高中物理深度學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)障礙突破

唐興華 周志平

（1.廈門實(shí)驗(yàn)中學(xué)，福建 廈門 361000；2.福建教育學(xué)院雜志社，福建 福州 350025）

一、問題的提出

高中生普遍感覺物理難學(xué)，尤其是基礎(chǔ)薄弱的學(xué)生，進(jìn)入高一學(xué)習(xí)一段時(shí)間并經(jīng)首次物理單元檢測后，往往會(huì)發(fā)現(xiàn)物理成績較以往從未有過的低。部分同學(xué)初中能考八九十分，高中卻只有四五十多分甚至更低。大部分學(xué)生感覺到高中物理難學(xué)并陷入困惑當(dāng)中：老師課上講的明明聽懂了，但自己獨(dú)立做題時(shí)又不會(huì)，老師再講題時(shí)一提示感覺自己又會(huì)了，然而一考試成績還是上不去。究其原因，既有初中階段培養(yǎng)“先天不足”的客觀制約，也有高中起始階段“后天失養(yǎng)”的人為因素，簡單歸納為以下三個(gè)方面：

第一，從具象認(rèn)知到抽象理解的過渡問題。初中物理內(nèi)容形象易懂，考查偏向于知識(shí)性記憶與簡單應(yīng)用，而高中物理內(nèi)容抽象晦澀，考查偏向于理解性記憶與綜合應(yīng)用。高中物理更加注重學(xué)生對(duì)基本概念內(nèi)涵外延的理解，對(duì)定義、規(guī)律等要從本質(zhì)上認(rèn)識(shí)、理解，不能只是簡單記憶與背誦，如對(duì)于位移與路程、速度（平均速度）與速率（平均速率）等的理解與辨識(shí)。

第二，從感性分析到理性分析的能力提升問題。高中物理更加注重對(duì)真實(shí)物理情景（包含自然、生活、生產(chǎn)情境）的理解、物理過程的分析和物理模型的建構(gòu)，如對(duì)力與運(yùn)動(dòng)的問題，要從受力、運(yùn)動(dòng)兩個(gè)角度進(jìn)行分析，認(rèn)真分析物體每個(gè)階段的運(yùn)動(dòng)如何？受力情況如何？只有弄清楚運(yùn)動(dòng)全過程與各階段的受力情況，才能選擇相應(yīng)的物理規(guī)律解題。

第三，從定性分析問題到數(shù)學(xué)定量分析的銜接問題。許多學(xué)生在高一初始就表現(xiàn)出應(yīng)用數(shù)學(xué)這個(gè)工具分析問題和解決問題的薄弱環(huán)節(jié)。如繁分?jǐn)?shù)，數(shù)字運(yùn)算能力差，依賴計(jì)算器，不習(xí)慣利用科學(xué)計(jì)數(shù)法，保留有效數(shù)與保留小數(shù)混亂，矢量、三角函數(shù)運(yùn)算與物理學(xué)習(xí)脫節(jié)（高一力的合成與分解涉及三角函數(shù)），正弦、余弦、正切等出現(xiàn)混亂，三角形中找已知角找不準(zhǔn)確等。在高中階段物理學(xué)習(xí)主要涉及以下幾個(gè)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)：矢量運(yùn)算、三角函數(shù)、一次函數(shù)、二次函數(shù)和微積分（微元法）。

二、深度學(xué)習(xí)能力的內(nèi)涵及其能力模型構(gòu)建

（一）深度學(xué)習(xí)能力的內(nèi)涵

深度學(xué)習(xí)能力的達(dá)成（如圖1），要求通過教學(xué)實(shí)踐活動(dòng)，促進(jìn)學(xué)生精準(zhǔn)掌握學(xué)科知識(shí)，學(xué)習(xí)如何批判性思考和解決問題、有效進(jìn)行協(xié)作和交流、自我指導(dǎo)和形成一套學(xué)科思維。對(duì)于真實(shí)情境下的物理問題解決的能力培養(yǎng)，教師要從深度學(xué)習(xí)的角度出發(fā)，在夯實(shí)物理必備知識(shí)和關(guān)鍵能力的基礎(chǔ)上，鼓勵(lì)學(xué)生自主探究與合作探究，在典型例題探究中逐步學(xué)會(huì)審題、分析、建模、計(jì)算，形成解決真實(shí)情境下的物理問題的能力。

