基于培育學生數(shù)學核心素養(yǎng)的逆向教學設計

謝飛 李肖霞

1 引言

由教育部制定的《普通高中數(shù)學課程標準（2017年版）》[1]明確指出：數(shù)學學科核心素養(yǎng)是數(shù)學課程目標的集中體現(xiàn)，是具有數(shù)學基本持征的思維品質(zhì)、關鍵能力以及情感、態(tài)度與價值觀的綜合體現(xiàn)，是在數(shù)學學習和應用的過程中逐步形成和發(fā)展的，數(shù)學學科核心素養(yǎng)包括：數(shù)學抽象、邏輯推理、數(shù)學建模、直觀想象、數(shù)學運算和數(shù)據(jù)分析．這些數(shù)學學科核心素養(yǎng)，既相對獨立、又相互交融，是一個有機的整體，

傳統(tǒng)數(shù)學教學設計主要體現(xiàn)為對教材的解讀，關注如何“漂亮地”完成數(shù)學教學內(nèi)容，大多數(shù)數(shù)學教師從輸入端開始思考教學，即從固定的教材、擅長的教法，以及常見的活動開始思考教學，而不是從輸出端開始思考教學，即從預期結(jié)果開始思考教學．換而言之，太多的一線教師都只關注自己的“教”，而忽略了學生的“學”，因此，傳統(tǒng)教學設計正面臨變革的需要，

為了有效培育學生數(shù)學核心素養(yǎng)，教師需要花大量時間思考：本單元學生需要理解什么？知道什么？學生在學習過程中，如何證明獲得了這些素養(yǎng)和能力？為了達到這樣的預期學習結(jié)果，應該怎樣設計課堂活動？在這些問題的驅(qū)動下，筆者結(jié)合美國教育學者威金斯和麥克泰格撰寫的《追求理解的教學設計（第二版）》[2]一書，探索培育學生數(shù)學核心素養(yǎng)的逆向教學設計，該設計適用于單元教學，下面，筆者先簡單介紹下逆向教學設計相關理論，然后以“函數(shù)的基本性質(zhì)”小單元為例進行逆向教學設計，最后談一些感悟和反思．

2 逆向教學設計

美國課程與教學領域的專家威金斯和麥克泰格在《追求理解的教學設計（第二版）》一書中提出了一種新的教學設計模式——逆向教學設計，以避開學校教學設計中的兩大誤區(qū)——聚焦活動的教學和聚焦灌輸?shù)慕虒W．作者認為教師在考慮如何開展教與學活動之前，先要努力思考學習要達到的目的到底是什么，以及哪些證據(jù)表明學習達到了目的；必須首先關注學習期望，然后才有可能產(chǎn)生適合的教學行為；認為最好的設計應該是“以終為始”，從學習結(jié)果開始的逆向思考，只有深入思考了這些問題，才能在邏輯上導出合適的教學和學習體驗，從而使學生成功地完成學習任務，達到內(nèi)容標準的要求，逆向教學設計包含三個階段，設計流程大致如圖1所示：

3 基于逆向教學設計的教學案例

威金斯和麥克泰格倡導的逆向教學設計，主張以目標為起點和歸宿，視教學為學習目標達成的手段，這與基于課程標準和核心素養(yǎng)的教學理念相符，受到學術界越來越多的關注和重視，那么，高中數(shù)學教學中究竟該如何進行逆向教學設計呢？如何在確定合適的評估證據(jù)之后進行教學體驗活動設計呢？在這里，筆者以高一數(shù)學第一學期第三章中的“3.4函數(shù)的基本性質(zhì)”單元為例，嘗試使用基于逆向教學設計的流程進行實踐探索，旨在培育學生的數(shù)學核心素養(yǎng)，達成預期學習目標，具體從下面三個階段展開設計．

1 階段1確定預期學習結(jié)果

階段1的內(nèi)容包括單元教學目標，目標轉(zhuǎn)換后的基本問題，預期的學習結(jié)果又包括預期的理解和學生將獲得的知識和技能．

（1）確定的單元教學目標

“函數(shù)的基本性質(zhì)”單元目標由數(shù)學學科核心素養(yǎng)目標和數(shù)學學科課程標準統(tǒng)整而成，統(tǒng)整后的單元教學目標是：

①學生將理解有關函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的基本概念，掌握證明函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的基本方法；依據(jù)的核心素養(yǎng)：直觀想象、數(shù)學抽象、數(shù)學運算、邏輯推理；依據(jù)的課程目標：結(jié)合具體函數(shù)，了解函數(shù)單調(diào)性和奇偶性的概念與幾何意義．

