核心素養視域下的2022 年新高考I 卷數學部分試題命制思路與解析

楊蒼洲

（1.泉州第五中學，福建 泉州 362000；2.福建教育學院數學教育研究所，福建 福州 350025）

《普通高中數學課程標準2017 年版2020 年修訂》提出了數學學科的六大核心素養：數學抽象，邏輯推理，數學建模，直觀想象，數學運算和數據分析.新高考試題的命制也從知識立意、能力立意，轉變為素養立意.2022 年，教育部教育考試院命制的新高考I 卷數學試題，其題面親切、形式簡約、思想深刻、內涵豐富.每道試題的背后都有其精彩的故事，細品題中所蘊含的數學知識、思想、方法，可以感受到試題的命制基于數學核心素養，試題是核心素養自然浸潤的成果.指向素養立意的新高考數學試題更加注重檢測學生的基礎知識、思維水平、探究能力、學科素養、創新能力、應用能力等，其解題過程更多的是基于核心素養的探究活動.

一、直觀想象視域下的函數導數試題

編制函數導數試題的時候，為了減少思維的抽象性，命題者往往先作出函數圖象，然后觀察函數圖象，分析函數特征，在圖象中發現問題、提出問題，并編制成題.命題從圖象中來，解題要回圖象中去.因此，解題往往也是從作圖開始的，解題者要把自然語言、符號語言翻譯成圖象語言，在圖象直觀中，發現解題入手點，并形成思路，理順邏輯，解答問題.

題1.（2022 年新高考數學I 卷，T22）已知函數f(x)ex?ax和g(x)=ax?lnx有相同的最小值.

（1）求a；

（2）證明：存在直線y=b，其與兩條曲線y=f(x)和y=g(x)共有三個不同的交點，并且從左到右的三個交點的橫坐標成等差數列.

下面從命題的角度進行思考，并給出本題兩個設問的幾何解釋.函數f(x)和g(x)的解析式含有元素：ex，lnx，ax.首先，我們想到的是y=ex，y=lnx互為反函數，其圖象關于直線y=x對稱，如圖1；曲線y=ax的斜率為a，圖象過坐標原點.

設A(x1,ex1)，B(x2,lnx2)，C(x1,ax1)，D(x2,ax2)，

則|AC|=f(x1)=ex1?ax1，|BD|=g(x2)=ax2?lnx2.

記點A(x1,ex1)，B(x2,lnx2)到直線y=ax的距離分別為d1，d2，則，如圖2.

當d1，d2分別取得最小值時，|AC|，|BD|也取得最小值，即函數f(x1)=ex1?ax1，g(x2)=ax2?lnx2取得最小值.

由曲線y=ex，y=lnx的圖象關于直線y=x對稱可知，當且僅當a=1 時，d1，d2的最小值相等，即f(x1)=ex1?ax1，g(x2)=ax2?lnx2取得相同的最小值.

因此，可得問題（1）：“已知函數f(x)=ex?ax和g(x)=ax?lnx有相同的最小值，求a.”

上述即為問題（1）的幾何直觀解釋.

當a=1 時，圖中的三條曲線分別為y=ex，y=lnx，y=x.現在對直線y=x進行平移，可得直線y=x+b與y=x?b，且這兩條直線也關于直線y=x對稱.

設直線y=x+b與曲線y=ex相交于M(x3,y3)，N(x4,y4)(x4>x3)；直線y=x?b與曲線y=lnx相交于P(x5,y5)，Q(x6,y6)(x6>x5)，如圖3.

根據函數的對稱性，結合圖象可知，|MN|=|PQ|，即x4?x3=x6?x5.

特別地，當x4=x5時，x3+x6=2x4=2x5，如圖4.

又“直線y=x+b與曲線y=ex相交相交于M,N兩點，直線y=x?b與曲線y=lnx相交相交于兩點P,Q，|MN|=|PQ|”等價于“直線y=b與曲線f(x)=ex?x有兩個不同的交點E,F，與曲線g(x)=x?lnx兩個不同的交點G,H，且|EF|=|GH|”，如圖5.

特別地，當點F與點G重合成I時，|EI|=|IH|，即E,I,H的橫坐標成等差數列，如圖6.

因此，可得問題（2）：“證明：存在直線y=b，其與兩條曲線y=ex?x和y=x?lnx共有三個不同的交點，并且從左到右的三個交點的橫坐標成等差數列.”

上述即為問題（2）的幾何直觀解釋.

由上分析表明試題的編制自始至終滲透著直觀想象素養.解題者也應借助圖象直觀分析解答問題.