上述三個(gè)原因，首先，從具象認(rèn)知到抽象理解的過渡問題，我們需要解決真實(shí)物理情境（問題）和物理概念（觀念）之間的過渡和銜接問題。其次，從理性分析的能力提升問題。我們需要解決物理概念（觀念）到物理規(guī)律（模型）的過渡問題。然后，從定性分析問題到數(shù)學(xué)定量分析的銜接問題。主要是數(shù)學(xué)定量分析的問題。我們需要解決物理數(shù)學(xué)（量化）的障礙。最后，面對(duì)各種變式的具體的問題，學(xué)生還需要將上述環(huán)節(jié)和流程融通的能力，需要更高的物理應(yīng)用（實(shí)踐）的能力。

（二）物理深度學(xué)習(xí)能力模型

由上述各原因而探索的解決物理深度學(xué)習(xí)能力的關(guān)鍵環(huán)節(jié)，將之組合，可以形成“物理情境（問題）—物理概念（觀念）—物理規(guī)律（模型）—物理數(shù)學(xué)（量化）—物理應(yīng)用（實(shí)踐）”物理深度學(xué)習(xí)能力模型。上述流程或模型，是一般物理問題的解決。流程是能力的基礎(chǔ)，而每個(gè)流程環(huán)節(jié)的要點(diǎn)和流程之間各環(huán)節(jié)的銜接，是保證這種能力的關(guān)鍵。

第一步，物理情境（問題）。“物理情境（問題）”是指構(gòu)成和蘊(yùn)涵在物理現(xiàn)象中的那些相互交織的因素及其相互之間的關(guān)系。物理試題總是將物理問題設(shè)置在物理情境之中，課本中的素材、生活生產(chǎn)實(shí)踐、社會(huì)熱點(diǎn)和往屆高考試題，是高考物理試題情境的主要來源。在解析物理情境（問題）時(shí)需要將具體的情境呈現(xiàn)出來，讓思維有個(gè)落足點(diǎn)。

第二步，物理概念（觀念）。物理概念是從物理學(xué)視角形成的物理相關(guān)知識(shí)等的基本認(rèn)識(shí)，由三大要素組成：一是概念形成的基礎(chǔ)，包含感知活動(dòng)、觀察實(shí)驗(yàn)、經(jīng)驗(yàn)事實(shí)；二是概念形成的形式，包含概念結(jié)構(gòu)、數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)、知識(shí)結(jié)構(gòu)；三是概念形成的方法，包含問題解決、科學(xué)方法、觀察證實(shí)。物理概念來源于物理實(shí)踐與事實(shí)，它是從感性認(rèn)識(shí)抽象而成的理論認(rèn)識(shí)，能再回到實(shí)踐中去，用來指導(dǎo)實(shí)踐，并予以檢驗(yàn)和深化。在學(xué)習(xí)物理概念過程中，可以通過類比、比較、演繹推理、概念關(guān)聯(lián)等方法形成概念，從具體物理現(xiàn)象走向抽象概念；也可以把物理概念應(yīng)用于實(shí)踐，應(yīng)用于解決實(shí)際問題，從抽象概念走向?qū)嶋H應(yīng)用，強(qiáng)化概念理解。然而，僅僅掌握物理概念還不夠，還需要從物理概念升華到物理觀念，因?yàn)槲锢碛^念是對(duì)相關(guān)物理概念和物理規(guī)律的系統(tǒng)化認(rèn)知，是系統(tǒng)認(rèn)知自然現(xiàn)象、解決物理問題的基礎(chǔ)。它包括有物質(zhì)觀念、運(yùn)動(dòng)與相互作用觀念、能量觀念等。物理學(xué)習(xí)需要將相關(guān)概念關(guān)聯(lián)起來，讓物理知識(shí)在腦海中建構(gòu)成網(wǎng)，形成物理觀念。

