深水爆炸二次壓力波超壓峰值的工程模型

王樹山，梁策，高源，桂秋陽，劉建湖，盛振新

(1.北京理工大學 爆炸科學與技術國家重點實驗室，北京 100081；2.中國船舶科學研究中心，江蘇 無錫 214082)

0 引言

炸藥水下爆炸形成爆炸沖擊波和氣泡脈動，氣泡脈動輻射脈動壓力波[1-2]。沖擊波后的首個脈動壓力波稱為二次壓力波，盡管其超壓峰值只有沖擊波的10%～20%，但其能量接近沖擊波的50%，沖量水平與沖擊波相當[3-4]，因此成為一種備受關注的重要毀傷載荷。在水深變化條件下的水下爆炸中，氣泡能隨爆炸深度的增加而增大[5-6]，水深對氣泡脈動和二次壓力波的影響不可忽略，因此研究水深對二次壓力波的影響并獲得適用于數千米水深范圍內深水爆炸二次壓力波超壓峰值的工程計算模型，非常具有理論意義和工程應用價值。本文基于此開展水深對于二次壓力波超壓峰值影響的研究。

相似理論和量綱分析是水下爆炸相關問題研究的基本方法和手段之一，早在1919年，Hilliar就提出了基于量綱分析和爆炸相似律的水下爆炸沖擊波壓力計算公式[7]，1948年，Cole[3]給出了典型炸藥水下爆炸沖擊波和二次壓力波的爆炸相似律經驗公式，被視為經典并沿用至今。然而這些公式均未考慮水深的影響。在此之后，Keil[8]、Stiepanow等[9]、Henrych[10]、Geers等[11]以及周霖等[12]從各自的研究出發，分別給出了有代表性的水下爆炸沖擊波相似律模型。毋庸置疑，以爆炸相似律為基礎的工程模型作為定量計算與分析水下爆炸參數的基本方法和手段，已得到廣泛認同和普遍應用[13-14]。

針對二次壓力波特別是深水爆炸二次壓力波的專題研究相對比較鮮見，早期具有代表性的工作可追溯到1950年前后，Arons[15]提出了考慮水深影響的二次壓力波理論分析方法，Bernard[16]給出了500 ft(152.4 m)水深以內的二次壓力波超壓峰值與水深的函數關系。1967年，美國海軍軍械實驗室[17](USNOL)進行了深水爆炸試驗，基于爆炸相似律通過試驗數據擬合，得到了深水爆炸二次壓力波峰值壓力的經驗公式。該公式依水深采用2階分段函數形式，其中第1段(500～4 000 ft/152.4～1 219.2 m)函數不含水深變量即與水深無關，這明顯源于對有限試驗數據的誤解和機械處理，有悖于物理常識和邏輯。2012年，姚熊亮等[18]給出了一種含水深變量的二次壓力波峰值壓力計算公式，能夠直觀反映峰值壓力隨水深的連續變化，但不符合嚴格意義上的爆炸相似律，欠缺理論和試驗依據。本文采用有試驗依據的數值仿真研究方法，分析水深對二次壓力波超壓峰值的影響，以爆炸相似律為基礎并利用仿真數據，建立物理含義明確的深水爆炸二次壓力波超壓峰值的工程模型。

1 數值模型

1.1 網格模型和邊界條件

基于AUTODYN數值模擬軟件建立的一維楔形網格模型如圖1所示，水域半徑設定為100 m。裝藥為球形TNT炸藥，質量和尺寸可調整，起爆點設置在裝藥中心。為保證計算精度和提高計算效率，采取漸變網格的劃分方法，網格劃分密度由爆心處1 mm/格漸變為最遠處的10 mm/格。邊界條件選用默認的固壁面(rigid)邊界條件，這樣雖然存在邊界處的沖擊波反射，但由于所建水域足夠大，能夠保證本文所有算例反射沖擊波到達距爆心最遠觀測點的時間均大于二次壓傳播至該觀測點的時間，因此各觀測點所采集的二次壓力波數據不受反射沖擊波的影響。

