD 改進的控制重構算法優化結果Fig.4 Optimization results of the improved control reconstruction algorithms based on SVD

即當所有的操縱量相同時才有可能出現，而在實際情況中優化得到的操縱量通常集中在幾個伺服機構。

3 仿真與分析

3.1 性能對比分析

基于偽逆法、線性規劃法、混合優化方法以及改進方法的理論分析，以伺服機構故障為例對各優化算法進行性能仿真對比分析，仿真中用到的評價因素主要包括計算效率、等效擺角誤差、操縱能量消耗、等效擺角矢量夾角。

假設δdx=[δφ_SFδψ_SFδγ_SF]T中δψ_SF=5°、δγ_SF=5°，δφ_SF在0.1°～40°范圍內變化，各伺服最大擺角限幅取5°，模擬SF21、SF41 機構失效。對以上算法進行仿真得到的結果如圖5 所示。

圖5 優化算法性能評估對比曲線Fig.5 Comparison curves for performance evaluation of optimization algorithms

續圖5 優化算法性能評估對比曲線ContinuedFig.5 Comparison curves for performance evaluation of optimization algorithms

首先，基于SVD 改進算法首先通過解除約束條件，SVD 得到滿足分配方程所有解組成的可行解集，該解集可精確產生目標等效擺角；其次，通過縮放調整可行解集，使得新可行解集包含在約束邊界形成的超平面內；然后，通過最小化可行解的無窮范數來最大化縮放因子得到滿足共線特性的最優操縱輸入，等價于線性規劃解；最后，通過對最小化無窮范數的估計提高計算效率。

從圖5（a）計算時間仿真對比可知，因改進方法使用范數估計，取消了迭代過程，顯著提高了計算效率，使得改進方法和偽逆法具備最高的計算效率。而線性規劃法需要迭代求解，導致計算時間增加。混合優化法計算時間與迭代步數直接相關，過高的迭代步數顯著增加計算時間，而過低的迭代步數影響混合優化算法收斂效果。圖5（b）等效擺角幅值仿真對比曲線表明，基于SVD 改進方法相比線性規劃和偽逆法具有稍大的幅值誤差。改進方法針對所有可行解集選取具備共線特性的最優解，在不使用范數估計時，理論上改進方法將獲得與線性規劃相同的解。范數估計在提高計算效率的同時，引入了估計誤差。

圖5（c）操縱輸入對比可知改進方法具有較小的操縱輸入。因線性規劃法迭代過程容易使操縱輸入陷入約束邊界，易使伺服機構動作過大進入飽和狀態。混合優化法通過加權值綜合考慮了等效擺角誤差和操縱能量消耗，使得操縱能量消耗相對較小。相比偽逆法，改進方法使用了縮放因子，因此，操縱輸入相對較小。圖5（d）矢量夾角仿真結果表明，改進方法和線性規劃法由于具備輸出共線特性，與目標等效擺角矢量不存在方向誤差，而混合優化法和偽逆法方向誤差隨目標等效擺角增加而增大。

定義控制重構相對誤差：

經推導，理論誤差上邊界為

仿真算例實際誤差、理論誤差上邊界繪制如圖6 所示。由于實際操縱量集中在幾個通道，因此范數估計引入的理論誤差上邊界與理論邊界相差較遠，實際誤差近似上邊界更接近算例中仿真實際誤差。各伺服機構擺角控制曲線如圖7、圖8 所示。

圖6 范數估計引入的相對誤差Fig.6 Relative error introduced by norm estimation

圖7 俯仰方向伺服機構擺角控制曲線（SVD 改進方法）Fig.7 Swing angle curves of pitch servomechanism（improved method based on SVD）

圖8 偏航方向伺服機構擺角控制曲線（SVD 改進方法）Fig.8 Swing angle curve of yaw servomechanism（improved method based on SVD）

對比分析仿真性能，充分表明了改進方法具有操縱能量消耗相對較小的優勢，同時結合了偽逆法計算高效、線性規劃法輸出共線的特點。改進方法的優勢為：便于實現，控制不耦合，可實時計算，伺服機構能量消耗小等，而增加的相對較小的等效擺角誤差可通過適當增加控制時長等方法彌補。

3.2 數學仿真驗證

為考核基于SVD 的改進方法在運載火箭伺服機構故障重構控制中應用的可行性和有效性，需基于運載火箭帶控制分配及合成閉環控制模型開展數字仿真驗證。仿真算例條件為：起飛后30 s，助推器Ⅰ的SF21 卡死在5°，起飛后50 s，助推器Ⅲ的SF41 也卡死在-5°。仿真結果對比如圖9～圖14 所示。由圖可知：SF21 在30 s 出現卡死故障后，如果不采取重構措施，在30～50 s，依靠箭體自身的魯棒性，剩余正常伺服機構擺角增大，姿態角偏差振蕩后收斂；但當SF41 在50 s 也發生故障后，伺服控制擺角限幅，姿態快速發散，而采用改進方法進行在線分配，可以實現伺服故障下控制力矩快速在線重構。同時，將故障伺服機構卡死擺角引入前饋控制，可實現姿態角偏差與正常狀態一致，系統穩定，證明了該方法的可行性和有效性。

圖9 俯仰姿態角偏差曲線對比Fig.9 Comparison of the deviation curves of the pitch attitude angle

圖10 滾動姿態角偏差曲線對比Fig.10 Comparison of the deviation curves of the roll attitude angle

圖11 伺服機構SF21 擺角曲線對比Fig.11 Comparison of the swing angle curves of servomechanism SF21

圖12 助推伺服機構SF41 擺角曲線對比Fig.12 Comparison of the swing angle curves of booster servomechanism SF41

圖13 芯級伺服機構SF11 擺角曲線對比Fig.13 Comparison of the swing angle curves of corestage servomechanism SF11

圖14 助推伺服機構SF31 擺角曲線對比Fig.14 Comparison of the swing angle curves of booster servomechanism SF31

4 結束語

本文針對捆綁運載火箭飛行中伺服故障下控制重構問題，完成了對偽逆法、線性規劃法、混合優化法3 種常用優化算法的分析和評估，并針對現有算法存在的缺點，提出了基于SVD 改進的控制重構方法。理論分析和性能仿真對比都充分表明該方法兼顧了偽逆法的計算高效、線性規劃法的輸出共線等優點，對不同構型火箭都有較高的拓展應用價值。通過開展運載火箭伺服機構故障重構控制的數值仿真，驗證了該方法的可行性和有效性，證明可滿足工程應用條件。