第三步，物理規(guī)律（模型）。物理規(guī)律即物理定律，是以經(jīng)過多年重復(fù)實(shí)驗(yàn)和觀察為基礎(chǔ)，并在科學(xué)領(lǐng)域內(nèi)普遍接受的典型結(jié)論。而物理模型是利用物理規(guī)律解決問題的有機(jī)整體，貫穿在整個(gè)物理問題解決過程之中。學(xué)生解題時(shí)需將具體情境（問題）轉(zhuǎn)化成對(duì)應(yīng)的模型，然后將該模型涉及的所有規(guī)律都關(guān)聯(lián)起來。由于高中物理的規(guī)律學(xué)習(xí)是分階段的，模型所涉及的規(guī)律不是一次性完成的。在物理學(xué)習(xí)中需要梳理經(jīng)典模型所遵循的相關(guān)規(guī)律，以便有效運(yùn)用這些規(guī)律。例如與勻變速直線運(yùn)動(dòng)相關(guān)的規(guī)律有運(yùn)動(dòng)學(xué)規(guī)律、牛頓運(yùn)動(dòng)定律、動(dòng)能定理、動(dòng)量定理、機(jī)械能守恒定律等。物理解題過程就是轉(zhuǎn)化情境問題為模型，精準(zhǔn)選擇相關(guān)的規(guī)律，用最佳方法解決物理問題。

第四步，物理數(shù)學(xué)（量化）。物理數(shù)學(xué)，即應(yīng)用數(shù)學(xué)方法處理物理問題的能力，它是高考重點(diǎn)考查的五種基本能力之一。對(duì)此，《中國高考評(píng)價(jià)體系》等有明確的闡述，要求學(xué)生能根據(jù)具體問題列出物理量間的關(guān)系式，進(jìn)行推導(dǎo)和求解，并根據(jù)結(jié)果得出物理結(jié)論；必要時(shí)能運(yùn)用幾何圖形及函數(shù)圖象進(jìn)行表達(dá)、分析，能進(jìn)行正確的數(shù)學(xué)運(yùn)算。歷年高考物理試題都涉及應(yīng)用數(shù)學(xué)方法的問題，遍及各種題型，有些以簡單的選擇題呈現(xiàn)，有些以綜合計(jì)算題呈現(xiàn)。高中物理中常用的數(shù)學(xué)方法有圖象法、函數(shù)法、幾何法、數(shù)學(xué)歸納法、微元法、極值法等。熟練掌握這些數(shù)學(xué)方法，能夠快速提升學(xué)生物理解題能力，從而有效提升學(xué)生成績。

第五步，物理應(yīng)用（實(shí)踐）。物理應(yīng)用，即物理知識(shí)在生產(chǎn)和生活中的應(yīng)用，學(xué)生要在學(xué)會(huì)解決具體題目時(shí)，掌握物理學(xué)基本理論與方法，具有良好的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)和基本技能，能夠舉一反三、觸類旁通，解決一類問題。由此，在解決一類具體問題的時(shí)，要學(xué)會(huì)歸納總結(jié)，思考一類問題的解決辦法，提升綜合應(yīng)用能力。

三、物理深度學(xué)習(xí)能力模型的應(yīng)用

利用物理深度學(xué)習(xí)能力模型解決物理問題的五個(gè)步驟層層遞進(jìn)、環(huán)環(huán)相扣、缺一不可。下面是高一高二一些常見的物理問題，現(xiàn)例析利用該模型解決真實(shí)物理情境（問題）的流程，達(dá)到破除學(xué)生數(shù)學(xué)障礙、深度學(xué)習(xí)物理的目的。

