論無窮小量概念對萊布尼茨單子論的影響

楊興升

萊布尼茨的微積分數學思想與其單子論有何關系、是否存在關系等問題，引發了不少爭議。有學者將萊布尼茨微積分中的無窮小量概念視為其哲學中單子概念的對應物，甚至認為他的單子論影響了其微積分等數學思想，或者反過來，將其微積分數學思想視為單子論的基礎。例如，波耶(Carl B.Boyer)認為，微分這一無窮小量對應著單子思想(1)[美]波耶：《微積分概念發展史》，唐生譯，上海：復旦大學出版社，2011年，第206頁。，萊布尼茨將其連續律思想作為其后期微積分研究的基礎(2)同上，第212頁。。羅素則認為，數學，特別是是微積分，極大地影響了萊布尼茨的哲學思想(3)[英]羅素：《對萊布尼茨哲學的批評性解釋》，段德智、張傳有等譯，北京：商務印書館，2010年，第19頁。。也有學者認為，萊布尼茨的無窮小量概念不僅不是其單子概念的對應物，而且其數學思想與單子論無關。例如，蒙虎認為，萊布尼茨的數學工作與其哲學思想的關聯，不是體現為本體論意義上單子與微分的相似，而主要表現為認識論和方法論上的“普遍文字”“數理算法”(4)參見蒙虎：《關于萊布尼茨微積分的哲學背景》，《首都師范大學學報》2004年第1期。。還有學者將二進制同“單子”的創造、微積分和連續律對應起來，認為萊布尼茨的單子論有其數學基礎(5)參見朱新春：《“單子”哲學的數學基礎初探》，《長春理工大學學報》社會科學版2010年第2期。。

無窮小量是微積分的核心概念之一，并同連續等概念掛鉤，進而涉及不可分的點和連續性的關系問題，而后者恰恰是萊布尼茨單子論所致力解決的“連續體迷宮”。所以盡管學者們對無窮小量、微積分等數學思想概念與單子論的關系存在爭議，甚至語焉不詳，但提出了一個值得研究的問題：萊布尼茨無窮小量等微積分概念與其單子論究竟有何關聯？如何關聯？雖然這種關聯不意味著“無窮小量”同“單子”相對應，但該問題對于把握萊布尼茨的“連續性迷宮”和單子論具有重要意義。本文嘗試從無窮小量概念入手，分析其引發的連續性問題及其對萊布尼茨微積分工作和單子論的影響，以此定位這一概念甚至微積分對于萊布尼茨“連續體迷宮”和單子論的影響。

一、“無窮小量”及其哲學意義

早在古希臘時期，數學家和哲學家們就遭遇了數和直線的關系問題、離散和連續的關系問題、無限可分的問題，從而引出無窮小量概念。畢達哥拉斯學派曾把數實體化，認為線段不過是若干整數個單位的組合，所謂“萬物皆數”，但不可公度比問題的出現使得這些信念遭到了沉重打擊。危機讓古希臘數學家意識到：全體正整數和任兩個正整數之比組成的總體是離散的，而直線是連續的。對此，德謨克利特提出了幾何原子論式的不可分量，歐多克索斯提出了能連續變動的“變量”概念，亞里士多德在二者的基礎上區分了作為單位整數倍的離散的“數”和連續變動的“量”，從而把“量”的概念與連續、無限可分、運動等概念緊密聯系起來，但它們都未能解答芝諾悖論。不過，亞里士多德的“量”概念與歐多克索斯的“變量”概念一道，隱含著“量”與直線上的點一一對應的思想以及將運動與變量相聯系的思想。此外，亞里士多德還區分了潛無限和實無限兩個概念，其中的潛無限概念強調了無限增大或無限減少的趨勢性，從而蘊含了無窮小量概念。

中世紀后期，經院哲學家對無窮大、無窮小、連續、運動和變化等概念進行哲學思辨式的探討。其中，最具代表性的人物是紅衣主教尼古拉的庫薩(Nicholas Cusanus)。在他看來，無窮大代表著上帝和真理，而有限代表著人以及人的知識與能力,人有限的智慧只能無限地趨近真理，永遠不能達到真理，因此，無窮大成為所有知識的源泉和方法，但又是不可企及的目標。(6)[美]波耶：《微積分概念發展史》，第88頁。他曾反對原子式的無窮小量——不可分量，卻又認為連續的量可以在時間和空間當中被無限分割為一系列的靜止狀態，因而無法將兩者有機統一起來。于是，他提出“連續性的橋梁”的觀點，即多邊形與圓之間、橢圓和拋物線之間、有限與無限之間、無窮小的面積和直線之間，不存在明顯的差異。(7)同上，第88頁。這深刻影響了后來的開普勒、萊布尼茨等近代數學家和哲學家。至此，無窮的問題、不可分量與連續的關系問題再次受到數學家和哲學家的關注。