二、邏輯推理視域下的立體幾何試題

試題的命制過程往往是命題者“執果尋因”的逆向邏輯推理過程.如在編制“立體幾何與空間向量”的試題時，命題者可先設定一個確定的空間幾何體，并根據空間幾何體的特征，編制若干可確定該幾何體的幾何量或者位置關系的條件，讓學生根據條件求解空間幾何體，然后在確定的空間幾何體中探究其他的幾何量和位置關系.

題2.（2022 年新高考數學I卷，T19）如圖7，直三棱柱ABC?A1B1C1的體積為4，△A1BC的面積為.

（1）求A到平面A1BC的距離；

（2）設D為A1C的中點，AA1=AB平面A1BC⊥平面ABB1A1，求二面角A?BD?C的正弦值.

命題者擬以直三棱柱為背景，考查“利用等積轉化求空間中的點面距離”的方法.等積法的關鍵是轉換頂點，進行等積轉化，由，可得，又因為，所以.因此，只需要給定直三棱柱ABC?A1B1C1和△A1BC的面積，即可求解點A到平面A1BC的距離.

由此，編制出題干與問題（1）：“直三棱柱ABC?A1B1C1的體積為4，△A1BC的面積為，求A到平面A1BC的距離.”

一道立體幾何試題的命制過程中，命題者是有全局觀的.命題者對本道試題所涉及的幾何圖形、空間位置關系、幾何量等是要有整體把握的.

題干與問題（1）所給的兩個條件是無法確定這個直三棱柱的.要確定一個三角形至少需要三個單一獨立的條件，如已知三邊、已知兩邊一夾角等.那么，需要幾個條件才能確定這個直三棱柱呢？要確定一個直三棱柱，需要確定直三棱柱的側棱和底面三角形的形狀和大小，因此至少需要四個單一獨立的條件.

題中給出直三棱柱ABC?A1B1C1的體積和△A1BC的面積，因此需要再給出兩個條件，于是命題者給出“AA1=AB，平面A1BC⊥平面ABB1A1”兩個條件.這四個條件即可確定直三棱柱，下面進行驗證：

由條件“AA1=AB”可以快速判斷出四邊形ABB1A1是正方形，其對角線互相垂直平分；結合條件“平面A1BC⊥平面ABB1A1”，可得點A到平面A1BC的距離等于點A到A1B中點的距離，從而得到正方形ABB1A1對角線的長度，進而確定AA1,AB的長度；由“直三棱柱ABC?A1B1C1的性質，平面A1BC⊥平面ABB1A1”可以證得BC⊥平面ABB1A1，進而得BC⊥AB，BC⊥A1B；再結合“△A1BC的面積為”求得BC的長度.至此，側棱及其底面三角形的形狀和大小確定，從而確定了直三棱柱.有了確定的空間幾何體，即可在幾何體中設問其中的各種幾何量，如求二面角的大小.

由此，編制出問題（2）：“直三棱柱ABC?A1B1C1的體積為4，△A1BC的面積為，設D為A1C的中點，AA1=AB，平面A1BC⊥平面ABB1A1求二面角A?BD?C的正弦值.”

數學是講道理的，解題靠推理.命題是“執果尋因”的推理過程，解題是“由因導果”的推理過程.無論解題還是命題，其基本工作形式都是邏輯推理，邏輯推理素養的具體表現是如何科學地、符合邏輯地在“因果”之間進行轉化，從而實現命題或解題目標.

三、數學抽象視域下的不等式試題

數學抽象是指在具體問題背景中發現規律，歸納出共同的、本質的問題，建立數學模型加以研究.數學抽象常常從數量關系、數式的結構特征、圖形關系等角度進行抽象研究.在命制“比較數值大小”的試題時，命題者常常從已知的不等關系出發，對不等式進行賦值、變形，得到具體數值的大小關系，從而設置試題.學生解題時需具備較強的數感和符號意識，根據數式的特征，對問題進行抽象，再構造函數求解.

題3.（2022 年新高考數學I 卷，T7）設a=0.1e0.1，b=，c=?ln 0.9，則

A.a

根據題干所給三個式子的結構特征，通過觀察、歸納、抽象，發現a,b,c均是某函數在0.1 處的函數值.構造函數f(x)=xex，g(x)=，h(x)=?ln(1?x)，則a,b,c分別是f(x)，g(x)，h(x)在x=0.1 處對應的函數值，即a=f(0.1)，b=g(0.1)，c=h(0.1).

借助畫圖軟件作圖，如圖8，可以發現g(0.1) >f(0.1) >h(0.1)，即c

由圖象可看出，函數f(x)，g(x)，h(x)在x=0 附近的圖象是非常接近的，肉眼幾乎不可識別.若想借助函數圖象解題，可用導數嚴格地加以證明.除了用圖象觀察得結論，編制試題.筆者猜測本題是對重要不等式lnx≤x?1 進行恒等變形、賦值而得.

