審度時宜 慮定而定

鄭笑容 楊恩彬

函數與導數是高考重點考查的內容之一．依托函數與導數的考查，高考數學能夠有效檢測學生的數學抽象、邏輯推理、直觀想象、數學建模、數學運算等核心素養及邏輯思維、運算求解、數學建模和創新等關鍵能力的發展水平，在甄別學生水平方面起著關鍵的作用，正因如此，在高三復習階段，函數與導數始終被置頂重視，然而，教學實踐和相關考試結果都表明，學生對函數與導數問題（尤其是解答題）有著近乎本能的懼怕，絕大部分的第一反應就是直接求導后放棄，這種現象的出現固然與試題的所在題序有關，但深究之下，更主要的原因應該是這類試題的解題入口隱蔽、思路變化多端、難以與平時機械刷題所獲得的解題經驗輕易對接，

那么，函數與導數解答題真的如此之難嗎？筆者分析了近十年全國高考數學卷及新高考全國模擬演練卷中函數與導數解答題的解法，認為，這類試題的求解策略可以一言以蔽之：“審度時宜，慮定而定”．本文擬闡釋筆者的認識與實踐．

1 審度時宜

面對函數與導數解答題，“審度時宜”指的是解題前應仔細閱讀題意，觀察函數解析式的特征，判斷問題的參數個數及其之間的關系，確定各小問之間的聯系，為尋求解題思路作好準備．

1.1“審”解析式

函數的解析式是函數與導數解答題的重要載體，解題前應仔細審視解析式的結構特征，主要的審視方向包括：組成的基本初等函數類別、組成方式、定義域及特殊值等．

審題分析本題為對數函數與分式型函數相減的組合函數，首先關注函數定義域（0，1）U（1，+∞）．第（I）問的單調性討論直接求導即可；在證明廠（x）有且僅有兩個零點的過程中，由于x=1無法代入到解析式中，由單調性，此時應猜想這兩個零點應恰好位于（0，1）和（1，+∞）兩個區間，因此解題的第一個方案是分別在兩個區間利用零點存在性定理取

評 注求解函數與導數問題的第一步就是研究函數的解析式，只有明晰解析式的特征，挖掘隱含的性質，作出正確的函數圖象，才能形成有效的解題方向．

1.2“審”參數

試題中除常規的自變量x和因變量y外，還常帶有其它的參數．審題時應觀察參數的個數，每個參數的作用，多個參數還需思考之間是否有聯系，

評注多變量是函數與導數問題中常見的形式之一，消元是常規的思路，解題時應厘清變量之間的關系，若它們之間有等量關系，可借助該關系將多個變量消元為一個變量；若沒有等量關系，則需觀察相應的式子，考慮對變量進行組合等方式轉化為一個變量，最終構造函數解決問題．

1.3“審”聯系

函數與導數解答題通常有兩個小問，在第（I）問求解后通常需思考兩小問之間是否有關聯．如若一時看不出來，可考慮是否需要適當的變形處理判斷是否有聯系．

評注求解函數與導數試題時，通常要思考多個小問之間是否有聯系？是否需要對相應的代數式或等式進行同解變形？如若有關聯，則往往是下一小問求解的臺階，具有啟發思路的作用．

2 慮定而定

審題不應怕浪費時間，將試題審明白，是得到正確求解思路的關鍵，“慮定而定”即為通過審題，得到明確的解題思路后進行具體操作，或考慮將解析式進行適當的變形處理尋找聯系，或代入關鍵值縮小參數的范圍，或直接構造、或根據數學模型適當變形后進行構造，最終求解問題．

2.1“定”變形

許多學生對試題所給的代數式、方程或不等式有“敬畏”心理，至多進行參數分離，不敢作其余的任何變形．事實上，如若對相應的代數式、方程或不等式作恰當的變形處理，常可使問題變得簡單，易于解決，

評注 對代數式或方程、不等式的變形處理應在仔細觀察、分析的基礎上進行，平時要善于總結、歸納，熟練掌握常見的函數模型，求解時思路自然水到渠成．

2.2“定”構造

構造相應的函數是求解函數問題重要的途徑之一，特別是對函數解析式變形處理的基礎上進行構造，更能考查學生分析問題和解決問題的能力．

求解思路分析本題是證明不等式恒成立問題，由于解析式中指、對數是乘積式，直接求導會發現導函數非常的復雜，因此這種方法顯然不可取，如若注意到式子中ex出現了兩次，因此不等式兩邊同除以ex，但此時同樣發現求導后無法判斷導函數的單調性，也就無法求出原函數的極值，因此后續也就無法再完成．故而正確的做法是：在觀察解析式結構特征的基礎上，通過分析法先將指、對數式分離，先同除以ex后再同乘以x，即證明

評注對于較復雜的函數與導數解答題，通過觀察、思考、演算的探究是解題的必備過程，構造的函數必須為所求服務，此時，平時學習過程中的積累往往是解題靈感的源泉．

2.3“定”特例

求解時可通過代入某些特殊值，例如指數型（或對數型）函數經常找使得指數為0（或對數值為1）的自變量的值，從而觀察函數或導函數的值的變化，以確定臨界位置，尋找解決問題的突破口，

評注 特殊點的選擇需根據函數式的特征，特別是要選取使得等式或不等式取臨界位置時的點，這需要敏銳的觀察能力和平時的訓練．

2.4“定”范圍

取值范圍問題有兩類題型，一是給定不等式求參數的取值范圍，此時可考慮代入符合條件的特殊值縮小參數的取值范圍，從而得到參數取值范圍的必要條件；二是給參數范圍證明等式或不等式，此時可利用范圍及不等式基本性質將參數用臨界值代入，從而減小參數的個數．

求解思路分析本題第（Ⅱ）問為給定不等式求參數取值范圍的問題，通過將恰當的x值代入不等式，例如取x=1，即可求出參數a的一個范圍，這個結果是不等式成立的必要條件，進而在此條件下去尋找不等式成立的充分性，

評注 對給定不等式求參數取值范圍的問題，常通過代入滿足題意的自變量的值，求出參數取值范圍的必要條件，再利用該條件尋找參數取值范圍的充分條件，這種解題策略可簡化討論，降低難度，

求解思路分析本題為結構不良試題，第（Ⅱ）問的兩個條件均給定了參數a，b的范圍．無論選擇哪個條件，恰是第（I）問單調性討論時參數a的兩種不同分類的情況，求解時除利用常規單調性判斷及代入特殊點之外，還需利用參數b的范圍，借助不等式的性質轉化為關于a的代數式判斷符號． 評注對給定參數范圍證明不等式或等式的試題，求解時應善于利用所給的范圍通過放縮減少參數的個數，從而降低思維的難度．當然放縮必須根據不等式的性質或函數的單調性進行，做到有理有據，放縮有度．

總之，教師在教學的過程中應教給學生審題和分析問題的方法，不僅是函數與導數試題，在其它知識模塊上也同樣可以貫徹這種解題策略；不僅在高三復習教學中，在學生高一入學時就應始終灌輸求解問題的思維過程，如是，才能讓學生從題海之中解脫出來，學會思考分析問題，才能真正培養學生的數學核心素養，提高學生的思維品質，提升學生的關鍵能力及分析問題和解決問題的能力．