②學生將理解函數(shù)的最大（小）值的概念，會求簡單函數(shù)（如一次函數(shù)、二次函數(shù)等）的最大（小）值；依據(jù)的核心素養(yǎng)：數(shù)學運算、邏輯推理；依據(jù)的課程目標：借助函數(shù)圖象，會用符號語言表達函數(shù)的最大值、最小值，理解它們的作用和實際意義，

③學生將理解函數(shù)零點的概念，了解函數(shù)零點存在定理，會運用二分法求方程近似解；依據(jù)的核心素養(yǎng)：數(shù)學運算、邏輯推理、數(shù)據(jù)分析；依據(jù)的課程目標：了解函數(shù)零點與方程解的關系，了解函數(shù)零點存在定理，探索用二分法求方程近似解的思路并會畫程序框圖，能借助計算工具用二分法求方程近似解，了解二分法求方程近似解具有一般性，

④學生將掌握研究函數(shù)的基本方法，會對函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性、最大（小）值和零點等基本性質(zhì)進行研究，能利用函數(shù)建構(gòu)模型，解決現(xiàn)實和實際問題；依據(jù)的核心素養(yǎng)：數(shù)學建模、數(shù)學抽象；依據(jù)的課程目標：理解用函數(shù)構(gòu)建數(shù)學模型的基本過程，體會人們是如何借助函數(shù)刻畫實際問題的，感悟數(shù)學模型中參數(shù)的現(xiàn)實意義．

（2）列出學生需要思考的基本問題

①函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性的概念是什么？如何用符號語言表達？

②如何判斷并證明函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性？

③函數(shù)的最大值和最小值的概念是什么？如何借助函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性求函數(shù)的最值？

④函數(shù)的零點與方程的解的關系是什么？

⑤怎樣利用函數(shù)構(gòu)建生活中的實際模型，解決現(xiàn)實問題？

（3）預期的學習結(jié)果

預期的理解是什么？

學生將會理解：

①函數(shù)的奇偶性從圖象上看，反映了函數(shù)的一種對稱性；

②函數(shù)在不同區(qū)間上的變化趨勢即是函數(shù)單調(diào)性的反映，是函數(shù)的局部性質(zhì)；

③函數(shù)的最大（小）值刻畫了函數(shù)的有界性，不同函數(shù)的最值有不同的求法；

④二分法求方程f（x）=0的解，即為求函數(shù)f （x）的零點，且為近似解；

⑤函數(shù)模型是描述客觀世界中變量關系和規(guī)律的重要數(shù)學語言和工具，如出租車車費、公民繳納個人所得稅、商品利潤問題等．

要獲得哪些重要的知識和技能？

學生將會知道：

①函數(shù)奇偶性、單調(diào)性的概念；

②函數(shù)最大（小）值的意義；

③函數(shù)的零點與方程的解的關系；

④函數(shù)是研究實際問題的重要工具，

學生將能夠：

①判斷并證明具體函數(shù)的奇偶性；

②分析并證明具體函數(shù)的單調(diào)性，寫出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

③求解具體函數(shù)（如一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)等）的最大（小）值；

④畫出二分法的流程圖，用二分法求函數(shù)f （x）的零點并滿足精度要求；

⑤在實際問題中，靈活建立函數(shù)模型，并利用函數(shù)的基本性質(zhì)解決相關問題．

2階段2確定合適的評估證據(jù)

我們?nèi)绾沃缹W生是否已經(jīng)達到了預期結(jié)果？哪些證據(jù)能夠表明學生的理解及其核心素養(yǎng)的提升？要根據(jù)收集的評估證據(jù)來思考單元或課程，而不是簡單地根據(jù)要講的內(nèi)容或是一系列學習活動來思考單元或課程．

（1）表現(xiàn)性任務 “函數(shù)與數(shù)學史”一學生們通過查閱書籍、上網(wǎng)搜索等，解釋歷史上為什么把在定義域上具有性質(zhì)f（一x）=f（x）的函數(shù)叫做偶函數(shù)，具有性質(zhì)f（-x）=一f（x）的函數(shù)叫做奇函數(shù)；

“數(shù)學小能手”一學生們通過函數(shù)圖象特征及問題引導，概括出函數(shù)奇偶性、單調(diào)性的定義，并總結(jié)證明函數(shù)奇偶性、單調(diào)性的過程與步驟； “小小程序員”一學生們畫出二分法求方程f（x）=0的近似解的程序框圖，并借助計算工具用二分法求方程f（x）=0的近似解．

（2）其他證據(jù)

