垂徑定理的應用

陳偉斌 張啟兆

【摘要】由垂徑定理知，過圓心垂直于弦的垂線段、過弦一端點的半徑和弦的一半這三條線段構成一個直角三角形.半徑、弦長、弦心距的長、弓形高，已知其中的任何兩個量，可求得其余兩個量，即“知二可求二”.

【關鍵詞】垂徑定理；“四量”關系；“知二可求二”

如圖1，AE是⊙O的直徑，BC是⊙O的一條弦，AE⊥BC于點D.根據垂徑定理，可得BD=DC，AB=AC，于是AB=AC，即△ABC為等腰三角形.

設⊙O的半徑為r，弦心距OD的長為d，弦BC（即底邊）的長為a，BAC的弓形高AD為h，則可得等量關系式

h-d=r，d2+a22=r2.

在上述關系式中，每組式子都涉及a，h，d，r四個量.

不難看出，已知其中的任何兩個量，可求得其余兩個量，即“知二可求二”.

1連接圓心與弧的中點

當題目中出現弧的中點時，可嘗試連接圓心與弧的中點，根據垂徑定理的逆定理進行解題.

例1筒車是我國古代發明的一種水利灌溉工具，明朝科學家徐光啟在《農政全書》中用圖畫描繪了筒車的工作原理，如圖2．筒車盛水桶的運行軌道是以軸心O為圓心的圓，如圖3．已知圓心O在水面上方，且⊙O被水面截得的弦AB長為6米，⊙O半徑長為4米．若點C為運行軌道的最低點，則點C到弦AB所在直線的距離是（）

（A）1米.（B）（4-7）米.

（C）2米.（D）（4+7）米.

分析連接OC交AB于D，連接OA，根據垂徑定理得到AD＝12AB，根據勾股定理求出OD，結合圖形計算，得到答案．

解連接OC交AB于D，連接OA，如圖3.

因為點C為運行軌道的最低點，

所以OC⊥AB，

所以AD＝12AB＝3（米），

在Rt△OAD中，

OD=OA2-AD2=7（米），

所以點C到弦AB所在直線的距離

CD＝OC-OD＝（4-7）（米），

故選（B）．

注在這里己知發現弧的中點，運用垂徑定理的逆定理“平分弦所對的一條弧的直徑垂直平分弦”.發現點C是ACB的中點是解題的關鍵.

2連接圓心與弦（非直徑）的中點

例2

小明很喜歡專研問題，一次數學楊老師拿來一個殘缺的圓形瓦片（如圖4）讓小明求瓦片所在圓的半徑，小明連接瓦片弧線兩端AB，量得弧AB的中心C到AB的距離CD＝16cm，AB＝64cm，很快求得圓形瓦片所在圓的半徑為cm．

分析先根據垂徑定理的推論得到CD過圓心，AD＝BD＝3.2cm，設圓心為O，連接OA，如圖4，設⊙O的半徑為Rcm，則OD＝（R-1.6）cm，利用勾股定理得到（R-1.6）2+3.22＝R2，然后解方程即可．

解設圓心為O，

因為C點AB的中點，CD⊥AB，

所以CD過圓心O，

AD＝BD＝12AB＝12×6.4＝3.2（cm）.

連接OA，如圖4，設⊙O的半徑為Rcm，

則OD＝（R-1.6）cm，

在Rt△OAD中，（R-1.6）2+3.22=R2，

解得R=4（cm），

所以圓形瓦片所在圓的半徑為4cm．

注本例用到了垂徑定理的逆定理：弦（不是直徑）的垂直平分線經過圓心，并且平分弦所對的兩條弧，和方程思想.

3作弦的弦心距

遇到圓中弦的問題，作該弦的弦心距為常用的輔助線，該弦心距所在的直線就是圓的一條對稱軸.

例3

如圖5，已知AB是半圓O的直徑，弦CD∥AB，CD＝8，AB＝10，則CD與AB之間的距離是．

分析過點O作OH⊥CD于H，連接OC，如圖5，根據垂徑定理得到CH＝DH＝4，再利用勾股定理計算出OH＝3，從而得到CD與AB之間的距離．

解過點O作OH⊥CD于H，連接OC，如圖5，則CH＝DH＝12CD＝4，

在Rt△OCH中，OH＝52-42＝3，

所以CD與AB之間的距離是3．

注 由垂徑定理知，過圓心垂直于弦的垂線段、過弦一端點的半徑和弦的一半這三條線段構成一個直角三角形.求圓心到弦的垂線段長、弦長和半徑，都要抓住這個直角三角形.