（一）矢量與三角函數(shù)在力與運(yùn)動(dòng)中的應(yīng)用

例題1（共點(diǎn)力平衡）.如圖2 所示，輕繩OA 與天花板的夾角為60°，輕繩OB 與天花板的夾角為30°兩根繩所能承受的最大拉力不能超過100N，OC繩的強(qiáng)度足夠大，CD 繩下端懸掛的物重G 不能超過多少？

［解析］物理情境（問題）：三力作用下的共點(diǎn)力平衡問題，研究對(duì)象為節(jié)點(diǎn)O，研究O點(diǎn)平衡力FOA、FOB和FOC三者的定量關(guān)系。

物理概念（觀念）：分力的作用效果與合力的作用效果等效。

物理規(guī)律（模型）：靜止的物體處于平衡狀態(tài)，平衡條件為合外力為0，三個(gè)分力構(gòu)成封閉的三角形。

物理數(shù)學(xué)（量化）：方法一（合成法），以O(shè)點(diǎn)為研究對(duì)象，受力分析如圖3 所示，AO繩對(duì)O點(diǎn)的拉力FA和BO繩對(duì)O點(diǎn)的拉力FB的合力與OC繩的拉力T相等；對(duì)小球進(jìn)行受力分析，由二力平衡可知OC繩拉力T等于小球重力G。

方法二（正交分解法），對(duì)物體和結(jié)點(diǎn)O分別進(jìn)行受力分析，并對(duì)拉力進(jìn)行正交分解，如圖4 所示。

對(duì)物體：T=G

對(duì)O 點(diǎn)：T=T'

X 方向：FAsin 300=FBcos 300

Y 方向：FAcos 300+FBsin 300=T'

解得FA=Gcos 300FB=Gsin 300

顯然，當(dāng)物重G 變大時(shí)，F(xiàn)A先達(dá)到臨界值100N

物理應(yīng)用（實(shí)踐）：處于靜止或勻速直線運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的物體，處于平衡狀態(tài)時(shí)受到的合外力為0，可以對(duì)物體進(jìn)行受力分析，利用共點(diǎn)力平衡條件計(jì)算各分力。

例題2.（洛倫茲力的計(jì)算）如圖5 所示，一個(gè)電子e在勻強(qiáng)磁場中運(yùn)動(dòng)，當(dāng)電子的速度υ與磁場B的夾角為θ時(shí)，所受到的洛倫茲力大小為多少？

［解析］物理情境（問題）：求解運(yùn)動(dòng)電荷在磁場中所受到的洛倫茲力的大小和方向。

物理概念（觀念）：洛倫茲力方向始終垂直于速度和磁場構(gòu)成的平面，由左手定則判斷，由此可知，洛倫茲力不做功，只能改變運(yùn)動(dòng)電荷速度的方向；洛倫茲力的大小與帶電粒子的電荷量、速度和磁場等有關(guān)。

物理規(guī)律（模型）：當(dāng)電子的速度與磁場垂直時(shí)，洛倫茲力大小為f=eBυ，方向滿足右手定則；當(dāng)電子的速度與磁場平行時(shí)，大小為0。對(duì)于電子速度與磁場呈任意夾角的情況的洛倫茲力計(jì)算，可以對(duì)速度進(jìn)行分解或者采取矢量叉乘的運(yùn)算法則f=eυ×B=eυBsinθ（方向由左手定則判定）。

物理數(shù)學(xué)（量化）：解法一（矢量叉乘）：根據(jù)計(jì)算法則，洛倫茲力大小為：f=e|υ×B|=eυBsinθ方向垂直紙面向里。

解法二（分解法）：將速度υ 進(jìn)行分解如圖6 所示，υ 的垂直于B的分量υ⊥對(duì)洛倫茲力有貢獻(xiàn)，平行于B的分量υ//對(duì)洛倫茲力無貢獻(xiàn)，故洛倫茲力大小為：f=eυBsinθ，方向垂直于紙面向里。

