初中幾何推理教學路徑探究
——從2021-2022 年福建省中考幾何壓軸試題談起

李霞

（福州教育研究院，福建 福州 350001）

《義務教育數學課程標準（2022 年版）》修訂保留《義務教育數學課程標準（2011 年版）》的合理內核及延續《普通高中數學課程標準（2017 年版2020 年修訂）》倡導的數學核心素養主張.2022 年的中考是“雙減”背景下的第一年中考，也是《義務教育數學課程標準（2022 年版）》頒布后的第一年中考，福建省中考的幾何壓軸試題基本保持了以往的考察方式，保證了幾何核心思維的考查——邏輯推理，也引導教師繼續關注初中平面幾何的教育任務.但這個任務的學習效果從試卷測評所反饋的情況看不容樂觀，在抽查的測評試卷中，我們發現學生不能順利完成幾何壓軸試題解答的原因是：不知道幾何思維在問題解決中的作用，不懂得幾何基本圖形及幾何基本方法，不能根據條件和圖形構造基本圖形并獲得結論的使用，不明白幾何問題探究的路徑等.

一、中考幾何壓軸試題的解構

案例1（2021 年福建省數學中考第24 題）：

如圖1，在正方形ABCD中，E，F為邊AB上的兩個三等分點，點A關于DE的對稱點為A'，AA'的延長線交BC于點G.

（1）求證：DE//A'F；

（2）求∠GA'B的大小；（3）求證：A'C=2A'B.

案例2（2022 年福建省數學中考第24 題）：

已知△ABC≌△DEC，AB＝AC，AB＞BC.

（1）如圖2，CB平分∠ACD，求證：四邊形ABDC是菱形；

（2）如圖3，將（1）中的△CDE繞點C逆時針旋轉（旋轉角小于∠BAC），BC，DE的延長線相交于點F，用等式表示∠ACE與∠EFC之間的數量關系，并證明；

（3）如圖4，將（1）中的△CDE繞點C順時針旋轉（旋轉角小于∠ABC），若∠BAD＝∠BCD，求∠ADB的度數.

（一）考法分析

1.載體自身的結構特點

兩道題的載體分別是三角形與四邊形.三角形的核心知識，一是構成三角形中基本元素（邊、角、邊與角）及與三角形相關的元素（中位線、內角平分線、高及中線）之間的關系；二是兩個三角形之間的合同或位似關系.四邊形的核心思維在于四邊形的問題基本上要轉化為三角形來處理，這也是研究多邊形問題的一般性方法.另外，特殊的四邊形（平行四邊形）及特殊的平行四邊形（矩形、菱形、正方形）的中心對稱與軸對稱性質，是解決許多數學問題和現實問題的基礎.

2.載體在初中數學地位

三角形的有關知識是“圖形與幾何”中最為核心、最為重要的內容.三角形既是最基本的直線型圖形，也是研究其他圖形的工具和基礎.特別是平面圖形中的計算、推理論證等問題，一般要轉化為三角形的問題來解決.

四邊形的內容，承載著培養和發展演繹推理能力的功能，它作為初中階段最后章節的直線型部分，很好地完成了從合情到演繹的過渡.特別是平行四邊形法則，溝通勾股定理和向量內積，成為數學理論中重要的內容.另外特殊的四邊形和圖形變換中的“平移”“軸對稱”“旋轉變換”又有著廣泛的聯系.

（二）答題分析

1.幾何思維中的確定性思維

2021 年的第24 題，還原圖形的生成過程（圖5 到圖8），可以發現幾何思維（圖形的確定性思維）在本題中作用，四邊形是確定的，邊確定，E，F為AB邊上的兩個三等分點，則AE、EF、FB都是確定，且長度相等.點A關于DE的對稱點為A'，A'也是確定的，三角形ADA'也是確定的，AA'的延長線交BC于點G，G點也是確定的，△ABG也是確定，且全等于三角形ADE，得到BG=AE=EF=FB，因此CG=2BG，為第三問打下基礎.

其次學會消點法（構圖法），如圖6 到圖8，題目中出現的A'點，點要與其他點產生聯系，才能“有所作為”：①A'點在AA'上，A'H=AH；②連接A'F，A'F與DE產生平行位置關系，即為要證的（1）中的結論；③連接A'B，產生∠GA'B，即為要求的（2）中的結論；④連接A'C，出現新的△A'BC，即為要證的（3）中的結論.明白了試題的生成過程，對要解決的問題就不會太難，如第（1）問產生的新的線段也與原來圖形中HE構成三角形中的中位線關系.第（2）問中的∠GA'B大小，從圖形上可以猜想它與∠GFB相等.由BG=FB，得到△BGF為等腰直角三角形，可得∠GFB=45°.

第（3）問，如圖9 首先可以通過測量得到A'C=2A'B.由于CG=2BG，∠GA'B=45°，只要證明∠CA'B=45°，因DA=DA'=DC，可以發現點A、A'、C在以D為圓心的圓上，則∠CAG=1/2∠ADC=45°.