無窮小量概念從一開始就與不可分的點與連續的關系問題存在內在的關聯，因而不僅是一個數學問題，也是一個哲學問題。盡管古希臘和中世紀的數學家、哲學家最終未能解答這些問題，但他們的探討和相關思想概念的提出，為后來萊布尼茨等人的微積分數學思想、哲學思想提供了準備。

對萊布尼茨而言，他對無窮小量的理解和處理涉及其微積分的基礎穩固性問題，因此他多次對這一概念進行解釋，以說明它和零之間的關系。在1675年10月25日的數學手稿中，萊布尼茨以“瞬”(moment)表示一個可以在最終的計算當中略去的面積微元，這是他第一次使用無窮小量的數學形式。(8)G.W.Leibniz, The Early Mathematical Script of Leibniz, trans.by J.M.Child, Chicago: Open Court Publishing Company, 1920, p.65.1690年，他在給沃利斯(John Wallis)的信中提出：無窮小量可以這樣來考慮，當我們求它們的比例時不把它們視為零，但當它同極大的量一同出現時我們可以將之舍棄，例如，我們可以把x+dx中dx的舍棄，這種計算所產生的誤差在任何情況下都小于任意一個有限的量。當然，如果我們求的是x+dx和x的差，情況就不一樣了。(9)G.W.Leibniz, Mathematische Schriften, Band IV,ed.by C.I.Gerhardt, Hildesheim and New York: Georg Olms Verlag, 1971, p.63.

針對萊布尼茨時而把無窮小量當作零、時而不當作零的處理方式，紐紋提(Bernard Nieuwentijdt)提出了一系列質疑。對此，萊布尼茨回應道：無窮小量就是要多小有多小的量，其產生的誤差可以小于任意指定的量，不過，該概念所表示的過渡狀態或即將消失的狀態實際上并沒有完全相等或靜止，其中的剩余量、剩余速度都是無窮小，至于這種過渡狀態是否嚴密或具有形而上學的意義則是未解決的問題。(10)G.W.Leibniz, Mathematische Schriften, Band V,ed.by C.I.Gerhardt, Hildesheim and New York: Georg Olms Verlag, 1971, pp.320-328.

此后，萊布尼茨把無窮小量問題從數學當中剝離出來，將之視為形而上學問題。在1702年，他提出“數學家根本不需要討論形而上學，也不必操心去管這種點，這種不可分的、無窮小的、嚴格意義上的無限的東西是否實際存在……只要不取‘無窮小’而取‘要多小有多小’就夠”；也就是說，不應要求幾何學去解決形而上學的問題(11)[德]萊布尼茨：《新系統及其說明》，陳修齋譯，北京：商務印書館，2002年，第125-126頁。。之后，他在《神義論》當中將不可分的點和連續性的關系問題稱為“讓哲學家們費心”的著名“迷宮”，并認為該問題涉及到無限性的思考。(12)[德]萊布尼茨：《神正論》，段德智譯，北京：商務印書館，2018年，第61頁。

可見，在對待無窮小量的問題上，萊布尼茲在數學上有了定性描述的極限概念，因而他十分確信自己以數學方式處理無窮小量時的正確性。但同時，他也承認這種處理方式仍然缺乏嚴密性和理論根據。于是，他將無窮小量概念及其引發的連續性問題歸根為“形而上學”的問題，并同“連續體迷宮”關聯起來，繼而在其單子論中對這一問題進行探究。就此而言，數學史家克萊因(Morris Kline)的說法是有道理的，即萊布尼茨對無窮小量的數學處理不能滿足他的批評者，因此他訴諸于其哲學中的連續性定律。(13)[美]克萊因：《古今數學思想》第1冊，張理京、張錦炎等譯，上海：上海科學技術出版社，2014年，第320頁。但克萊因并未深究二者關聯的具體方式，而后者同萊布尼茨的實體觀念緊密相關。

二、“連續體迷宮”和“單子”的提出

萊布尼茨認為，連續性與不可分點的“連續體迷宮”問題“涉及到對于無限性的思考”，但人們對實體的本性缺乏正確的概念，因而導致了不可克服的困難。(14)[德]萊布尼茨：《神正論》，第61頁。因此，要解決該問題，必須考慮“無限性”，并提出正確的“實體本性”。

