運用“猜想—探索”教學方式促進整體數學教學

安志軍 | 山東省青島市教育科學研究院

劉乃志 | 山東省膠州市第十七中學

我國一些產業技術瓶頸主要源于原始創新能力薄弱，而基礎研究是原始創新的基石，數學又是一切科學的基礎。為了引領今天的學生成為具有創新品質的未來建設者，我們亟須增強數學教學質量。

未來時代的教育必須是整體教育。具有結構性和系統性的數學知識原本是一個知識整體，但教材、教學和測試往往把這個整體劃分成一個個知識點，具有豐富聯結的數學知識被人為處理成以點為單位的符號系統，割裂了整體之間的聯系，學生很難再通過組合已有概念去發現那些不曾知曉的數學關系。長此以往，將不利于在數學學習中培養學生的創新能力。打破教學壁壘，運用“猜想—探索”這一開放的教學方式，可以吸引學生參與到數學知識建構中，讓他們像科學家那樣去經歷完整的探究過程，有效提升整體數學教學質量，促進學生核心素養的發展。

“猜想—探索”與“整體數學教學”

“猜想—探索”教學方式是指教師引導學生從數學和生活中選取研究主題，交替運用合情推理、演繹推理的方法，提出觀點并加以判斷，通過多維互動的教學過程，使學生主動建構知識，獲得情感、態度的發展，并促進學生創新能力提升的一種教與學的方式。學生在“猜想—探索”過程中主動勾連自己的已知與未知，豐富、完善自己的整體數學認知結構。

縱觀數學發展史，每一次數學的發展都伴隨著數學猜想的出現，以及著名數學猜想被論證的過程。猜想體現數學的創造性，探索依賴數學的嚴謹性，猜想與探索是完整研究過程中不可或缺的兩部分。但國內外主要教育學術期刊很少把“猜想—探索”作為一個完整的教學過程加以研究，而且猜想的研究也很少涉及初中數學。一項針對國內師生的調查結果顯示，近1/3的學生把數學猜想窄化為猜想習題結論，同時，數學猜想能力難以命題也導致教師重視程度不夠；探索類教學研究較多，但存在泛化的危機。“學生學習應當是一個生動活潑的、主動的和富有個性的過程。”“學生應當有足夠的時間和空間經歷觀察、實驗、猜測、計算、推理、驗證等。”其中，觀察、實驗可以形成猜想，計算、推理是探究過程，在親身實踐后去驗證觀點。2022版新課標關注大觀念、大任務、真實性、實踐性四大核心概念，針對數學教學而言，大觀念、大任務指向數學的整體性。“猜想—探索”教學方式遵從課程標準的要求，促進學生整體性數學的建構。

1991年“全球教育改革聯盟（GATE）”發表的《整體教育構想宣言》指出，整體教育是被作為根治“病態教育”提出的。整體教育突出“人文”“科學”與“創造”的和諧統一，以此衍生的“整體數學教學”是指在數學教學中以整體觀、系統論為指導，以單元教學為統領，做好單元學習的整體謀劃和統領下的后續學習，建立每個學習單元間、數學學習和生活間的聯系，讓“部分”始終在“整體”中進行，建立起學生的認知結構系統，形成數學學習的一般觀點和基本策略，發展學生的核心素養。我們希望通過“猜想—探索”的教學方式促進整體數學教學的推進，改變數學教學中的碎片化現象。

“猜想—探索”教學依賴于學生整體數學的認知結構

“猜想—探索”教學過程順利與否取決于學生是否具有整體數學知識、掌握數學研究方法和擁有知難而上的勇氣。認知心理學研究表明，人的信息表征方式隨著知識量的增加和鞏固而緩慢增加。學生對數學缺乏整體的、全貌的感知就難以進行知識的遷移和建構，不利于形成有意義的猜想，探索也缺乏基礎。

學生根據問題情境重組已有的與之相關的基礎知識，準確檢索、選擇與提取相關知識，使問題從初始狀態轉化為目的狀態，即形成猜想。整體性更有利于產生新穎和高層次洞察的思維方式，在數學教學中，我們需要鼓勵學生從整體角度進行猜想。

探索階段學生處于已知和未知之間，是從確定性向“奇特性”發展的過程。若學生的數學知識依據內在本質聯系形成了整體網絡，就更便于其發現新舊知識的接洽點及新知的生長點，然后根據個人的理解和建構方式整合新知，形成更豐富的整體數學認知結構。