物理應(yīng)用（實(shí)踐）：洛倫茲力方向始終垂直于速度和磁場構(gòu)成的平面，由左手定則判斷，由此可知，洛倫茲力不做功，只能改變運(yùn)動(dòng)電荷速度的方向；洛倫茲力的大小與帶電粒子的電荷量、速度和磁場等有關(guān)，滿足矢量叉乘的運(yùn)算法則f=eυ×B=eυBsinθ（方向由左手定則判定）。利用矢量叉乘法計(jì)算的物理量還有角動(dòng)量、力矩等。

（二）一次函數(shù)在力與運(yùn)動(dòng)中的應(yīng)用

例題3（v?t圖象）t=0 時(shí)，甲、乙兩輛汽車從相距70km 的兩地相向行駛，它們的v?t圖象如圖7 所示，忽略汽車掉頭所需要時(shí)間。下列關(guān)于汽車運(yùn)動(dòng)狀況的描述正確的是（ ）

A.在1h末，乙車改變運(yùn)動(dòng)方向

B.在2h 末，甲乙相距10km

C.在4h內(nèi)，乙車運(yùn)動(dòng)加速度的大小總比甲車大

D.在4h末，甲乙兩車相遇

答案：BC

［解析］物理情境（問題）：利用υ?t 圖像描述直線運(yùn)動(dòng)，解決相關(guān)問題。

物理概念（觀念）：平均速度是描述物體運(yùn)動(dòng)快慢的物理量，是位移與發(fā)生該段位移的時(shí)間的比值，它是一個(gè)矢量，有大小，有方向；當(dāng)時(shí)間趨近于零時(shí)，對(duì)應(yīng)的是每個(gè)時(shí)刻對(duì)應(yīng)的瞬時(shí)速度，簡稱速度。

物理規(guī)律（模型）：物體的運(yùn)動(dòng)性質(zhì)由速度和加速度共同決定；對(duì)于直線運(yùn)動(dòng)，速度由υ?t 圖像可直接讀出，加速度由直線斜率決定；圖像和坐標(biāo)軸所圍面積為位移；交點(diǎn)為共速點(diǎn)；縱軸截距為初速度，橫軸截距為速度為零的時(shí)刻；通過圖像可以判定物體的運(yùn)動(dòng)性質(zhì)。

物理數(shù)學(xué)（量化）：速度時(shí)間圖象在t軸以下為反向運(yùn)動(dòng)，故2h末乙車改為反向，選項(xiàng)A 錯(cuò)誤；由圖像圍成的面積可知，乙在2h末的位移為30km，甲車的位移也為30km，二者相向運(yùn)動(dòng)，二者距離為70?30?30=10km，選項(xiàng)B 正確；從圖像斜率來看，斜率的絕對(duì)值越大，加速度越大，故乙車加速度在4h內(nèi)一直比甲車加速度大，選項(xiàng)C 正確；4h末，甲車的運(yùn)動(dòng)位移為120km，乙車為30km，兩車原來的距離為70km，故此時(shí)兩車還相距2km，選項(xiàng)D 錯(cuò)誤。

物理應(yīng)用（實(shí)踐）：υ?t 圖像只能描述直線運(yùn)動(dòng)，速度隨時(shí)間的變化可以通過圖像直接讀出；加速度由曲線的斜率決定；圖像和坐標(biāo)軸所圍面積為位移；交點(diǎn)為共速點(diǎn)；縱軸截距為初速度，橫軸截距為速度為零的時(shí)刻；通過圖像可以判定出物體的運(yùn)動(dòng)性質(zhì)。在利用數(shù)學(xué)圖像解決物理問題時(shí)，要注重?cái)?shù)形結(jié)合，明白圖像對(duì)應(yīng)的物理意義。

（三）二次函數(shù)在追及問題中的應(yīng)用

例題4.在平直的軌道上，甲、乙兩車相距為x0，同向同時(shí)開始運(yùn)動(dòng)。甲在后面以初速度v1、加速度a1做勻加速度直線運(yùn)動(dòng)，乙在前面以初速度v2、加速度a2做勻加速度直線運(yùn)動(dòng)。假定甲能從乙的旁邊通過而互不影響，下列情況說法正確的是：（ ）