1.2 炸藥狀態方程與參數

炸藥狀態方程選擇JWL狀態方程，即

(1)

式中：p為爆轟產物的壓力；E0為單位體積內能；A、B、R1、R2、ω為常數，其值通常通過炸藥圓筒實驗研究；V為相對體積。

所研究的TNT炸藥參數及JWL狀態方程參數，直接取AUTODYN軟件材料庫中TNT-2相關參數，如表1所示。

表1 TNT炸藥參數及JWL狀態方程參數

1.3 水狀態方程與參數

水介質采用多項式狀態方程，壓縮(μ>0，μ=ρ/ρ0-1，ρ為水介質密度，ρ0為常溫常壓下水的密度，ρ0=1.0 g/cm3)狀態和拉伸(μ<0)狀態的形式分別為

p=A1μ+A2μ2+A3μ3+(B0+B1μ)ρ0e

(2)

p=T1μ+T2μ2+B0ρ0e

(3)

式中：p為水介質壓力；e為水介質比內能，e=(p0+ρ0gH)/B0，p0為大氣壓，g為重力加速度，H為水深,B0為常數；A1、A2、A3、T1、T2、B1均為常數。這樣，就可以根據水深來調節水介質比內能e，從而實現不同水深情況下的計算。狀態方程的主要參數選取AUTODYN材料庫中的默認參數，如表2所示。

表2 水介質多項式狀態方程參數

2 模型校驗

利用模擬深水爆炸罐試驗數據與對應工況的模型計算結果進行對比分析，為數值模型的正確合理性以及仿真結果的準確有效性提供試驗依據。模擬深水爆炸罐試驗原理為：首先向罐內注水并達到預定水量，然后保持密閉并通過空壓機對罐內空氣加壓，通過調整和控制罐內壓力達到模擬深水的目的。試驗在中國船舶科學研究中心(江蘇無錫)完成，試驗用模擬深水爆炸罐及內部布置如圖2所示。該模擬深水爆炸罐為球殼形結構，內腔直徑7 m，最大模擬水深600 m，最大爆炸當量1.0 kg TNT。在罐體內部，采用繩索吊放裝藥和懸吊傳感器支架，壓力傳感器安裝在傳感器支架上。

試驗的TNT裝藥形狀為近似等高圓柱，裝藥密度為1.60 g/cm3，試驗時吊放于爆炸罐中心。試驗用壓力傳感器為PCB-138A50型電氣石水下爆炸壓力傳感器，垂直懸吊于距爆炸中心水平距離490 mm處。試驗獲得了10 g藥量模擬400 m、500 m和 600 m 水深以及30 g、50 g藥量模擬600 m水深共5個工況的有效數據，實測的典型(裝藥質量10 g，模擬水深400 m)壓力p-時間t曲線如圖3所示[19]。所獲得的模擬深水爆炸二次壓力波超壓峰值的試驗結果和應用所建立數值模型針對試驗工況的仿真結果，一同示于表3。

由表3可以看出，試驗值與仿真值之間存在一定偏差，偏差的產生可能有如下3方面原因：1)數值仿真與試驗裝藥雖然種類相同，但裝藥密度、爆速等參數無法保證完全一致；2)試驗本身存在一定的隨機誤差；3)數值仿真存在著不可避免的算法誤差。盡管如此，數值仿真與試驗結果的偏差均保持在±10%以內，二者吻合度和一致性良好，可以認為數值模型正確合理、能夠滿足工程研究需要，可用于深水爆炸二次壓力波問題的研究。

