典型電路中的[U-I]圖像問題分析

羅春亮

［摘 要］在歐姆定律的學習過程中，有一些相對復雜的計算，其中涉及[U-I]圖像的運用。實際教學中，教師應注意引導學生深刻理解[U-I]圖像的物理意義，這樣一方面能夠簡化運算過程，另一方面能夠提高學生的抽象思維能力。文章針對典型電路中的[U-I]圖像問題進行分析探討。

［關鍵詞］[U-I]圖像；歐姆定律；電路

［中圖分類號］ ? ?G633.7 ? ? ? ?［文獻標識碼］ ? ?A ? ? ? ?［文章編號］ ? ?1674-6058（2022）20-0042-03

在學習部分電路歐姆定律時，應用[U-I]圖像解答相關問題是常考知識點。中考中，有時也會通過已知的[U-I]圖像所提供的信息，考查學生運用串聯或并聯電路的特點及歐姆定律解決相關問題的能力，而從[U-I]圖像中提取有用的信息是解題的關鍵。

一、讀懂[U-I]圖像

[U-I]圖像反映的是通過電阻的電流隨它兩端的電壓變化的關系。當研究的電阻阻值恒定時，它的[U-I]圖像是一條通過原點的傾斜直線（如圖1）；當研究的電阻阻值隨著某些物理量的變化而變化時，它的[U-I]圖像便會是一條過原點的曲線（如圖2）。但是，不論是直線還是曲線，除通過圖線可直接讀出的電壓與電流的信息外，圖像的幾個重要信息也有重要且特殊的物理意義。

1.原點。過原點表示當電阻兩端所加電壓為0時，通過電阻的電流也為0。

2.斜率。根據數學知識可知，斜率的公式為[k=ΔU/ΔI]，這一公式很容易讓人聯想起[R=U/I]，認為斜率大小就是阻值大小。這是對阻值定義以及幾何知識理解不透徹的緣故。結合圖1和圖2，并以兩圖中的[A]點為研究對象，當圖線是直線時，有[k=ΔU/ΔI=tanθ]，[R=U0/I0=tanθ]，可見這種情況下圖像的斜率與阻值的大小相等；當圖線為曲線時，有[k=ΔU/ΔI=tan β]，[R=U0/I0=tanα]，可見這種情況下圖像的斜率與阻值的大小不相等。因此，當運用斜率信息時，一定要注意圖線的曲直。

3.面積。圖線與坐標軸所圍的面積也是一個重要的物理量，如圖1所示，以[A]點為研究對象，利用[U-I]圖像中圖線與坐標軸所圍的面積可以計算電阻消耗的功率。

只要準確把握[U-I]圖像中幾個關鍵點的物理意義，就能獲取[U-I]圖像中的相關信息并運用這些信息解決問題。下面我們結合一些典型例題進行分析探討。

二、典例分析

（一）直接讀圖解決問題

此類題是最簡單的一種考查題，通常可以直接通過題給[U-I]圖像得出解題需要的信息。但是需要注意的是，為了提高題目的難度，更是為了考查學生的讀圖能力，命題者通常會在截距、坐標原點、單位等細微處設置陷阱，如果讀圖時不細心，就會容易出錯。