A.當(dāng)a1＝a2時(shí)，甲、乙只能相遇一次

B.當(dāng)a1＞a2時(shí)，甲、乙可能相遇二次

C.當(dāng)a1＜a2時(shí)，甲、乙只能相遇二次

D.當(dāng)a1＜a2時(shí)，甲、乙可能相遇二次

答案：AD

［解析］物理情境（問題）：出發(fā)點(diǎn)、速度、加速度都不同，方向相同的兩車追及問題。

物理概念（觀念）：出發(fā)點(diǎn)不同的兩個(gè)物體相遇時(shí)，后方物體的位移等于前方物體的位移加上出發(fā)時(shí)二者的距離。

物理規(guī)律（模型）：初速度不為零的勻加速直線運(yùn)動(dòng)（甲）追趕初速度不為零的勻加速直線運(yùn)動(dòng)（乙），不一定能夠追上，若相遇，運(yùn)動(dòng)示意圖如圖18 所示，相遇的次數(shù)需要進(jìn)行分類討論。

物理數(shù)學(xué)（量化）：

解法一：（利用二次函數(shù)根的判別法）

設(shè)經(jīng)時(shí)間t，甲、乙相遇，由位移公式可得甲、乙兩車的位移分別為：

相遇時(shí)滿足：x1=x0+x2③

由①②③三式可得方程：(a1?a2)t2+2((v1?v2)t?2x0=0 ④

分析與討論：

1.當(dāng)a1＝a2時(shí)，由④式可得t=，若υ1>υ2，t＞0，能追上，且只相遇一次；若υ1<υ2，t<0，不能追上。

2.當(dāng)a1≠a2時(shí)，由④式可得

（1）當(dāng)a1＞a2時(shí)，無論υ1、υ2的關(guān)系如何，t的兩個(gè)解中都是一正一負(fù)，舍去負(fù)根，只有一個(gè)正根，兩車只能相遇一次。

（2）當(dāng)a1＜a2時(shí)，若υ1<υ2，t的兩個(gè)解中均為負(fù)值，不可能相遇。若υ1>υ2

當(dāng)?=4（v1?v2）2+8(a1?a2)x0<0 時(shí)，t無解，不可能相遇；

當(dāng)?=4（v1?v2）2+8(a1?a2)x0=0 時(shí)，t只有一解，相遇一次；

當(dāng)?=4（v1?v2）2+8(a1?a2)x0>0 時(shí)，t有兩個(gè)正解，相遇二次。由此，該情形下兩車可能相遇，也可能不相遇，若相遇，可能相遇一次或二次。故正確的選項(xiàng)為AD。

解法二：（利用勻變速直線運(yùn)動(dòng)規(guī)律進(jìn)行判定）

當(dāng)a1＝a2時(shí)，甲乙若相遇，那么一定有v1>v2，根據(jù)勻變速直線運(yùn)動(dòng)速度公式可知，之后甲的速度依然比乙速度大，二者不可能再相遇，A 正確；當(dāng)a1＞a2時(shí)，甲乙若相遇，第一次相遇時(shí)，之后甲的速度依然比乙速度大，二者不可能再相遇，故只能相遇一次，B 錯(cuò)誤；當(dāng)a1＜a2時(shí)，甲乙若相遇，那么一定有v1>v2，當(dāng)二者第一次相遇時(shí)，甲超過乙，但之后的某個(gè)時(shí)刻甲的速度將小于乙速度，甲將被乙超過，故能夠相遇二次，當(dāng)二者第一次相遇時(shí)，那么，接下來的時(shí)刻甲的速度將小于乙的速度，甲乙不可能再次相遇，即只相遇一次，故D 正確，C 錯(cuò)誤。