表3 二次壓力波超壓峰值的試驗與仿真結果

3 數值計算與數據分析

3.1 數值計算與結果

采用經過試驗數據校驗的上述數值模型，進行30 g TNT球形裝藥5～8 000 m水深范圍內共 18個 工況的計算，裝藥半徑R0為16.48 mm，分別在R/R0(R為爆距)取值為10、15、25、35和50倍裝藥半徑處設置流場觀測點并采集當地的壓力歷史。所提取的典型流場觀測點(水深H=2 000 m、R/R0=25)壓力-時間曲線如圖4所示。圖4中，Δp2表示二次壓力波峰值壓力與靜水壓力之差，稱為壓力波超壓峰值。由圖4可以清楚地看到，爆炸沖擊波及隨后的脈動壓力波。

通過數值計算獲得不同水深和爆距條件下Δp2的仿真數據，如表4所示。需要指出的是，表4中并沒有給出0 m水深的數據。事實上，按0 m水深的參數設置，實際計算中會出現明顯的數值振蕩現象，難以得到滿意的計算結果，這可能是由軟件和數值算法自身的原因所導致的。另外，理論上的0 m水深爆炸實際并不存在，其Δp2只是一個虛擬外推值。對于這個虛擬外推的0 m水深Δp2，可以利用表4數據通過擬合得到，且比刻意的直接計算更具有科學合理性。

表4 Δp2的仿真結果

根據表4的數據，得到二次壓力波超壓峰值Δp2分別隨水深H和R/R0的變化趨勢，如圖5和圖6所示。

由圖5可以看出，對于全部的5個爆距觀測點，二次壓力波超壓峰值Δp2均隨水深H的增加而不斷升高，但上升趨勢漸緩。即隨著水深增加，二次壓力波超壓峰值不斷增大，增大比率不斷減小。

由圖6可以看出，固定水深H條件下，二次壓力波超壓峰值Δp2隨R/R0的增大而不斷降低，與爆炸相似律所描述的變化趨勢相類似。事實上，由于數值計算的裝藥質量W固定為30 g，可通過數據變換分析Δp2與相似參量W1/3/R的關系。

3.2 數據分析與Δp2工程模型

以爆炸相似律為理論基礎進行模型構造，在此基礎上對仿真結果進行深入的數據分析，研究水深對二次壓力波傳播的影響以及Δp2的工程計算方法。

3.2.1 模型構造

經典文獻[3-4]給出了不考慮水深影響的TNT裝藥Δp2爆炸相似律計算公式：

(4)

對于深水爆炸Δp2的模型構造，首先需要進行兩點假定：

1)固定水深條件下的深水爆炸，Δp2只與參量W1/3/R有關，即符合爆炸相似律；

2)水深H和相似參量W1/3/R對Δp2的影響各自獨立。

基于爆炸相似律并參考經典模型(4)式，構造深水爆炸Δp2工程模型的一般形式為

(5)

式中：k、α為常數；f(H)為與水深H相關的函數，體現為一種水深修正，f(H)需要滿足H=0 m時f(H)=1。對比(4)式和(5)式可以看出，前者是后者的一個特例。

3.2.2 數據分析

(5)式包含兩個變量：相似參量W1/3/R和水深H，如果能確定常數α和k以及函數f(H)，就可以得到深水爆炸Δp2工程模型的顯式表達式。下面對數值仿真結果進行數據分析，同時闡述相關假定以及模型構造的合理性。

對(5)式等號兩邊同取對數，得

ln Δp2=lnk+αln(W1/3/R)+ln[f(H)]

(6)

考慮(6)式的函數和變量形式，對表4的數據進行換算，得到表5，其中ln(W1/3/R)由R/R0按W=30 g換算得到。根據表5的數據，可以繪制出不同水深H下的ln(Δp2)～ln(W1/3/R)關系曲線和不同ln(W1/3/R)下的ln(Δp2)～H關系曲線，分別如圖7和圖8所示。