曲線y=lnx的圖象在其切線y=x?1 的下方（切點（1，0）除外），并由此可得不等式lnx≤x?1，當且僅當x=1 時，等號成立.

y=lnx與y=x?1 在x=1 附近的函數值是非常接近的，通過估算是難以比較其大小的.因此，命題者考慮，設置比較兩個函數在x=1 的附近的函數值的大小，如比較ln 0.9 與0.9?1=?0.1 的大小.

由于背景的函數、不等式相對簡單，若僅是對這兩個數進行比較，則問題相對容易.因此，命題者對上述恒等式進行變形.

由“lnx≤x?1，當且僅當x=1 時，等號成立”，得“，當且僅當x=0 時，等號成立”，即“?ln(1?x)≤，當且僅當x=0 時，等號成立”.

由“lnx≤x?1，當且僅當x=1 時，等號成立”，得“ln(1?x)≤?x，當且僅當x=0 時，等號成立”，得“e?x≥1?x當且僅當x=0 時，等號成立”，得“當x<1，，當且僅當x=0 時，等號成立”，得“當0

綜上，當0

那么0.1e0.1與?ln 0.9 的大小關系又如何呢？

構造函數φ(x)=xex+ln(1 ?x)(0

當0 2，，此時φ″(x) >0，φ'(x) 單調遞增，故φ'(x) >φ'(0)=0，φ(x) 單調遞增，φ(x) >φ(0)=0，因此有0.1e0.1>?ln 0.9.

綜上，可得?ln 0.9 <0.1e0.1<.

抽象是數學的重要特性之一.抽象的目的在于確定數學的研究對象，抽象的常見方法是觀察變化中的不變、不同中的共性、無序中的有序，并把問題符號化、模式化，抽象成數學問題再加以解決.

四、數學運算視域下的解析幾何試題

解析幾何是考查數學運算素養的重要陣地，試題的綜合性較強，運算量較大.命題者往往是基于圓錐曲線中一些熟知的二級結論，或者借助幾何畫板等軟件研究圓錐曲線的圖象性質，根據已知結論、曲線的性質、圖象特征編制試題.而站在解題者的角度，由于曲線性質未知，解題方向未明，探究過程充滿未知，因此對數學運算能力就有了較高的要求.學生在平時的學習、練習中，要注意總結一些常見的運算技巧，以提高運算的速度和準確性.

題4.（2022 年新高考數學I 卷，T16）已知橢圓C：=1(a,b>0)，C的上頂點為A，兩個焦點為F1,F2，離心率為，過F1且垂直于AF2的直線與C交于D,E兩點，|DE|=6，則△ADE的周長是________.

命題者擬以橢圓為載體考查橢圓的方程與性質、直線與橢圓的位置關系.此類試題最常見的設題方式，是給定橢圓方程，求橢圓的離心率、相交弦弦長等.為不落俗臼，進一步考查數學運算素養，該題命題者逆向思維，給定“橢圓的離心率”和“斜率為定值的焦點弦的長度”，反過來確定橢圓的方程.

在逆向求解的過程中，運算途徑的選擇就顯得尤其重要了.如求解橢圓方程的常見途徑有二：途徑（1），聯立方程，結合條件“過焦點的弦長等于6”得到一個關于a,b,c方程，再由e=和a2=b2+c2，求得a,b,c；途徑（2），先由e=和a2=b2+c2，得a=2t,b=,c=t，再聯立方程結合條件“過焦點的弦長等于6”得到一個關于t方程，求得t和a,b,c.

途徑（1）的運算中含有a,b,c，變量較多，運算煩瑣，極易出錯；途徑（2）的運算中只含有變量t，運算得到了優化、簡化，大大地提升了運算成功的概率.解題時，考生要有明確的運算目的、合理的運算途徑，同時要有較高的運算準確率.這樣的構題方式，有效地檢測了學生的數學運算素養.

在求出橢圓的方程之后，命題者又因“圖”制宜，根據圖象的對稱特征，設置求三角形的周長問題，從中考查橢圓的定義.

第一個問題求解直線與圓錐曲線位置關系，考查考生的“強算”能力；第二個問題利用圖形的對稱特征實現轉化，并結合橢圓的定義求解三角形的周長，考查考生多思少算的“巧算”意識.考生需具有較強的圖感和數感，能根據“數”與“形”發現圖形的“對稱”與“相等”，再結合橢圓的定義進行求解.

強算是“本手”，巧算是“妙手”.但是并非所有的解題都有“妙手”，解題往往只需“直譯強算”，首先明白算理，明確目標，理清思路，尋找依據;然后制定解題計劃，合理設計運算途徑;接著就是按章辦事，依規行事了.因此，“直譯強算”是運算的基本能力.有了“直譯強算”的基本能力，再加上適度的“多思巧算”，就有了較強的運算求解能力.當然，除了較強的運算能力之外，具備堅定的意志和必勝的信心也是解題成功的必要條件.