在萊布尼茨看來，以往哲學家們提出的實體概念要么是連續的，要么是原子式不可分的，二者相互對立，前者的代表人物是笛卡爾，后者的代表人物是伽桑狄。笛卡爾認為：實體是不依賴其他事物而能自己存在的事物，因而上帝是唯一絕對獨立的實體；不過，上帝還創造了物質和精神兩種實體，其中，物質實體的本質屬性是廣延性，即空間性；因此，物質實體是連續的、無限可分的，不存在原則上不可再分的“原子”，也不存在只有廣延性而無物質的“虛空”，世界是“連續”的。(15)[法]笛卡爾：《哲學原理》，關文運譯，北京：商務印書館，1958年，第20、35、44、42頁。伽桑狄則認為，世界萬物都是由不可再分的“原子”即“不可分的點”構成的，原子的基本屬性是堅實性，同時具有廣延性，原子和原子之間存在虛空，它們共同造就了一個不連續的宇宙。(16)參見王筱娜：《伽桑狄主動性物質初考》，《北京大學學報》哲學社會科學版2014年第3期。

萊布尼茨認為，笛卡爾的物質實體肯定了實體的連續性，卻否定了實體的不可分性，即肯定“連續”而否定“不可分的點”；而伽桑狄不可分的點即“原子”雖然否定了實體的連續性，但其“原子”仍具有廣延性，因而并非不可再分；他們兩人在實體的連續性和不可分性方面，也就是整體和部分、一般和個別的實在性方面，各執一端，這是錯誤的，應該予以協調，因為我們不能這樣說整體是真實的而部分是不真實的，或者部分是真實的而整體是不真實的。(17)Leibniz, The Monadology and Other Philosophical Writings, ed.by Robert Latta, Oxford: The Clarendon Press, 1898, p.22.換言之，實體作為世界的基本構成單元必然是不可分的，否則就不是單純的實體，而且還必須具有連續性。

為此，萊布尼茨闡發了自己的實體概念，即“形而上學的點”——單子。單子是構成事物的最初本原，也是實體性東西分析到最后的元素，還是沒有任何部分的單元和行動的根源。“我們可以把它們叫作形而上學的點，它們有某種有生命的東西以及一種知覺，而數學的點是它們用來表現宇宙的觀點。”(18)[德]萊布尼茨：《新系統及其說明》，第7頁。這里，萊布尼茨強調單子實體是一種“不可分的點”，即“沒有部分”；單子的屬性還包括具有動力、具有某種生命的東西、具有知覺等；此外，他還將單子的“知覺”屬性同“表現宇宙”的“數學的點”進行關聯。

三、單子的知覺屬性和連續性問題

由于單子沒有部分，是“不可分的點”，由此可引申出單子其他方面的一些規定性：第一，單子不像廣延的自然事物那樣因為組合、分解而生滅，只能由神來突然創造或突然毀滅；第二，由于沒有“可供事物出入的窗戶”，因此單子之間是相互獨立的；第三，由于單子本身不存在量的差別，因此它們必然通過某些性質上的差異而相互區分；第四，因為一切被造物都有變化，且沒有外因使之變化，所以單子有其變化的內在原則；第五，所有的單子都反映著同一個宇宙，遵守上帝的“前定和諧原則”，以上帝的全知狀態為終極發展目標，并且符合“不飛躍”的連續律。單子的這些屬性是相互關聯的，它們共同構成單子論的主體內容。

(一)單子的知覺屬性及其“數學的點”

萊布尼茨認為，單子的本性是“力”，這是單子的內在原則，也是單子變化的來源，它包含一種努力、作為和“隱德萊希”，使得單子及其構成的自然事物能夠活動。(19)[德]萊布尼茨：《新系統及其說明》，第25頁。因此，這種“力”既是單子的構成要素，也是事物行動的原則。單子的“力”是同其“知覺”和“欲望”聯系在一起的。事實上，這種“力”就表現為單子的欲望對其知覺狀態的推動。每個單子都通過其特定的知覺可以像鏡子一樣表象外在事物和反映整個宇宙，它們在各自欲望的推動下不斷過渡到新的知覺狀態，也因此相互區別。(20)[德]萊布尼茨：《萊布尼茨后期形而上學文集》，段德智、陳修齋譯，北京：商務印書館，2019年，第227頁。

由于單子之間不存在量的差別，因此它們必須通過某些性質上的差別來相互區分和推動事物的變化，且這種性質差異主要是單子在知覺屬性“清晰程度”上的差別。也就是說，單子實體本身并沒有量的規定性，但其知覺的“清晰程度”可以表征為量的不同。正是單子之間知覺“清晰程度”上的“量”的差別，造就了單子實體之間“質”的不同。因此，萊布尼茨指出，“形而上學的點，它們有某種有生命的東西以及一種知覺，而數學的點是它們用來表現宇宙的觀點”(21)[德]萊布尼茨：《新系統及其說明》，第7頁。。