第（3）問，還可以用建系的方法解決，如圖10，令AE=1，根據kDE=kA'F=?3，得直線A'F的解析式為y=?3x+6，直線AG的解析式為y=，交點A'為（），則A'C，A'B=，所以A'C=2A'B.會想到這種方法.說明學生已經具備確定性思維，如△A'BC是確定的，則它的邊長是可以定量表達的.因此確定性思維是幾何思維中定量問題能夠解決的充要條件.

可以看到：幾何思維中的確定性思維對問題解決的策略，先是還原圖形的生成過程（分步畫圖），其次確定每步的結論以及相應的可用的方法，最后判斷基本圖形或及其元素是否需要移動（也可以是量的等價轉移）.對于特殊的確定性圖形，還可以思考建系的方法解決.

2.演繹邏輯中的合情思維

2022 年的第24 題，是以等腰三角形作為基本圖形，通過圖形的運動，尋找變中不變的性質探究.第（1）問，由△ABC≌△DEC，得到AC＝DC；由CB平分∠ACD，得到∠ACB=∠ECB.于是本題有兩個途徑證明菱形：①一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形，②四條邊相等的四邊形是菱形，考查特殊四邊形的判定定理.

第（2）問，由∠ACB=∠DEC，∠ACF=∠CEF，證出∠ACF+∠ECF+∠EFC=180°，證出∠ACE+∠EFC=180°.考查旋轉變換中那圖形的不變性質，兩個全等三角形，隨意擺放，若對應頂點排列順序一致（平移除外），通過一次旋轉變換，可以將其中一個三角形（△ABC）變換到另一個三角形（△DEC）.這里的∠ACF=∠CEF，其實就是基于一種經驗、一種歸納得到的結論（對應線段之間的夾角相等且等于旋轉角）.

對于第（3）問，題目本質上是兩個等腰三角形（△A CB與△A CD）圖形的疊加，問題就是研究構成這兩個等腰三角形的基本元素—角（等腰三角形頂角∠CAB與∠ACD）之間的關系，這關系的尋找需要構造，根據題目給的條件是一邊一角，題目的解決指向構造全等三角形（圖11）.得到新結論△BMD為等腰三角形，從而溝通出∠BDA與∠BCD及∠BDC之間的關聯.再根據題意，△A CB內陷在∠ACD中，角度之間隱藏著和差關系，即∠ACD+∠CAD+∠CDA=180°，從而得到∠BCD+∠BDC=30°，使問題得以解決.這種的思路還是基于合情推理中歸納、類比的經驗使用，承認了全等三角形的價值，那么應該將建構全等三角形的方法提升到素養的層面，即在處理含有等邊等角（擬等角、擬等邊）的問題時，將建構全等三角形看作重要的思維方式.

另外，還可以先猜測∠ADB的度數為30°，然后去操作探究∠ADB與60°之間的關聯，與60°關聯的可以構造等邊三角形，也可以構造同弧所對的圓心角.如圖12 的三個圖，其∠APC為被構造出來的60°.

幾何問題的理解，要依據幾何的圖形思維，把幾何對象化為具有幾何特征的圖形.如30°這是個數量化的元素，可以轉化成60°，而60°可以把它置換在幾何圖形（等邊三角形）中去研究，運用學過的幾何的定義與性質去演繹.這種在學生通過猜測、觀察、操作、變換探究出來的圖形的性質，滲透了合情推理能力的培養和發展.

通過兩道中考幾何壓軸試題的解構，可以看到無論是幾何思維中的確定性思維，還是演繹邏輯中的合情思維，都是平面幾何推理教學中需要秉承的思維.而這種思維的養成需要設計，需要通過幾何推理教學的載體加以實現.

二、初中平面幾何的推理教學

（一）初中平面幾何的教育任務

現代中等教育把歐幾里得《幾何原本》中的內容分成了若干部分，分別歸到平面幾何、代數、三角、立體幾何.初中平面幾何的內容主要取材于《幾何原本》的前六章，大致概括為點、線、面、角的概念，三角形，兩條直線的位置關系（包括平行，垂直），四邊形，圓，相似形，求圖形的面積這樣幾個部分［1］.原北京師范大學副校長傅仲孫說過：“幾何之為學，自實用方面觀之：固為研究空間研究物體形狀大小之學，自理論方面言之：則純乎論理之一大盤演繹推測式也.”幾何學習的最低要求——出于生活和生產的需要，要認識我們生活的空間，必須學習一些必備的基礎幾何知識.［2］幾何學習的高層次要求——“培養邏輯思維與形成演繹體系是幾何的特權”.平面幾何是以圖形為研究對象的學科；教材的安排線索先是通過觀察、實驗、猜想，接著就不失時機地補充推理驗證.在平面幾何的學習中，要教會學生識別圖形的基本元素，研究基本元素之間的關系，研究平面幾何的思維工具——變換（全等、相似）.研究用綜合方法、坐標方法解決幾何綜合問題.何為幾何綜合問題：就是從邏輯推理和定量計算的角度來探求新的、未知的結論，通俗地講就是創造條件實現由已知向未知的轉化［3］.因此作為教育任務的初中平面幾何教學的路徑：從實驗幾何開始，用歸納實驗去發現圖形之本質，再以實驗幾何之所得為基礎，用邏輯推理去探索新知，最后發展到推理幾何，用演繹去論證，對已知的各種各樣空間本質，精益求精地作系統化和深刻的分析［4］，形成綜合幾何問題解決的素養.

