培養“數形互化”能力 優化中考函數復習

張 群 黃啟發

（邵武市第四中學，福建 南平 354000）

筆者查閱某地級市所編制的本地區近5 年（1998?2022）福建省中考數學質量分析報告，發現函數題的得分和答題情況都偏低，大部分函數題的難度都在0.5 以下，壓軸題的各小題難度都在0.3 以下，學生認為函數就是塊硬骨頭，甚至有恐懼心理.如2020 年最后壓軸題第一問，有相當多的考生，求A、B 兩點坐標（2 分）的分數都未獲得，0 分人數占比達60%，連基本的嘗試勇氣和能力都喪失了.究其原因，主要是三方面：函數意識淡薄；函數關系確定方法不明；特別是在函數問題處理過程中，“數形”（即符號語言和圖形語言）互化能力偏弱.筆者認為，“數形互化能力”（也稱為數形結合的思想方法）是解決函數問題的靈魂.“數形互化”體現了“幾何直觀”這一核心素養，它主要是指運用圖表描述和分析問題的意識與習慣.具體為能夠感知各種幾何圖形及組成元素，依據圖形的特征進行分類，根據語言描述，畫出相應的圖形，分析圖形的性質.［1］

一、讓學生熟練掌握“點的數形互化”

引導學生列出基本元素“點的數形互化表1”，教師可給出表格左邊，讓學生填空右邊（或者相反），直至做到兩邊都能填.學生熟記這幾種點的“數形互化”.

表1 點的數形互化

點是最基本、最簡單的幾何圖形，以點（交點、定點、中點等）切題，往往能迅速找到函數問題的突破口，對學生在坐標系中解決復雜函數問題有很大幫助，和學生一起分析下列實例.

例1.如圖1，雙曲線y1=k1x?1（k1＞0）與直線y2＝k2x＋b（K2>0）的二個交點的橫坐標分別為2 和?1，那么當x 取什么值時，y1

分析本題切入口：要找y1

尋找本題突破口：觀察除交點外，對同一個自變量對應點的高低可突破.當x>2 時，對同一個x，對應的雙曲線上的點都低于直線上的點，即y1

總結本題收獲：“點”的高低特征可轉化為函“數”值的大小，正所謂“形化數”，形就“精確”了.

例2.無論m 為任何實數，二次函數y=x2?（2?m）x+m 的圖像總是過點（ ）

A.（1，3） B.（1，0） C.（?1，3） D.（?1，0）

分析本題切入口：如果從主元x、y 切入，確定m 的兩個值，解一個二元二次方程組可得，但解法復雜，所以此題應變換主元為“m”切入，也稱反客為主.

尋找本題突破口：整理成“參數m 為主元”的解析式y=（x+1）m+x2?2x，令x+1=0，即突破，得答案為C.

總結本題收獲：函數解析“式”的特征（0 乘任何數都是0），可轉化為“形”的規律（拋物線過定點）.也就是“數化形”，數就“直觀”了.

二、讓學生熟練掌握“基本圖形的數形互化”

引導學生列出“基本圖形的數形互化表2”，方法同上.學生熟記這幾種基本圖形的數形互化.

表2 基本圖形的數形互化

因為任何組合的復雜圖形，都可分解為幾種“基本圖形”，函數的圖象就是在坐標系下，每一對（x，y）對應的點所組成的圖形，它將數量關系直觀化、形象化，從而可以數形結合的分析問題、解決問題.當用代數式表達了基本圖形（或性質），就為下一步解決函數問題創造有利條件，和學生一起分析下列實例.

例3.【2020 中考】已知直線l1：y=?2x+10 交y 軸于點A，交x 軸于點B，若直線l2：y=mx+n（n≠10），

求證：當m=?2 時，l1//l2

分析本題切入口：利用表2（6）的結論切入，當K1=K2且b1≠b2時l1//l2

尋找本題突破口：由于初中不能直接用上面結論，故可轉化為兩平行線與（X 軸）水平方向和（y 軸）豎直方向構造兩直角三角形的對應角相等問題，再進一步轉化為求兩對應角的正切值都是2，可突破本題.

總結本題收獲：判斷兩直線平行的“幾何問題”可轉化為求兩直角三角形對應角的正切值相等的“代數問題”，其中構造兩直角三角形是關鍵.

例4.【2022 中考】在平面直角坐標系xOy 中，已知拋物線y=ax2+bx 經過A（4，0），B（1，4）兩點.P 是拋物線上一點，且在直線AB 的上方.如圖，OP 交AB 于點C，PD∥BO，交AB 于點D.記△CDP，△CPB，△CBO 的面積分別為S1，S2，S3.判斷是否存在最大值.若存在，求出最大值；若不存在，請說明理由.

分析本題切入口：在坐標系中，由PD∥BO，你能想到什么？引導學生應該想到四方面性質：①內錯角相等；②線段成比例（A 型或X 型相似）；③同底等高三角形面積轉化；④K1=K2（幾何特征是構造兩直角三角形的對應角相等（或相似），其中性質②④就是本題切入口.