接著，萊布尼茨區分了“物理學的點”“數學的點”和“形而上學的點”(22)同上，第7頁。。其中，“物理學的點”如原子，雖然被強調不可再分，但仍然具有廣延性，并非不可再分，因而不是實在的；“數學上的點”精確，但只是樣式，沒有實在性；“形而上學的點”則既“實在”又“精確”，其實在性體現為不可再分，其精確性表現為通過其“知覺”上的“數學的點”(知覺清晰程度的“量”)來表現宇宙，如果單子之間喪失了這種“精確”，那么它們將無法區分。通過“形而上學的點”，萊布尼茨把不可分性、知覺上的精確性(數學的點)賦予單子實體。那么，這種“數學的點”是連續的嗎？

(二)單子的知覺屬性和連續律

為了應對“連續體迷宮”，單子實體在不可分的同時，也得具有某種連續性。由于這種連續性不能由單子本身體現，那就只能由它的屬性來表達，且主要是知覺屬性。為此，萊布尼茨論述了單子在其知覺屬性上所表現的連續律。

萊布尼茨提出，上帝在能力、知識、意志等方面是絕對完滿的，這種完滿性體現為“全部數量的積極實在性”和絕對無限性，但是受造的單子在這些方面“只是這些屬性的仿品，這些仿品的模仿程度依照它們所具有的完滿性程度而定”，而且這些無限多的單子“都以混亂的方式追求無限，追求全體，但它們都按照知覺的清晰程度而受到限制，并相互區別”。(23)[德]萊布尼茨：《萊布尼茨后期形而上學文集》，第283、290-291、297、300頁。也就是說，單子的等級越高，就越趨近于上帝，而上帝的知覺清晰程度是無限和無窮大。由于單子的數量是無限多，且其知覺清晰程度上的“數學的點”各不相同，因此若按照知覺清晰程度進行排列，這些單子可由最混亂意識的“零”趨近全知意識的“無窮大”，且兩個相鄰單子之間的知覺清晰程度的差異是無窮小。此外，每個單子在其知覺清晰程度的變化上也符合連續律的，因為“每個受造物，從而每個受造的單子，都是有變化的，而且，這種變化在每件事物中都是持續不斷的”(24)[德]萊布尼茨：《萊布尼茨后期形而上學文集》，第260頁。。

因此，萊布尼茨通過單子之間知覺清晰程度的不同、單子知覺清晰程度的變化論述了單子知覺上的“數學的點”的連續性，即它們都符合連續律。這樣，他便在其單子實體概念中結合了不可分性和連續性，即單子是一個沒有部分的“形而上的點”，且其知覺屬性在清晰程度上具有量的連續性。

(三)單子的知覺屬性與前定和諧原則

單子之間相互獨立，但是它們各自變化之時又保持著連續律和秩序。這何以可能呢？也就是說，“不可分的點”和“連續性”存在分裂的危險。為此，萊布尼茨請出了上帝：上帝在創造單子之時就預見了所有單子的變化，并為每一個單子進行了安排。這樣，每個單子只需按照其與生俱來的法則，就能同其他單子和諧一致，就像“上帝除了一般的維持之外還時時插手其間似的”(25)[德]萊布尼茨：《新系統及其說明》，第51頁。。換言之，為了保證不可分的單子能夠維持其在知覺屬性等方面的連續性，上帝必須從在創造單子之時就給它們安排了先天的內在的法則，所謂前定和諧原則。

因此，盡管單子之間沒有直接的相互作用，但它們各自以不同的知覺清晰程度反映著同一個宇宙，進而產生了主動性或受動性不同的相互影響。其中，知覺越清楚的單子，其活動的主動性就越強；知覺越混亂的單子，其活動的被動性也越強。(26)[德]萊布尼茨：《萊布尼茨后期形而上學文集》，第291-292頁。正是通過這些主動或被動的相互作用，所有單子最終實現了它們本來就有的前定和諧原則。

此外，每個形體(復合實體)都由眾多單子構成。其中，最為卓越的單子，即該形體、事物的中心與統一性原則，將通過自身的屬性表象外在的事物。(27)同上，第228-229頁。這樣，世界萬物都在不同知覺清晰程度的單子的相互作用之中實現和諧。換言之，正是前定和諧原則的存在，使得“連續性在時間、廣延、各種性質以及運動中，實際上在所有的自然變化中，也都能找到，因為這些從來都不可能通過飛躍而發生”(28)[德]萊布尼茨：《萊布尼茨邏輯學與語言哲學文集》，段德智編譯，北京：商務印書館，2020年，第525頁。；也正是連續律的普遍存在，使得前定和諧原則最終得以實現，進而造就整個宇宙的活力與秩序。

盡管萊布尼茨希望通過上帝的前定和諧原則來保證單子的不可分性及其知覺屬性等方面的連續性，但他最終還是要以單子知覺屬性的連續律來體現和實現這一原則，就此而言，他的前定和諧原則也終究未能脫離其無窮小量數學概念及其連續性問題的影響。