五、數據分析視域下的統計與概率試題

數學高考主要以統計與概率為載體檢測學生的數據分析能力.一般地，命題者在試題的題干給出樣本的相關數據，要求學生整理數據，提取有用信息，運用統計的方法對數據進行分析和推斷，并根據樣本估計總體的思想，對總體進行評價，得出結論.

題5.（2022 年新高考數學I 卷，T20）一醫療團隊為研究某地的一種地方性疾病與當地居民的衛生習慣（衛生習慣分為良好和不夠良好兩類）的關系，在已患該疾病的病例中隨機調查了100 例（稱為病例組），同時在未患該疾病的人群中隨機調查了100 人（稱為對照組），得到如下數據：

（1）能否有99%的把握認為患該疾病群體與未患該疾病群體的衛生習慣有差異？

（2）從該地的人群中任選一人，A表示事件“選到的人衛生習慣不夠良好”，B表示事件“選到的人患有該疾病”，的比值是衛生習慣不夠良好對患該疾病風險程度的一項度量指標，記該指標為R.

（i）證明：R=；

（ii）利用該調查數據，給出P(A|B),的估計值，并利用（i）的結果給出R的估計值.

附：K2=，

獨立性檢驗是一種假設檢驗，即先假設、再推翻假設，它的原理及步驟與反證法類似.要判斷“患該疾病群體與未患該疾病群體的衛生習慣是否有差異”，先假設患該疾病群體與未患該疾病群體的衛生習慣沒有差異.在此前提下進行推理，推出小概率事件，概率不超過α 發生（α 一般為0.001，0.01，0.05，0.1），則意味著“患該疾病群體與未患該疾病群體的衛生習慣有差異”成立的可能性很大（可能性為1?α）；若沒有推出小概率事件發生，則意味著不能確定“患該疾病群體與未患該疾病群體的衛生習慣有差異”成立.

試題第（1）問，命題者以研究“一種地方性疾病與當地居民的衛生習慣的關系”為載體，在題干給出樣本數據，要求考生分析數據，用獨立性檢驗的方法判斷兩類變量是否有關系，再用樣本估計總體.試題表述簡潔明了，背景貼近生活實際，數學味與生活味并重，激發了學生應用數學解決問題的強烈意愿，從中考查學生數據分析素養和數學應用意識.

構造合理、有效的指標對樣本進行評價是數據分析的常見方法.“衛生習慣不夠良好且患有該疾病”的樣本數越多，“衛生習慣不夠良好且不患有該疾病”的樣本數越少；“衛生習慣良好且不患有該疾病”的樣本數越多，“衛生習慣良好且患有該疾病”的樣本數越少，都能說明衛生習慣不夠良好的人患該疾病的風險程度越大.因此指標R=能有效度量衛生習慣不夠良好對患該疾病的風險程度，R的值越大，則表示衛生習慣不夠良好的人患該疾病的風險越大，可見指標R是合理、有效的.試題的第（2）問以指標R為載體，要求證明并應用公式，考查條件概率公式以及所得恒等式的變形應用，檢測學生的數據處理能力.

（六）數學建模素養視域下的應用性試題

數學建模要求學生具有一定的數學閱讀理解能力、抽象概括能力、運算求解能力.學生要通過閱讀理解感知問題的本質，在對問題進行分析、思考、抽象、概括之后，將實際問題轉化為數學問題，并用數學的方法加以求解.

題6.（2022 年新高考數學I 卷，T4）南水北調工程緩解了北方一些地區水資源短缺問題，其中一部分水蓄入某水庫，已知該水庫水位為海拔148.5m 時，相應水面的面積為140km2；水位為海拔157.5m 時，相應水面的面積為180km2.將該水庫在這兩個水位間的形狀看作一個棱臺，則該水庫水位從海拔148.5m 上升到157.5m 時，增加的水量約為(≈2.65)

A.1.0×109m3B.1.2×109m3

C.1.4×109m3D.1.6×109m3

我們生活在三維空間中，隨處可見空間幾何體，也常常需要度量空間幾何體的表面積、體積.本試題關注國家社會經濟發展，以我國重大建設成就“南水北調工程”為背景設計試題，具有較強的實踐性與應用性，主要考查學生的空間想象能力、運算求解能力、應用意識和數學建模素養.學生通過對試題情景的閱讀，感受到我國日漸強大的綜合實力，自豪感油然而生，不僅體驗到數學在生活實踐中的實際應用，同時引導學生把個人前途與國家和民族的命運聯系起來，自覺樹立獻身科學、獻身國家的志向，充分發揮正確的思想導向和價值引領.