表5 不同H和ln(W1/3/R)下的ln Δp2

由圖7可以看出，給出的5種水深(其他深度亦如此)的ln Δp2～ln(W1/3/R)曲線均為直線且相互平行，表明水深一定時二次壓力波超壓峰值Δp2只與相似參量W1/3/R有關，即Δp2符合爆炸相似律且為以常數α為指數的關于W1/3/R的冪函數。由圖8可以看出，5種相似參量W1/3/R的ln Δp2～H曲線形狀是一致的，相互之間可通過平移實現不同W1/3/R間的轉換，表明水深H對任意W1/3/R取值的Δp2的影響都是相同。圖7和圖8的曲線的“直線-平行”和“相同-平移”特征，表明相似參量W1/3/R和水深H或函數f(H)對Δp2的影響各自獨立。由此可見，模型構造的兩點假定符合客觀實際，Δp2工程模型的一般形式是科學合理的。

由圖7結合(6)式可知，ln Δp2～ln(W1/3/R)直線的斜率為α，截距為lnk+ln[f(H)]。考慮(6)式并在表6基礎上進行進一步數據處理，得到不同H下的α和lnk+ln[f(H)]示于表6。

表6 不同H下的α和lnk+ln[f(H)]

1)(5)式中常數α的確定

綜合分析圖7和表6，可以認為所計算的每一水深的ln Δp2～ln(W1/3/R)曲線均為直線且斜率均近似為1。考慮到仿真誤差的存在，取α=1是合理恰當的，與經典文獻[3-4]以及USNOL[17]的試驗結果完全一致，也使本文研究與經典成果實現了相互印證。

2)(5)式中常數k的確定

對于一般形式的(5)式，在已確定α=1的條件下，再考慮f(H)的定義所給出的H=0 m時f(H)=1，理論上很容易由H=0 m的Δp2值直接確定常數k。然而如前所述，由于難以得到H=0 m的Δp2精確計算值，需要通過數據擬合外推得到k值。

根據表6的數據，繪制以水深H為自變量的lnk+ln[f(H)]散點圖，進而得到lnk+ln[f(H)]關于水深H的擬合曲線，如圖9所示。對于擬合曲線與lnk+ln[f(H)]軸的交點，存在H=0 m，f(H)=1，ln[f(H)]=0，于是lnk+ln[f(H)]=lnk，最終得到lnk=2.234 5，k=9.34。

3)(5)式中f(H)的確定

常數k確定之后，由表6數據可進一步得到18組[H,f(H)]數據。通過繪制[H,f(H)]數據散點圖然后進行數據擬合，并使擬合函數滿足H=0 m時f(H)=1，最終得到f(H)與H的關系如圖10所示。

擬合函數f(H)為

f(H)=1+0.006 1·H0.41

(7)

擬合函數f(H)的R2值約為0.92，表明擬合精度是可以接受的，能夠滿足一般的工程計算需要。

3.2.3 TNT炸藥的Δp2工程模型

由TNT球形裝藥的數值仿真結果，通過數據分析確定了(5)式中的常數α、k以及水深修正函數f(H)。從而獲得了適用于TNT炸藥深水爆炸、基于爆炸相似律結合水深修正的計算二次壓力波超壓峰值的工程模型，即

(8)

式中：Δp2的單位是MPa，W的單位是kg，R、H的單位均為m，其適用范圍為本文模擬深度0～8 000 m。

為進一步充分驗證工程計算模型(8)式的有效性和正確性，將試驗值和相同條件下的計算值進行對比，如表7所示。從表7中可以看出，(8)式與試驗值的相對偏差平均在10%以內，表明該工程計算模型具有較好的計算準確性和工程實用性。