物理應(yīng)用（實(shí)踐）：出發(fā)點(diǎn)不同的兩個(gè)物體相遇時(shí)，后方物體的位移等于前方物體的位移加上出發(fā)時(shí)二者的距離。可以利用函數(shù)定量計(jì)算兩個(gè)物體的位移的關(guān)系，求解相關(guān)物理量，判定二者是否相遇及相遇的次數(shù)；也可以利用勻變速直線運(yùn)動(dòng)規(guī)律對(duì)兩個(gè)物體每個(gè)階段的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)進(jìn)行分析，判定兩個(gè)物體相遇與否及相遇的次數(shù)。

（四）微元法在流體的動(dòng)力學(xué)應(yīng)用

例題5.某游樂園入口旁有一噴泉，噴出的水柱將一質(zhì)量為M的卡通玩具穩(wěn)定地懸停在空中。為計(jì)算方便起見，假設(shè)水柱從橫截面積為S的噴口持續(xù)以速度v0豎直向上噴出；玩具底部為平板（面積略大于S）；水柱沖擊到玩具底板后，在豎直方向水的速度變?yōu)榱悖谒椒较虺闹芫鶆蛏㈤_。忽略空氣阻力。已知水的密度為ρ，重力加速度大小為g，求：

1.噴泉單位時(shí)間內(nèi)噴出的水的質(zhì)量；

2.玩具在空中懸停時(shí)，其底面相對(duì)于噴口的高度。

［解析］物理情境（問題）：利用動(dòng)量定理和運(yùn)動(dòng)學(xué)規(guī)律解決流體的動(dòng)力學(xué)問題。

物理概念（觀念）：液體的粘滯性和可壓縮性很小，可近似看作是理想流體，它是人們?yōu)檠芯苛黧w的運(yùn)動(dòng)和狀態(tài)而引入的一個(gè)理想模型。理想流體單位時(shí)間流入的體積等于流出的體積（穩(wěn)定性），若流體截面積不變，流體的流速不變。根據(jù)動(dòng)量定理，物體A對(duì)物體B 的沖量等于物體B 的動(dòng)量的變化量。

物理規(guī)律（模型）：對(duì)于流體，研究對(duì)象可以確立為單位時(shí)間內(nèi)流出的流體微元，本題以很短的Δt時(shí)間內(nèi)的水柱為研究對(duì)象，質(zhì)量為?m，該水柱在Δt內(nèi)沖擊玩具（受到水壓作用F壓=F沖）后速度從υ0減小為0，玩具在水沖擊力F沖作用下保持平衡。

物理數(shù)學(xué)（量化）：1.在一段很短的Δt時(shí)間內(nèi)，可以認(rèn)為噴泉噴出的水柱保持速度υ0不變。

該時(shí)間內(nèi)，噴出水柱高度：Δl=v0·Δt①

噴出水柱質(zhì)量：Δm=ρ·Δv②

其中Δv為水柱體積，滿足：ΔV=Δl·S③

2.設(shè)玩具底面相對(duì)于噴口的高度為h

由玩具受力平衡得：F沖=Mg④

其中，F(xiàn)沖為玩具底部水體對(duì)其的作用力.

由牛頓第三定律：F壓=F沖⑤

其中，F(xiàn)壓為玩具時(shí)其底部下面水體的作用力v'為水體到達(dá)玩具底部時(shí)的速度由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式：

v'2?=?2gh⑥

在很短Δt時(shí)間內(nèi)，沖擊玩具水柱的質(zhì)量為Δm

Δm=ρ·v0·S·Δt⑦

由題意可知，在豎直方向上，對(duì)該部分水柱有

動(dòng)量定理(F壓+Δmg)·Δt=Δm·v' ⑧

由于Δt很小，Δmg也很小，可以忽略

⑧式變?yōu)镕壓·Δt=Δm·v' ⑨

由④⑤⑥⑦⑨可得h=

物理應(yīng)用（實(shí)踐）：關(guān)于流體的動(dòng)力學(xué)問題，需要利用流體的穩(wěn)定性和微元法進(jìn)行研究，以單位時(shí)間內(nèi)流出的流體為研究對(duì)象，然后利用動(dòng)量定理與運(yùn)動(dòng)學(xué)規(guī)律等解決相關(guān)的物理問題。