立足通法快準求角
2022-11-17 18:56:33祁君華
數理天地(高中版) 2022年21期
祁君華
【摘要】“解三角形”的解答題是“新高考”中的必考題型，第一問往往是求三角形的某一個內角，針對一次周練中學生出現的一些問題，本文歸納總結出幾種方法.
【關鍵詞】求角；通法；方法歸納
題目△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且2b=3c，tanA=2tanC.
（1）求A；
（2）若D為BC的中點，AD=19，求△ABC內切圓的半徑.
解（1）解法1因為2b=3c，
由正弦定理得2sinB=3sinC.
由tanA=2tanC，得sinAcosC=2sinCcosA，
所以sinAcosC+cosAsinC=3sinCcosA，
即sin（A+C）=3sinCcosA，
所以sinB=3sinCcosA，
于是32sinC=3sinCcosA.
因為sinC≠0，
所以cosA=12.
又因為0<A<π，
所以A=π3.
解法2由tanA=2tanC，得
sinAcosC=2sinCcosA，
又由正、余弦定理得
a·a2+b2-c22ab=2c·b2+c2-a22bc，
化簡整理得3a2=b2+3c2，
將b=32c代入得a2=74c2，
即a=72c，
所以cosA=b2+c2-a22bc=32c2+c2-74c22·32c·c
=12.
又因為0<A<π，
所以A=π3.
解法3易得A，C均為銳角.
如圖，過點B作BH⊥AC，垂足為H，
由tanA=2tanC，得
BHAH=2BHCH，
所以CH=2AH，
于是AH=13AC=b3，
cosA=AHAB=b3c=13×32=12.
又因為0<A<π，
所以A=π3.
（2）因為D為BC的中點，
所以AD=12（AB+AC），
兩邊平方，整理得b2+c2+bc=76，
又2b=3c，
解得b=6，c=4.
由余弦定理得a2=b2+c2-2bccosA=28，
所以a=27.
設△ABC內切圓的半徑為r，
由12（a+b+c）r=12bcsinA，
解得r=53-213.