（二）初中平面幾何思維的培養

北京市海淀區教師進修學校的張鶴老師認為：幾何思維即幾何圖形思維——圖形（形狀、大小）的確定性思維.幾何確定性思維是綜合幾何問題研究的思維路徑.研究幾何思維要從研究幾何基本圖形與基本方法開始.

何為幾何基本圖形？現行教材中概念、公理和定理所對應的圖形都可記為基本圖形，［5］一般分為兩類：第一類是構成圖形的基本元素及封閉圖形，如點、線、角、相交線、平行線、三角形、四邊形、圓等；第二類是在第一類基礎上加一條線（線段、射線），如一條線與兩條相交線，三角形及邊上的高、三角形及其角平分線、平行四邊形及其角平分線、垂直徑定理及其推論、圓內接四邊形及其對角線等.

基本圖形的方法：是指在幾何圖形中分解或構造出起主要作用的基本圖形，通過這些基本圖形已知條件與要得出結論之間的聯系，以求得問題的解決［6］.要實現基本圖形的方法，首先要有圖感，接著是方法感，如圖13，對于一個幾何問題，如果我們分析得到它的基本圖形有一個或者若干個不完整的圖形，那么我們可以把這些基本圖形添加完整，然后應用.所以添加輔助線的目的是為了把不完整的基本圖形補全，已使基本圖形的性質（結論）得到應用而完成證明.這就是基本圖形方法，也是幾何思維的本質.

（三）初中平面幾何的推理教學

推理：根據一個或幾個事實（或假設），得出一個判斷，這個思維方式就是推理.如：“因為三角形內角和為180°，所以，內角和不是180°的多邊形不是三角形.”任何推理都由兩部分組成，前提和結論.根據前提和結論的真實性關系，推理可以分為論證推理（若前提真則結論一定真的推理，主要是演繹推理）和合情推理（若前提真則結論似乎真的推理，主要包括歸納推理和類比推理）.

1.平面幾何推理教學開始的路徑

平面幾何研究的是點線的直觀概念及變換的形象概念，這些平面圖形概念的獲得一般都是從直觀開始描述.如垂線、三線八角等，許多概念沒有作嚴格的形式化的要求，是結合圖形描述的，借助幾何直觀，可以加深對概念的理解.要明確認識圖形的基本標準，如根據圖形建立知識，先有圖再有概念.明白認識圖形的方法，從概念到性質（判定）再到延伸問題及應用.

初中幾何思維的課程發展鏈，首先是從物到形，建立在視覺感知基礎上的直觀幾何；接著是從素材到關系，以歸納演繹為基礎的實驗幾何；然后是從合情到演繹，以演繹推理為基礎的理論幾何.

推理開始的路徑無論是平面圖形概念的獲得，還是從課程鏈的發展，都應從直觀開始.平面幾何是研究構成圖形的基本元素及基本元素之間的關系（數量和位置關系），其內在邏輯——定性到定量的過程.定性研究中，要發揮圖形的直觀功能，可以容易地得到位置關系的定性描述.［7］

2.平面幾何推理教學實現的路徑

研究圖形，其實是從元素的位置關系入手，而位置要靠數量來刻畫，而這兩種關系的總和就是形狀.平面幾何推理教學實現的路徑：圖形（三角形）—圖形關系（全等三角形）—圖形運動（平移、軸對稱）—圖形運算（勾股定理）—數形結合（平面直角坐標系）.而圖形（三角形）中研究的問題、線索和基本方法；定義（組成元素、分類）—性質（變化中的不變性、規律性）—變換（確定三角形的條件）—特殊圖形的研究（直角三角形、等腰三角形）等.再如四邊形，它與三角形不一樣的地方是它的不穩定性，比三角形多了對邊、對角、對角線，因此確定四邊形研究的基本方向：先研究對邊、對角的位置關系，再研究數量關系，進而再研究鄰邊鄰角的數量關系；利用對角線可能存在的位置關系過渡到數量關系，從而形成四邊形的所有的知識［2］.特別是性質定理是已知圖形形狀，進而得出圖形元素的數量或位置關系；判定定理是已知圖形元素的某些數量或位置關系，依此判斷圖形形狀.因此，無論是性質還是判定，都是圍繞圖形的基本元素展開.平面幾何推理教學實現的路徑以圖形會載體，單個圖形可以研究構成圖形基本元素的屬性，多個圖形就研究他們的關系.關系可以是數，也可以是位置，但數量化的幾何一定要置換在圖形中去研究.