圓與雙曲線

張作付

【摘要】圓與雙曲線都是高考的重點內容，而且兩者常常結合在一起，考查學生的數學知識綜合應用的能力，要求學生有極強的閱讀理解能力、邏輯推理能力和數學運算能力.

【關鍵詞】圓；雙曲線；綜合考查

解析幾何問題一直都是高考的重點和難點，圓與雙曲線都是當前高考的必考內容，將二者綜合考查增加了題目的難度，因此常常作為數學壓軸題出現在各地高考模擬試題和高考試題中，本文舉例說明圓與雙曲線綜合考題的解題技巧.

1利用圓的性質及雙曲線的定義求動點軌跡

例1已知兩圓C1：（x+4）2+y2=2，C2：（x-4）2+y2=2，動圓M與兩圓C1，C2都相切，則動圓圓心M的軌跡方程為.

解動圓M與兩圓C1，C2都相切，有四種情況：

①動圓M與兩圓都相外切;

②動圓M與兩圓都相內切;

③動圓M與圓C1外切、與圓C2內切;

④動圓M與圓C1內切、與圓C2外切.

在①②情況下，顯然，動圓圓心M的軌跡方程為x=0;

在③的情況下，設動圓M的半徑為r，

則|MC1|=r+2，|MC2|=r-2，

故得|MC1|-|MC2|=22;

在④的情況下，同理得

|MC2|-|MC1|=22.

由③④得|MC1|-|MC2|=±22.

根據雙曲線定義，可知點M的軌跡是以C1（-4，0），C2（4，0）為焦點的雙曲線，

且a=2，c=4，b=c2-a2=14，

其方程為x22-y214=1.

由①②③④可知

M的軌跡方程為x22-y214=1或x=0.

注要注意在“分類思想”指導下利用雙曲線的定義求動點軌跡方程.

2利用圓的性質求雙曲線的方程

例2已知雙曲線的中心在坐標原點O，焦點在x軸上，過雙曲線的右焦點且斜率為35的直線交雙曲線于P、Q兩點.若以PQ為直徑的圓過原點，且|PQ|=4，求雙曲線方程.

分析由于雙曲線中心在原點，焦點在x軸上，求雙曲線方程，關鍵是求a，b，需要兩個獨立的等量關系.由|PQ|=4可以得到一個，另一個等量關系該由“以PQ為直徑的圓過原點”挖掘得到.若寫出以PQ為直徑的圓方程，往往較繁.若能由圓的幾何性質得∠POQ=90°，即OP⊥OQ得到等量關系，解題過程較為簡潔.

解設雙曲線方程為

C：x2a2-y2b2=1（a>0，b>0），

c=a2+b2，

則雙曲線的右焦點為（c，0），

直線PQ的方程為y=35（x-c）.

設P（x1，y1），Q（x2，y2），

將y=35（x-c）代入雙曲線方程x2a2-y2b2=1，

得b2x2-a2·35（x-c）2=a2b2，

整理得

（5b2-3a2）x2+6a2cx-（3a2c2+5a2b2）=0，

由題意5b2-3a2≠0，Δ>0，x1+x2=-6a2c5b2-3a2，x1x2=-3a2c2+5a2b25b2-3a2.①②③④

由條件“以PQ為直徑的圓過原點”知

OP⊥OQ，

所以kOPkOQ=-1，

即x1x2+y1y2=0，

又y1y2=35（x1-c）（x2-c）

=35［x1x2-c（x1+x2）+c2］，

由x1x2+y1y2=0，得

3c（x1+x2）-8x1x2-3c2=0，

將③④式代入上式中，并注意到c2=a2+b2，得

（a2+3b2）（3a2-b2）=0，

因為a2+3b2≠0，

所以b2=3a2，所以c2=4a2.

故x1+x2=-a，x1x2=-94a2.

由|PQ|=4得

|PQ|=1+352|x1-x2|=4，

即1+35［（x1+x2）2-4x1x2］=16，

所以85（-a）2-4-94a2=16，

即a2=1，

從而b2=3，

故所求的雙曲線方程為x2-y23=1.

注本例是直線與雙曲線位置關系的一個綜合題.它靈活考察了雙曲線的性質，弦長公式，弦對定角（∠POQ=90°）等基礎知識.一般來說，由于弦長公式較為復雜，在綜合問題中常常先由其他條件找出等量關系，逐步消元，最后再使用弦長公式.

3以圓為背景證明雙曲線的有關命題

例3設一圓和一等軸雙曲線交于四點A1，A2，A3，A4，其中A1和A2是圓的直徑的一對端點.

（1）證明：A3和A4是雙曲線直徑的端點.

（2）證明：雙曲線在A3和A4處的切線都垂直于A1A2.

證明（1）設雙曲線和圓的方程分別為

xy=a，

和x2+y2+2Dx+2Ey+F=0，

交點坐標為（xi，yi），i=1，2，3，4.

這兩個方程消去y，得

x4+2Dx3+Fx2+2aEx+a2=0，①

則xi（i=1，2，3，4）是方程①的根.

由韋達定理知x1+x2+x3+x4=-2D.

因為A1和A2是圓的直徑的一對端點，且圓心的橫坐標是-D，

所以x1+x2=-2D，x3+x4=0.

故y3+y4=a1x3+1x4=a·x3+x4x3x4=0.

于是A3A4的中點是（0，0）.

從而A3A4是雙曲線直徑的端點.

（2）A3處雙曲線的切線方程為

x3y+ax3x=2a，

其斜率k=-ax23.

又kA1A2=ax2-ax1x2-x1=-ax1x2，

k·kA1A2=a2x1x2x23，

由x3=-x4和韋達定理，得

x1x2x3x4=a2，

k·kA1A2=-1，

故過x3的雙曲線切線垂直于A1A2.

同理可證，過x4的雙曲線切線亦垂直于A1A2.

注韋達定理對研究直線與曲線、曲線與曲線之間的位置關系有著重要的作用.