特征方程法求數列通項

黎真

【摘要】求數列的通項公式是高考，競賽及各類考試的重要內容，求解數列通項的關鍵是通過變形，將已知數列轉化為周期數列，等差或等比數列等可求解通項公式的數列.本文利用特征方程法研究兩類常見的遞推數列通項的求法.

【關鍵詞】遞推數列；特征方程；數列通項

類型1形如an+2=aan+1+ban（a，b為常數）的遞推數列

結論1對于形如an+2=aan+1+ban的遞推數列，它的特征方程是x2=ax+b，即x2-ax-b=0，記它的兩根分別為x1，x2.

（1）若x1≠x2，即Δ=a2+4b>0.

令bn=an+1-x1an，則

{bn}是首項為a2-x1a1，公比為x2的等比數列，

an=Axn1+Bxn2（A，B是常數）；

（2）若x1=x2=x，即Δ=a2+4b=0.

令bn=an+1-xan，則

{bn}是首項為a2-xa1，公比為x的等比數列，

an=（An+B）xn（A，B是常數）；

（3）若特征方程x2=ax+b無實數解，即Δ=a2+4b<0，此時數列{an}是周期數列.

證明（1）設an+2-x1an+1=x2（an+1-x1an），x1，x2是待定系數，①

得an+2=（x1+x2）an+1-x1x2an，

與an+2=aan+1+ban對比，得

x1+x2=a，x1x2=-b，

所以x1，x2是方程x2-ax-b=0的兩根，

即x1，x2是數列{an}的特征方程x2=ax+b的兩根.

令bn=an+1-x1an，

由①，得bn+1=x2bn，

所以{bn}是首項為a2-x1a1，公比為x2的等比數列，

故bn=（a2-x1a1）xn-12，

即bn=an+1-x1an=（a2-x1a1）xn-12.

記k=a2-x1a1，則有

an+1-x1an=kxn-12.②

由②，得an-x1an-1=kxn-22，

x1an-1-x21an-2=x1（an-1-x1an-2）=kx1xn-32，

x21an-2-x31an-3=x21（an-2-x1an-3）=kx21xn-42，

x31an-3-x41an-4=x31（an-3-x1an-4）=kx31xn-52，

……

xn-31a3-xn-21a2=xn-31（a3-x1a2）=kxn-31x12，

xn-21a2-xn-11a1=xn-21（a2-x1a1）=kxn-21x02，

將以上n-1個式子相加，得

an=a1xn-11+∑n-2i=0kxi1xn-2-i2.

又∑n-2i=0kxi1xn-2-i2=k∑n-2i=0xi1xn-2-i2

=k·xn-221-x1x2n-11-x1x2

=kx2-x1（xn-12-xn-11），

所以an=a1xn-11+kx2-x1（xn-12-xn-11）

=a1-kx2-x1xn-11+kx2-x1·xn-12

=a1-a2-x1a1x2-x1xn-11+a2-x1a1x2-x1·xn-12

=a1x2-a2x2-x1·xn-11-a1x1-a2x2-x1·xn-12

=a1x2-a2（x2-x1）x1·xn1+-a1x1-a2（x2-x1）x2xn2，

故an=Axn1+Bxn2（A，B是常數）.

（2）設an+2-x1an+1=x2（an+1-x1a1），x1，x2是待定系數，

由（1），知x1，x2是數列{an}的特征方程x2=ax+b的兩根，

又x1=x2=x，

所以x1+x2=2x=a，x1x2=x2=-b.

令bn=an+1-xan，則

bn+1=an+2-xan+1

=（aan+1+ban）-xan+1

=（a-x）an+1+ban

=（2x-x）an+1-x2an

=xan+1-x2an

=x（an+1-xan），

所以bn+1=xbn，

即{bn}是首項為a2-xa1，公比為x的等比數列，

故bn=（a2-xa1）xn-1，

即an+1-xan=（a2-xa1）xn-1.

同（1）的方法，得

an-xan-1=（a2-xa1）xn-2，

xan-1-x2an-2=（a2-xa1）xn-2，

……

xn-3a3-xn-2a2=（a2-xa1）xn-2，

xn-2a2-xn-1a1=（a2-xa1）xn-2，

將以上n-1個式子相加，得

an=a1xn-1+（n-1）（a2-xa1）xn-2

=［xa1+（n-1）（a2-xa1）］xn-2

=（xa1+a2n-a2-xa1n+xa1）xn-2

=［（a2-xa1）n+（2xa1-a2）］xn-2

=a2-xa1x2·n+2xa1-a2x2xn，

故an=（An+B）xn（A，B是常數）.

