換一種思考方式，直擊問題本質

陳作國 施剛良

【摘要】文章通過兩個案例中出現錯誤原因的分析，來闡述換一種思考方式，直擊問題本質的重要性.深入挖掘問題的背景，使得問題的本質充分暴露，提升學生的數學素養，這也是我們通過數學育人要達到的.

【關鍵詞】錯誤；本質；導數；高觀點

1問題提出

學生在解決問題的過程中，往往喜歡選擇思維含量最小的方向上解決問題，最好是“一招致命”.盡管按這樣的思考路徑，切入點相對容易找到，但要最終解決問題可能會困難重重.由于自身的知識結構又不是太牢固，就會出現這樣那樣的錯誤，最終只能半途而廢.那么，是否有更好的途徑來解決問題呢？我們可以改變一下思考問題的思維方式（用觀點相對較高的辦法解決，對切入點的要求相對較高），可能會有一種“豁然開朗”的感覺，這種感覺的培養需要平常的經驗積累，這種感覺一旦出來，“想錯都不太可能”.正如著名數學家波利亞說的：“你要解答的題目可能很平常，但是如果它激發你的好奇心，并使你的創造力發揮出來，而且如果你用自己的方法解決了，那么你就能經歷那種緊張狀態，而且享受那種發現的喜悅.”這種發現的喜悅是我們通過數學育人要努力培養的.

2案例分析

例1已知二次函數f（x）=2x2+ax+b為偶函數，g（x）=（3-1）x+m，h（x）=c（x+1）2（c≠2）.關于x的方程f（x）=h（x）有且僅有一根12.

（1）求a，b，c的值；

（2）若對任意的x∈［-1，1］，f（x）≤g（|x|）恒成立，求實數m的取值范圍；

（3）令φ（x）=f（x）+f（1-x），若存在x1，x2∈［0，1］使得|φ（x1）-φ（x2）|≥g（m），求實數m的取值范圍.

分析（1）依題意可得a=0，b=1，c=23.

第（2）問學生的解法：

對任意的x∈［-1，1］，f（x）≤g（|x|）恒成立，

即2x2+1-（3-1）|x|≤m，

令G（x）=2x2+1-（3-1）|x|，

x∈［-1，1］，

則G′（x）=x2x2+1-（3-1），

接下來就不知道怎么辦了.

注參變分離的想法學生確實很容易想到，但學生對G（x）=2x2+1-（3-1）|x|求導是有問題的（|x|在x=0處不可導），主要問題出在沒有對x∈［-1，1］進行分類，后面對G′（x）正負的判斷也就不了了之了.事實上，通過簡單的觀察，發現G（x）是偶函數，所以只需研究G（x）=2x2+1-（3-1）|x|，x∈［0，1］的情況.

因此，G′（x）=x2x2+1-（3-1），x∈［0，1］，

并且G′（x）=12+1x2-（3-1）

≤12+112-（3-1）

=1-233<0，

也就是說G（x）在［0，1］上單調遞減，于是問題即迎刃而解.

上面的錯解主要是沒分類討論，導致求導之后沒法再求下去，而且即使分類之后，再結合偶函數要判斷導函數的正負可能也不是一件很容易的事情，這需要學生的邏輯推理.那么，是否有更本質的解法呢？

接下來提供第（2）問的解法：

令y=f（x）=2x2+1，

即y2-2x2=1（y≥1），

此方程表示為雙曲線（如圖1）的上支.

記直線l：y=h（x）=23（x+1）2

=63（x+1），x∈［-1，1］，

通過對函數F（x）=f（x）=2x2+1求導可以發現直線l與雙曲線相切于點C12，62.

記直線AF：y=（3-1）x+1，

圖1

根據雙曲線上支與y=g（|x|）關于y軸對稱知：要使得對任意的x∈［-1，1］，f（x）≤g（|x|）恒成立，只要對任意的x∈［0，1］，f（x）≤g（x）恒成立即可，如圖1，即m≥1.

有了第（2）問的本質解法，第（3）問就變得“小菜一碟”了，有種“秋風掃落葉”的感覺.

根據第（2）問的分析可得

63（x+1）≤f（x）≤（3-1）x+1，x∈［0，1］，

于是φ（x）=f（x）+f（1-x）

≥63（x+1）+63（2-x）=6，

φ（x）=f（x）+f（1-x）

≤（3-1）x+1+（3-1）（1-x）+1

=3+1.

因此，要使存在x1，x2∈［0，1］，使得

|φ（x1）-φ（x2）|≥g（m），

等價于|φ（x）max-φ（x）min|≥g（m），

即（3-1）m+m≤1+3-6，

故m≤1+33-2.

注題設中關于x的方程f（x）=h（x）有且僅有一根12的條件等價于雙曲線y2-2x2=1（y≥1）與直線l：y=63（x+1）相切，也即曲線f（x）=2x2+1與曲線h（x）=23（x+1）2相切于點C，公切線即為直線l，這是試題的背景.通過對雙曲線上支對應的解析式F（x）=2x2+1求導，可以得到過圖象上的點的切線，命制出很多型異質同的試題來.因此，本質的東西一旦浮現，許多細節就會灰飛煙滅，題目當然迎刃而解，也讓我們感覺“換一種方式思考問題更妙”.