尋找本題突破口：有部分同學都能做到，

由性質④可知，過點B，P，作X 軸的垂線，垂足分別F，E，PE 交AB 于點Q，過D 作X 的平行線，交PE 于點G，構造的兩直角三角形BOF 與三角形PDG 相似，設，由tan∠BOF=tan∠PDG=4，整理得4n=m2?m+4

總結本題收獲：

（1）三個關鍵點P，D，G 的坐標表示是解此題的基礎（形化數）.

（2）符號語言“K1=K2”可轉化為“兩直角三角形的對應角相等（或相似）”的幾何語言（數化形），在“數”與“形”之間，對平行線性質④靈活轉化是解本題的關鍵.

三、讓學生熟練掌握“拋物線的數形互化”

引導學生列出“拋物線的數形互化表3”，方法同上，熟記拋物線的幾種數形互化.

表3 拋物線的數形互化

二次函數是初中函數模塊復習中的重頭戲，也是進一步學習高中函數的基礎，它的代“數”特征與拋物線“形”的幾何特征如影隨形，相互轉化，即能幫助學生進一步深刻領會二次函數的性質，以及與一元二次方程、一元二次不等式之間的聯系.又能以函數為統率，建立知識點之間橫向和縱向的聯系，把所學的知識網格化，結構化，進一步提高學生多角度，多方法分析函數問題與解決函數問題的能力，和學生一起分析下列實例.

例5.【2020 中考】已知直線l1：y=?2x+10 交y 軸于點A，交x 軸于點B，二次函數圖象過A，B 兩點，交x 軸于另一點C，BC=4，且對于該二次函數圖象上的任意兩點P1（x1，y1），P2（x2，y2），當x1>x2>5，時，總有y1>y2.求二次函數的表達式；

分析本題切入口：利用表3（2）的結論切入.讀懂符合語言“當X1>X2>5 時，總有y1>y2”的含義.

尋找本題突破口：利用二次函數圖象過A，B 兩點，交X 軸于另一點C，BC=4，且在點B 右側圖象是“上坡形”，可畫出拋物線草圖突破本題，再確立C（1.0），進而利用交點式求解，.

總結本題收獲：“對任意兩點P1（x1，y1），P2（x2，y2），當x1>x2>5，時，總有y1>y2.”的“代數語言”可轉化為拋物線在點B 右側圖象是“上坡形”的“圖形語言”，結合圖形讓學生領會不等式表示的“符號語言”是如何轉化為“上坡形”的圖象.

例6.【2022 中考】已知物線y=x2+2x?n 與x 軸交于A，B 兩點，拋物線y=x2?2x?n 與x 軸交于C，D 兩點，其中n＞0，若AD＝2BC，則n 的值為______.

分析本題切入口：利用表3（5）的結論，發現拋物線y=x2+2x?n 與y=x2?2x?n 關于y 軸對稱.一種方法是從“形”切入，畫兩條拋物線草圖猜想可得；另一種方法是從“數”切入，若點（x，y）在一條拋物線上，有（?x，y）一定在另一條拋物線上，則這兩條拋物線關于y 軸對稱.

尋找本題突破口：從關于y 軸的對稱性出發，由AD=2BC 發現，四種可能的圖形中，只有如草圖2，A、C、B、D（從左到右）這一種可能，設B（b，0）（b>0），則BC=2b，AD=4b，有A0=2b，所以A（?2b，0），本題得以突破，由中點坐標公式得B（2，0），從而n=8.

總結本題收獲：

（1）本題若從“代數方法”入手，解方程得A、B、C、D 坐標，計算量大，難免出錯，雖是參考答案提供的解法，作為選擇題不宜提倡.應從“幾何法”入手，把解析式y=x2+2x?n 與y=x2?2x?n 隱含“式”的特征轉化為兩拋物線“形”的特征（關于y 軸對稱）.從軸對稱切入，以形助數，快速得解.

（2）在拋物線的復習中，適當引申一些常用結論（如軸對稱結論），可以滿足不同學生需求，豐富他們的解題思路，領悟“數形互化”的魅力.

另補充表4 是二次函數的取值問題，一元二次方程的近似解，一元二次不等式的解法本質上就是借助二次函數圖象的圖象法，也是“數”化“形”的經典呈現.

二次函數的取值表4 特別地，認識拋物線y=ax2+bx+c 的“一式三面”表5，限于篇幅，表4、5 不再一一舉例.

總之，在函數復習過程中，引導學生列表總結基本元素點，基本圖形和拋物線的幾種“數形互化”，養成見“形”想“數”，有“數”想“形”的函數思維習慣，領會應用“數形互化”解決函數問題的經典案例.以培養學生“數形互化能力”為中心進行教學，就一定能進一步增強學生學好函數的信心，提高解決函數問題的能力，進一步優化中考函數復習.

表4 二次函數的取值

表5 拋物線的“一式三面”