均值不等式中的“配湊”技巧

師文亮

【摘要】均值不等式是高中數學的重要知識，是最基本的重要不等式之一，在不等式理論研究和證明中占有重要的位置.本文通過例題說明均值不等式在使用時的一些技巧.

【關鍵詞】均值不等式；配湊；技巧

均值不等式設a1，a2，…，an均為正實數，

則有n1a1+1a2+…+1an≤na1a2…an

≤a1+a2+…+ann≤a21+a22+…+a2nn，

當且僅當a1=a2=…=an時，三個等號同時成立.

對于這個不等式，高考中只要求n=2或n=3的情形，在數學競賽和自主招生考試中要求更高.

1配湊常數

例1設a，b，c為三個正實數，且abc=1，求證：1a+b+1+1b+c+1+1c+a+1≤1.

證明不妨設x3=a，y3=b，z3=c，其中x，y，z為三個正實數，

則xyz=3abc=1，

a+b+1=x3+y3+xyz

=（x+y）（x2+y2-xy）+xyz

≥（x+y）（2xy-xy）+xyz

=xy（x+y+z）

=x+y+zz，

所以1a+b+1≤zx+y+z.

同理1b+c+1≤xx+y+z，

1c+a+1≤yx+y+z，

所以1a+b+1+1b+c+1+1c+a+1

≤zx+y+z+xx+y+z+yx+y+z=1.

例2設a，b，c∈R，且a2+b2+c2=1，求證：

a1-a2+b1-b2+c1-c2≥332.

證明原不等式

a1-a2+b1-b2+c1-c2≥332，

等價于a2a（1-a2）+b2b（1-b2）+c2c（1-c2）≥332，

由于a2+b2+c2=1，

如果能證明x（1-x2）≤233，則上述不等式成立，

由平均值不等式得

x（1-x2）=2x2（1-x2）（1-x2）2

≤122x2+（1-x2）+（1-x2）33

=12×233=233，

故不等式成立.

2配湊項數

例3若正數a，b，c滿足a+b+c=1，求證：

a+1ab+1bc+1c≥100027.

證明注意到a=b=c=13時，不等式的等號成立，

將原不等式變形為

3a+3a3b+3b3c+3c≥1000，

經觀察要使不等式的等號成立，

只需3a=3ma=1，解得m=9，

故a+1a=a+19a+19a+…+19a9個≥1010199a8，

a+1ab+1bc+1c

≥10001019271abc8

≥10001019271a+b+c338

=100027，

當且僅當a=b=c=13時等號成立.

例4設a>b>0，求證：

2a3+3ab-b2≥10.

證明因為

ab-b2=b（a-b）≤［b+（a-b）］24=a24，

所以2a3+3ab-b2

≥2a3+12a2=22a3+22a3+4a2+4a2+4a2

≥5522a3·22a3·4a2·4a2·4a2=10，

故命題成立.

3配湊系數

例5設a，b，c≥0，a+b+c>0，求證：

（a+b）3（b+c）2（c+a）（a+b+c）6≤427.

證明（a+b）3（b+c）2（c+a）（a+b+c）6

=108·a+b33b+c22（c+a）（a+b+c）6

≤108·a+b+c36（a+b+c）6=427，

當c=0，b=2a>0時等號成立.

例6設x，y，z是正數，且滿足x5+y5+z5=3，證明：x4y3+y4z3+z4x3≥3.

證明注意到（x5+y5+z5）2

=x10+2x5y5+y10+2y5z5+z10+2z5x5=9，

利用均值不等式，可得

10·x4y3+6x5y5+3x10

=x4y3+x4y3+…+x4y310個+x5y5+x5y5+…+x5y56個

+x10+x10+x10

≥19x10019，

同理10·y4z3+6y5z5+3y10≥19y10019，

10·z4x3+6z5x5+3z10≥19z10019，

將上述三個不等式相加，得

10x4y3+y4z3+z4x3+3（x5+y5+z5）2

≥19x10019+y10019+z10019，

于是，只需要證

x10019+y10019+z10019≥x5+y5+z5成立.

事實上，（x5+y5+z5）+19（x10019+y10019+z10019）

=（1+19x10019）+（1+19y10019）+（1+19z10019）

≥20（x5+y5+z5），

故原不等式得證.

4配湊次數

例7設a，b，c，d∈R，滿足

abcd=1，a+b+c+d>ab+bc+cd+da，

求證：a+b+c+d<ba+cb+dc+ad.

證明a=4a4abcd=4ab·ab·bc·ad

≤14ab+ab+bc+ad，

同理b≤14bc+bc+cd+ba，

c≤14cd+cd+da+cb，

d≤14da+da+ab+dc，

將上述四個式子相加，得

4（a+b+c+d）

≤3ab+bc+cd+da+ba+cb+dc+ad，

因為a+b+c+d>ab+bc+cd+da，

故a+b+c+d<ba+cb+dc+ad.