圖2

例2已知曲線C是到點P-12，38和到直線y=-58距離相等的點的軌跡.l是過點Q（-1，0）的直線，M是C上（不在l上）的動點，A，B在l上，MA⊥l，MB⊥x軸.

（1）求曲線C的方程；

（2）求出直線l的方程，使得|QB|2|QA|為常數.（2008年浙江卷）

分析此題的常規解法是設直線AB的方程，然后用直線AB的斜率k表示點A，B的坐標，再求線段QA與QB的長度，由于學生的數學運算能力問題，導致最終“半途而廢”.還可以作與直線l垂直且過點Q的直線m，通過求點M到直線m的距離來求QA的長度，從而避開求A的坐標，這樣處理計算量會有所下降，但這需要學生很強的問題轉化能力.那么，是否有更本質的解法呢？我們知道導數在高等數學中是一個非常重要的概念（當然現在高中教材已有涉及），它的幾何意義就是過曲線上一點作曲線切線的斜率.在初等數學中很多求極值的問題都可以通過求導來解決，這種思想方法具有普遍意義.這個高考題看上去好像與導數無關，但通過深究發現它的背景還是與導數有千絲萬縷的關系，由此可見導數的巨大威力.

下面提供一種相對簡潔、優美、本質的解法：

（1）依題意，曲線C的方程為

y=x22+x2.

（2）由（1）知，點Q在曲線C上，

故設Q（x0，f（x0）），M（x，f（x）），

由泰勒公式知

f（x）=f（x0）+f′（x）（x-x0）+

f′（x0）2（x-x0）2，

（其中f（x0）=0，f′（x0）=-12）.

設直線l的斜率為k，

則|QB|=1+k2|x-x0|，

與直線l垂直且過點Q的直線m的斜率為-1k.

設直線m的方程為

y=f（x0）+-1k（x-x0）.

因為線段QA的長度等于點M到直線m的距離，

所以|QA|

=11+1k2f′（x0）+1k（x-x0）+f′（x0）2（x-x0）2.

于是|QB|2|QA|

=（1+k2）32|k|·1f′（x0）+1k·1x-x0+12

=（1+k2）32|k|·1-12+1k·1x-x0+12，

因此，要使|QB|2|QA|為常數，只須-12+1k=0，

即k=2，

此時|QB|2|QA|=55.

注有關解析幾何的問題一般采用將幾何問題代數化，通過代數計算可以得到結論.此題采用將二次曲線用泰勒公式展開，將|QB|2|QA|轉化成與f′（x0）有關的式子，想法與之前資料上的解法完全不同，可謂“別具一格”.而且，通過上面的論證，我們還發現要使|QB|2|QA|取到定值，只要滿足f′（x0）+1k=0，即f′（x0）=-1k，由此我們可以發現直線l垂直與過定點Q（x0，f（x0））的切線，此時|QB|2|QA|的取值與點M在曲線C上的位置無關.筆者想這個幾何意義應該就是命題者命制此題的“源頭”，可謂“高觀點，低起點”.我們能用這樣的觀點解決此題，當然是“小菜一碟”.

3結束語

高考試題或模擬題的命題者基本上以大學教授或一些名師為主，他們能“上通數學，下達課堂”.這些人在命制試題時，往往采用“高觀點，低起點”的命題思想，能讓一般的學生主動上手得到理想的分數，也使一部分優秀的學生能想到利用自己獨特的思想（改變常規的解題思路，換一種思路）解決問題，從而使得他們能在有限的時間里高質量地完成試題解答，就像獨孤求敗一樣，想做錯都是不可能的.

數學不僅僅是一種工具，它更是一種思維方式、一種思想，能用高觀點解決的數學問題在本質上考察的是數學的思想方法，而且其本質都顯得很簡單.因此，我們一線的教師應該揣摩命題者命制試題的意圖，發現試題背后“隱藏”的內容，揭示它們的“廬山真面目”，達到“驀然回首，那人卻在燈火闌珊處”的境界.這是我們要努力去做的，有助于提高我們研究試題的能力.為了不增加學生的負擔，我們可以開設選修課，向那些優秀的學生講解我們利用高觀點研究問題的思維過程，通過啟發和引導，讓學生體會到“居高臨下”的解題思想，學生將感同身受，有助于提高他們的數學思維能力.這樣才會使得數學教學真正擺脫題海，事半功倍，為學生謀取更廣大的長遠利益.讓學生感覺通過自己的思考學習數學的成就感，達到數學育人之目的.正如波利亞所說：“如果一個數學老師用和學生知識相稱的題目來激起他們的好奇心，并用一些鼓勵性的問題去幫助他們解決題目，那么他就能培養學生對獨立思考的興趣，并教給他們某些方法.”