表7 試驗值與(8)式的Δp2計算值對比

4 分析討論

4.1 深水爆炸二次壓力波超壓峰值的相似律

由圖7和表6可以清晰地看出，任意水深條件下的ln Δp2～ln(W1/3/R)曲線均為直線且相互平行，對應不同水深的直線間可以通過相互平移得到，其間的平移變換受水深修正函數f(H)控制。表明任意水深條件下的Δp2均符合爆炸相似律，其數學形式為以常數α為指數、關于變量W1/3/R的冪函數。本文的數值仿真及數據分析表明，對于球形TNT裝藥α取值為1，與經典文獻[3,4,17]完全一致。需要指出的是，經典文獻[3-4]的(4)式中k取值7.095，與本文9.34不同。其中的主要原因可能是裝藥條件不同，AUTODYN材料庫的TNT裝藥密度為接近理論密度的1.63 g/cm3，爆轟和JWL狀態方程參數均與此相對應，而經典文獻[2]的結果主要是來自于密度為1.50～1.55 g/cm3鑄裝藥的研究。

4.2 水深對二次壓力波超壓峰值的影響

深水爆炸二次壓力波超壓峰值Δp2符合爆炸相似律，意味著相似參量W1/3/R相同時，水深對Δp2的影響由函數f(H)所體現。由圖10可以看出，f(H)隨水深H的增大連續單調遞增，水深越淺、增長越快。由圖10可以直觀看出，水深由0 m到1 000 m，f(H)值從1.0增大到約1.1，增長了10%；而f(H)約從1.1增大到1.19，增長不到9%，需要水深由1 000 m增加到5 000 m。另外，由f(H)導數f′(H)=0.002 5H-0.51的函數圖像，也能夠清晰地看出二次壓力波超壓峰值隨水深的變化規律。

二次壓力波超壓峰值隨水深的變化，也是水下爆炸中氣泡能隨水深增加而不斷增大、沖擊波能和氣泡能分配比例隨水深而變化在一方面的體現。但二次壓力波超壓峰值隨水深“先快后慢”的變化趨勢，其背后的力學機制還有待進一步探討。

4.3 深水爆炸Δp2的工程模型

如前所述，水深H和相似參量W1/3/R對深水爆炸二次壓力波傳播的影響是相互獨立的；固定水深H條件下，二次壓力波超壓峰值Δp2符合爆炸相似律；固定相似參量W1/3/R條件下，二次壓力波超壓峰值Δp2隨水深增加具有相同的水深修正函數f(H)。因此，基于爆炸相似律結合水深修正構造Δp2工程模型的基本思路以及如(5)式的基本形式是科學合理的。

對于如(5)式的工程模型一般形式，炸藥類型不同，其爆炸相似律常數α、k取值不同。水深修正函數f(H)與炸藥類型無關，從定義角度需要滿足H=0 m時f(H)=1，理論上應該是統一的。因此，如(5)式的二次壓力波超壓峰值Δp2工程模型的一般形式，具有通用性和擴展性。需要指出的是，本文通過數據擬合得到的如(7)式的f(H)函數形式，其準確性和普適性尚需進一步的研究確認。

對于TNT球形裝藥，通過有試驗依據的數值仿真及進一步的數據分析，確定了爆炸相似律常數α、k的取值以及水深修正函數f(H)的表達式，從而獲得一種適用于TNT炸藥深水爆炸、基于爆炸相似律結合水深修正的計算二次壓力波超壓峰值的工程模型—(8)式。由于數值模型及其計算結果經過了實驗校驗，可以認為該模型具有工程實用價值。

5 結論

1)任意固定水深的二次壓力波超壓峰值Δp2均只與相似參量W1/3/R有關，即符合爆炸相似律，其數學形式為以常數α為指數的關于變量W1/3/R的冪函數。

2)深水爆炸二次壓力波超壓峰值隨水深的增加單調連續增大，增大比率隨水深的增加不斷減小。

3)建立了基于爆炸相似律結合水深修正的深水爆炸二次壓力波超壓峰值工程模型，其適用范圍為本文模擬深度0～8 000 m。該工程模型包括一般形式和針對TNT炸藥的顯式表示式，具有通用擴展性和工程實用性。