（3）略.

例1已知數列{an}滿足a1=1，a2=53，an+2=53an+1-23an（n∈N+），求數列{an}的通項公式.

解數列{an}的特征方程為

x2=53x-23，

解得x1=23，x2=1.

由結論1（1），知

an=A23n+B·1n=A23n+B，

由初始值a1=1，a2=53，可解得

A=-3，B=3，

所以an=31-23n.

例2已知數列{an}滿足a1=7，a2=29，an+2=7an+1-10an（n∈N+），求數列{an}的通項公式.

解法1特征方程法

數列{an}的特征方程為

x2=7x-10，

解得x1=5，x2=2.

由結論1（1），知an=A·5n+B·2n，

由初始值a1=7，a2=29，可解得

A=1，B=1，

所以an=5n+2n.

解法2特征方程法

由結論1（1），知令bn=an+1-5an，

則{bn}是首項為a2-5a1=-6，公比為2的等比數列，

即bn=-6×2n-1=-3×2n.

由bn=an+1-5an=-3×2n，

得an=5n+2n.

（過程略，仿結論1的證明過程）

解法3待定系數法

設an+2+xan+1=y（an+1+xan），（*）

即an+2=（y-x）an+1+xyan，

與an+2=7an+1-10an對比，得

y-x=7，xy=-10，

解得x=-2，y=5，或x=-5，y=2.

當x=-2，y=5時，（*）式即為

an+2-2an+1=5（an+1-2an）.

設bn=an+1-2an，則有

bn+1=5bn，

所以數列{bn}是首項為a2-2a1=15，公比為5的等比數列，

故bn=an+1-2an=15×5n-1=3×5n.①

當x=-5，y=2時，（*）式即為

an+2-5an+1=2（an+1-5an）.

設cn=an+1-5an，則有

cn+1=2cn，

所以數列{cn}是首項為a2-5a1=-6，公比為2的等比數列，

故cn=an+1-5an=-6×2n-1=-3×2n.②

由①②，得an=5n+2n（n∈N+），

所以數列{an}的通項公式是an=5n+2n.

例3已知數列{an}滿足a1=1，a2=2，an+2=6an+1-9an（n∈N+），求數列{an}的通項公式.

解法1數列{an}的特征方程為

x2=6x-9，

解得x1=x2=3.

由結論1（2），知

an=（An+B）xn=（An+B）·3n，

由初始值a1=1，a2=2，可解得

A=-19，B=49，

所以an=-19n+49·3n=（4-n）3n-2.

解法2觀察an+2=6an+1-9an，

得an+2-3an+1=3（an+1-3an），下略.

例4已知數列{an}滿足a1=1，a2=2，an+2=an+1-an（n∈N+），求a2022.

解數列{an}的特征方程為x2=x-1，此方程無實根.

由結論1（3），知數列{an}是周期數列.

由a1=1，a2=2，an+2=an+1-an分別計算可得

a1=1，a2=2，a3=1，a4=-1，a5=-2，

a6=-1，a7=1，a8=2，…

所以{an}是周期為6的周期數列，

又2022÷6=337，

所以a2022=a6=-1.

類型2形如an+1=aan+bcan+d（a，b，c，d為常數）的遞推數列

結論2對于形如an+1=aan+bcan+d的遞推數列，它的特征方程是x=ax+bcx+d，即cx2+（d-a）x-b=0，記它的兩根分別為x1，x2.

（1）若x1≠x2，即Δ=（d-a）2+4bc>0.

令bn=an-x1an-x2，則

{bn}是首項為a1-x1a1-x2，公比為a-cx1a-cx2的等比數列，

an=x2+x2-x1a1-x1a1-x2·a-cx1a-cx2n-1-1.

（2）若x1=x2=x，即Δ=（d-a）2+4bc=0.

令bn=1an-x，則

{bn}是首項為1a1-x，公差為ca-cx的等差數列，

an=11a1-x+（n-1）·ca-cx+x.

（3）若特征方程x=ax+bcx+d無實數解，即Δ=（d-a）2+4bc<0，此時數列{an}是周期數列.