【例1】在某次實驗過程中，小蘭所在小組畫出如圖3所示的[U-I]圖像，對此圖的解讀，下列選項中正確的是（ ）。

A.小蘭他們所用電源的電動勢為2.0 V

B.小蘭他們所用電源的內阻為4 Ω

C.小蘭他們所用電源的短路電流為0.5 A

D.當電流為0.5 A時，電路中所接電阻阻值為0

解析：本題的命題陷阱顯而易見是坐標原點的改動，縱軸表示電壓的原點并非從0開始，如果求電源內阻直接列式[r=2.0 V÷0.5 A=4 Ω]，顯然就錯了。根據[U-I]圖像中圖線與縱軸的截距即電源的電動勢可知，小蘭他們所用電源的電動勢為[2.0 V]，選項A正確。圖線的斜率[k=ΔU/ΔI]，由于圖3中縱軸并非從0點開始，故計算時一定要注意[ΔU]的正確取值應為[2.0 V-1.8 V=0.2 V]，故小蘭他們所用電源的內阻[r=0.2 V÷0.5 A=0.4 Ω]，選項B錯誤。當電流為0.5 A時，通過讀圖可知路端電壓為1.8 V，電源的電動勢為2.0 V，顯然小蘭他們所用電源的短路電流必大于0.5 A，選項C錯誤。讀圖可知，當電流為0.5 A時，路端電壓為1.8 V，經計算可知電源內阻為0.4 Ω，由歐姆定律可得此時電路中所接電阻的阻值[R=E/I-r=2.0÷0.5-0.4=3.6（Ω）]，選項D錯誤。

（二）復雜電路結合[U-I]圖像考查電功率的計算

將串、并聯電路與[U-I]圖像相結合，把某些重要信息隱藏其中，考查電功率的計算，這類題通常涉及極值問題，比如電阻的最大值、最小值。另外，還要考慮某些電學元件的性質，比如燈泡、光敏電阻等的阻值會變化，只有考慮全面，才能正確解題。解答此類題，準確讀圖是關鍵。

［例2］某實驗小組探究小燈泡的電壓與電流關系。實驗電路如圖4所示，圖中電源選用[5 V]的恒定電源，電壓表量程為0～3 V，電流表量程為0～0.6 A，[R2]的阻值為2 Ω，待測燈泡L的額定電壓為4 V。圖5是通過實驗結果繪制的[U-I]圖像。求：

（1）待測燈泡L正常發光時的電阻；

（2）斷開開關S2和S3、閉合開關S1時，滑動變阻器[R1]可接入電路中的阻值大小范圍。

解析：（1）本題[U-I]圖像中的圖線并不是一條直線，對解題有一定的迷惑性。由于要求“待測燈泡L正常發光時的電阻”，“正常發光”時待測電阻兩端電壓應該為額定電壓，即[UL=U額=4 V]，則由[U-I]圖像可知，此時[IL=0.4 A]，則有：

[RL=ULIL=4 V0.4 A=10 Ω]

（2）斷開開關S2和S3、閉合開關S1時，滑動變阻器[R1]與待測燈泡串聯。由串聯電路性質可知，當待測燈泡正常發光時，滑動變阻器接入電路中的電壓最小，則有：

[U小=U-UL=5 V-4 V=1 V]

此時滑動變阻器接入的電阻最小值為：

[R小=U小IL=1 V0.4 A=2.5 Ω]

根據電壓表的量程可知，滑動變阻器兩端電壓的最大值應為[U1大=3 V]。根據串聯電路中電壓的性質可知，待測燈泡兩端的最小電壓[UL′=U-U1大=5 V-3 V=2 V]。

通過所給[U-I]圖像可知，當待測燈泡兩端電壓為2 V時，電流[I3=0.3 A]。

根據串聯電路電流性質可知，通過滑動變阻器的電流也為[I3=0.3 A]，所以此時滑動變阻器接入電路的電阻最大值為：

[R大=U大I3=3 V0.3 A=10 Ω]

由此可知，當斷開開關S2和S3、閉合開關S1時，滑動變阻器[R1]可接入電路中的阻值大小范圍為2.5～10 Ω。

（三）畫[U-I]圖線，解決電路問題

當想判斷電路中電阻的變化與電流、電壓的關系時，通常的做法是通過歐姆定律進行計算，但是這種方法往往比較復雜，而運用作圖法可以將一些復雜的計算簡化。有些問題通過畫[U-I]圖像，根據圖線的斜率變化情況可以判斷電阻的變化與電流、電壓的關系。

［例3］如圖6所示，當開關S閉合、滑動變阻器[R2]的滑片[P]向下滑時，電路中連接的電流表和電壓表的示數都會變化，已知[R1]是定值電阻，如果用[I]、[U1]、[U2]、[U3]分別表示電表的示數，用[ΔI]、[ΔU1]、[ΔU2]、[ΔU3]分別表示電表示數的變化量，則下列判斷錯誤的是（ ）。