已有的數學認知為學生提供了智慧、方法和策略，如果學生的相應認知結構缺乏整體性，“猜想—探索”活動就失去了穩固的腳手架，缺乏順利開展下去的保障。整體觀下的數學教學更容易讓學生形成整體性的數學認知結構，為數學知識的“再創造”提供支持，利于學生開展“猜想—探索”。

“猜想—探索”能有效促進整體數學教學

我們時常糾結于教學中的一個“通病”：教師把教材中一個個的概念、定理、法則和公式講得清清楚楚，但對整節、整章、整本書的結構卻鮮少關注，學生學完后極少能悟到什么。散點式、孤立式的教學方式，不利于學生建構自己的整體數學認知。數學教育的最高要求應該是使學生具有邏輯推理和掌握復雜抽象概念的能力，我們的目的是幫助學生形成智慧而不僅僅是儲存記憶，這就要求我們重建數學教學價值觀并付諸實踐。

《義務教育數學課程標準（2011 年版）》提出，學生自己發現和提出問題是創新的基礎，要使學生增強發現和提出問題的能力、分析和解決問題的能力。發現和提出問題等同于猜想，分析和解決問題即探索猜想解決之路。猜想、探索新知的過程中，學生在思維層面上會更加積極主動，更能夠培養高階思維。這一過程中，學生把收獲納入自己的認知結構，形成一個新的整體，利于知識的遷移和發展，也就具有創新性。世界各國對此都高度重視，如美國指導21世紀數學教育的文件中提出，對所有年齡的學生應滲透的四個標準之一，就是學生應有機會施展推理能力，能對各種信息做出猜想，并驗證自己的結論。

數學知識結構本身連接緊密，創生和發展的過程環環相扣。這種內在聯系可以幫助學生借助經驗、憑借直覺、通過類比等方式進行猜想，有效調動學生的主動精神和探索欲望。探究自己的猜想讓學生雀躍，學生不再是容器，而是一個個生動的個體，他們按照自己對情境的理解調用數學知識，備選的是數學知識整體而不是哪一個或哪一些定向的知識點。探索的過程中，學生得以發現知識的來龍去脈，感受數學知識之間豐富的內在聯系，體會數學知識的整體性。

“猜想—探索”教學可提高教師整體數學教學的意識和能力

教師、學生、教學內容是課堂教學不可或缺的三個基本元素，其中，教師是變革的前提。美國二十世紀五六十年代的“新數學運動”及后來的“建構主義教學”沒有取得預期效果，相關人士認為主因皆是基層教師無法配合學者的教學理念。教師的數學知識與教師在課堂教學中實施任務的認知要求之間存在著顯著的相關性，這不僅體現在對其教學的影響上，同時對教師課程觀念的形成也存在一定的影響。

所謂課堂是教師的主場。通常，數學課由教師創設情景，按照邏輯關系講授知識，引導學生認真聽講，并參與有限的教學生成。教師對教學過程可控，客觀上知識儲備的壓力就小，這在一定程度上影響了教師學習的積極性。張奠宙教授曾指出，立足于知識發生發展規律和學生認知規律的內容和策略的創新，更能展示教師深厚的數學功底和教學智慧。

運用“猜想—探索”模式開展教學時，教師要依據學生特點設計易于引發學生猜想、探索的情境。因此，選擇哪些情境，怎樣呈現，以及如何處理學生的反饋，如何鼓勵其探索，考量的都是教師的功底。學生猜想、探索的路徑，教師很難掌控和駕馭，教學中既要適時地為學生提供幫助，又要搜集學生的生成以形成新的教學資源，也就是教師通常所說的“學生的東西老師是否能接得住”。臺上一分鐘，臺下十年功，這是數學功底和教學智慧的集中體現。教師使用“猜想—探索”這一開放的教學方式，既要在課前準備講解的知識，又必須儲備大量數學的、跨學科的知識，以免被學生“掛在黑板上”，這無形中增強了教師自我提升的動力。

調查研究發現，教師特征（數學知識、性別、專業技能等）與教師信念、教師對學生的數學處理意識之間存在顯著的線性關系。教師知識能力的提升，可以促進課堂駕馭能力的提升，也會讓教師的教學進一步開放，更有利于學生建構具有整體性的數學認知結構，推動師生互相促進，教學進入良性循環。

中國的發展需要創新，需要具有創新精神、創新意識和創新能力的人才，而培養這樣的人才需要創新的教育。我們希望運用“猜想—探索”的教學方式促進師生開展整體數學教學，以培養出面向未來的具有創新精神和創新能力的學生。