證明（1）由數列{an}的特征方程

x=ax+bcx+d，

即cx2+（d-a）x-b=0的兩根為x1，x2，

得cx21-ax1=b-dx1，cx22-ax2=b-dx2，

于是an+1-x1an+1-x2=aan+bcan+d-x1aan+bcan+d-x2

=aan+b-x1（can+d）aan+b-x2（can+d）

=（a-cx1）an+cx21-ax1（a-cx2）an+cx22-ax2

=（a-cx1）an-（a-cx1）x1（a-cx2）an-（a-cx2）x2

=a-cx1a-cx2·an-x1an-x2.

令bn=an-x1an-x2，則

{bn}是首項為a1-x1a1-x2，公比為a-cx1a-cx2的等比數列，

所以bn=a1-x1a1-x2·a-cx1a-cx2n-1.

由bn=an-x1an-x2，得

an=x2bn-x1bn-1=x2+x2-x1bn-1

=x2+x2-x1a1-x1a1-x2·a-cx1a-cx2n-1-1.

（2）由數列{an}的特征方程x=ax+bcx+d，

即cx2+（d-a）x-b=0的兩根為x1=x2=x，

得cx2+（d-a）x-b=0，x1+x2=2x=a-dc，

即cx2-ax=b-dx，d=a-2cx.

于是1an+1-x=1aan+bcan+d-x

=can+daan+b-x（can+d）

=can+d（a-cx）an+（b-dx）

=can+（a-2cx）（a-cx）an+（cx2-ax）

=c（an-x）+（a-cx）（a-cx）an-x（a-cx）

=c（an-x）+（a-cx）（a-cx）（an-x）

=1an-x+ca-cx.

令bn=1an-x，則

{bn}是首項為1a1-x，公差為ca-cx的等差數列，

所以bn=1a1-x+（n-1）·ca-cx.

由bn=1an-x，得

an=1bn+x=11a1-x+（n-1）·ca-cx+x.

（3）略.

例5已知數列{an}滿足a1=2，an+1=4an+3an+2（n∈N+），求數列{an}的通項公式.

解法1數列{an}的特征方程為

x=4x+3x+2，

即x2-2x-3=0，

解得x1=-1，x2=3.

由結論2（1）知，令bn=an+1an-3，則

{bn}是以a1+1a1-3=-3為首項，4-1×（-1）4-1×3=5為公比的等比數列，

所以bn=-3×5n-1，

由bn=an+1an-3，得

an=3+4bn-1=3-43×5n-1+1.

解法2由結論2（1）及

a1=2，a=4，c=1，x1=-1，x2=3，

知an=x2+x2-x1a1-x1a1-x2·a-cx1a-cx2n-1-1

=3+3-（-1）2-（-1）2-3×4-（-1）4-3n-1-1

=3+4-3×5n-1-1

=3-43×5n-1+1.

例6已知數列{an}滿足a1=4，an+1=4an-1an+2（n∈N+），求數列{an}的通項公式.

解法1數列{an}的特征方程為

x=4x-1x+2，

解得x1=x2=1.

由結論2（2）知，令bn=1an-1，則

{bn}是首項為1a1-1=13，公差為14-1×1=13的等差數列，

所以bn=13+（n-1）×13=13n，（

由bn=1an-1，得an=1bn+1=3n+1.

解法2由結論2（2）及

a1=4，a=4，c=1，x=1，

知an=11a1-x+（n-1）·ca-cx+x

=114-1+（n-1）·14-1+1

=3n+1.

例7已知數列{an}中，a1=2，an+1=1+an1-an（n∈N+），記數列{an}的前n項的乘積為∏n，求∏2023.

解數列{an}的特征方程為

x=1+x1-x，

即x2+1=0，此方程無實數解.

由結論2（3），知數列{an}是周期數列.

由a1=2，an+1=1+an1-an，得

a1=2，a2=-3，a3=-12，a4=13，

a5=2，a6=-3，…

所以{an}是周期為4的周期數列.

又2023÷4=505……3，

a1a2a3a4=2×（-3）×-12×13=1，

所以∏2023=a1a2a3…a2022a2023

=（a1a2a3a4）505·a1a2a3

=a1a2a3

=2×（-3）×-12=3.

推廣形如an+1=aa2n+bcan+d的遞推數列，它的特征方程是x=ax2+bcx+d，求其通項的過程與類型2相似，過程略.