A. [U1/I]的值不變，[ΔU1/ΔI]的值不變

B. [U2/I]的值變大，[ΔU2/ΔI]的值變大

C. [U2/I]的值變大，[ΔU2/ΔI]的值不變

D. [U3/I]的值變大，[ΔU3/ΔI]的值不變

解析：分析電路圖，發現電阻[R1]和[R2]是串聯關系，其中電壓表[V1]測[R1]兩端電壓，電壓表[V2]測[R2]兩端電壓，電壓表[V3]測外接電路電壓，電流表A測外接電路電流。因為電阻[R1]是定值電阻，故[U1/I=ΔU1/ΔI=R1]，不論如何移動滑動變阻器的滑片，其值保持不變，故選項A正確。由[R1+R2=U3/I]，如圖7所示，先畫出電源的[U-I]圖像，再在這個圖中繼續畫出[R1+R2]的[U-I]圖線（圖7中虛線OM），當滑動變阻器[R2]的滑片[P]向下滑時，滑動變阻器接入電路中的阻值[R2]變大，因此[R1+R2]的值變大，可畫出變化后的[R1+R2]的[U-I]圖線（圖7中實線[ON]），比較[U-I]圖像中[OM]和[ON]的斜率（即[U3/I]的值），可看出[U3/I]的值變大；因為[ΔU3/ΔI]的值為電源的[U-I]圖線的斜率（物理意義為電源內阻），從圖中看出[ΔU3/ΔI]的值不變，因此選項D正確。同樣，還可以將電源內阻等同于[R1+r]，畫出如圖8所示的新電源的[U-I]圖像，再在其上畫出滑動變阻器[R2]的[U-I]圖線，根據[R2]的大小畫出兩條圖線[OP]和[OQ]并比較，可直觀看出[U2/I]的值變大，[ΔU2/ΔI]的值不變，選項C正確。利用排除法可知本題應選B。有興趣的讀者可以用畫圖法判斷[U2/I]和[ΔU2/ΔI]的變化情況。

（四）利用[U-I]圖像計算電功率

在直流電路中，我們常用伏安特性曲線來描繪某元件的電壓和電流關系，它們除能讓我們直觀地感受元件的電壓和電流的關系外，還能幫助我們計算電阻類元件的實際功率。這類問題有個共同點，即電源和電阻類元件的[U-I]圖像中有一條是曲線。在同一個[U-I]圖像上作出兩個研究元件的[U-I]圖線時，兩條圖線的交點反映了元件的電壓和電流，橫、縱坐標的乘積即對應時刻元件消耗的實際功率。

［例4］如圖9所示，是小明所在實驗小組繪制的一段導體的伏安特性曲線，當小明將一個阻值為18 Ω的定值電阻同該段導體一起串聯到一個電動勢為9 V的電源上時，若電源的內阻不計，求該段導體的實際功率。

解析：題中所給伏安特性曲線是一條曲線，顯然想要利用列式法求解比較困難。而且，研究對象還與一個定值電阻串聯在一起，給解題也帶來了一定的麻煩。這時，我們可以將定值電阻和電源視為一個整體來分析，將定值電阻視為電源的內阻，如此，就能在題給[U-I]圖像中作出等效電源的伏安特性曲線，如圖10所示。兩條圖線的交點的橫、縱坐標即為該段導體兩端的電壓和通過等效電源的電流，用作圖法可快速讀出交點坐標為（3，0.33），即該段導體兩端電壓和通過它的電流分別為3 V和0.33 A，則它消耗的實際功率為[P=UI=3 V×0.33 A=0.99 W]。

以上，只是對[U-I]圖像問題的解決和應用做了簡單的歸納。在教學過程中，教師應注意引導學生多總結、多思考，這樣學生對相關問題的理解更深入，也會發現更多的[U-I]圖像的妙用。物理離不開數學，跨學科的綜合應用不僅能提高學生的物理學習能力，還能促進學生綜合素質的提高。

［ ? 參 ? 考 ? 文 ? 獻 ? ］

［1］ ?彭坤.一道中考電學題的多種數學處理［J］.中學教與學，2000（11）：21-21.

［2］ ?李東升.配方法求最值［J］.數理天地（初中版），2008（1）：42-43.

（責任編輯 易志毅）