小測驗——判斷函數(shù)的奇偶性并說明理由；

簡答題——根據(jù)函數(shù)圖象答出函數(shù)單調(diào)區(qū)間；

小報告——結(jié)合圖象，研究具體函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性、最大（小）值和零點，形成小報告；

（3）學生的自我評價和反饋

①互評歷史上函數(shù)奇偶性的來龍去脈；

②自評函數(shù)奇偶性、單調(diào)性的掌握程度；

③互評具體函數(shù)研究小報告的科學性、準確度．

3階段3設計學習體驗和教學

教與學的體驗順序該怎么安排才有助于學生參與、發(fā)展和展示預期理解？我們依照順序逐次列出了關鍵的教學和學習活動，同時以WHERETO元素中的相應首字母為每個活動編碼．

W——幫助學生知道此單元的方向（Where）和預期結(jié)果（What），幫助教師知道學生從哪開始（先前知識、興趣）；

H——把握（Hook）學生情況和保持（Hold）學生興趣；

E1——武裝（Equip）學生，幫助他們體驗（Experience）主要觀點和探索（Explore）問題；

R——提供機會去反思（Rethink）和修改（Revise）他們的理解及學習表現(xiàn)；

E2——允許學生評價（Evaluate）他們的學習表現(xiàn)及其含義；

T——對于學生不同需要、興趣和能力做到量體裁衣（ Tailor）（個性化）；

O——組織（Organize）教學使其最大程度地提升學生的學習動機與持續(xù)參與的熱情，提升學習效果，

本單元的活動順序如下：

（1）（H）創(chuàng)設具體情境：請同學們觀看葡萄酒杯、蘇州之門和折紙風車，感受它們的對稱美（軸對稱和中心對稱，初中學過），并提問：我們學過哪些函數(shù)具有類似的對稱性？吸引學生學習興趣，為引入函數(shù)的奇偶性作鋪墊．

（2）（W）介紹本單元的基本問題，討論單元的最終表現(xiàn)性任務（函數(shù)與數(shù)學史、數(shù)學小能手、小小程序員）．

（3）（E1）通過具體函數(shù)圖象，設置問題串，從特殊到一般，引導學生歸納偶函數(shù)、奇函數(shù)的定義，并用符號表示，培育直觀想象、數(shù)學抽象、邏輯推理等核心素養(yǎng)，以支持表現(xiàn)性任務2．

（4）（R．E2）討論問題：歷史上為什么把在定義域上具有性質(zhì)f（一x）=f（x）的函數(shù)叫做偶函數(shù)，具有性質(zhì)，f（一x）=f（x）的函數(shù)叫做奇函數(shù)？學生互評，以支持表現(xiàn)性任務1.

（5）（E1）小測驗——判斷函數(shù)的奇偶性并說明理由．

（6）（R，T）提問：為什么要學習函數(shù)的奇偶性？

（7）（H，E1）觀察某地24小時氣溫變化圖，類比函數(shù)的奇偶性，通過問題引導，幫助學生建構(gòu)函數(shù)單調(diào)性和單調(diào)區(qū)間的概念，并用符號表示，培育數(shù)學抽象核心素養(yǎng)，以支持表現(xiàn)性任務2．

（8）（R，E2）簡答題——根據(jù)函數(shù)圖象答出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．

（9）（E2，T）大顯身手：證明具體函數(shù)f（x）=x+ 1/x在[1，+∞）上是單調(diào)增函數(shù)，培育學生邏輯推理、數(shù)學運算等核心素養(yǎng)，了解學生掌握程度．

（10）（E1）播放熊貓活動視頻，展示熊貓居室尺寸，讓學生求解熊貓居室面積，培育學生數(shù)學建模核心素養(yǎng)，通過求解面積最大值引入函數(shù)最大（小）值概念．

（11）（E2，T）小組合作學習：探究二次函數(shù)在不同區(qū)間上的最大（小）值情況并分享方法，滲透分類討論思想．

（12）（E1）介紹函數(shù)零點的概念以及零點存在定理，通過猜價格游戲，提示學生用二分法來求方程f（x）=0的近似解．

（13）（R，T）小組合作探究：畫出二分法求方程f（x）=0近似解的程序框圖，并借助計算工具用二分法求方程f（x）=0的近似解，以支持表現(xiàn)性任務3．

（14）（E2，R，T）結(jié)合生活中實際問題，建立函數(shù)模型，通過數(shù)據(jù)分析，畫出函數(shù)圖象，研究函數(shù)的基本性質(zhì)：奇偶性、單調(diào)性、最值和零點，解決實際問題，并自評與互評．

3基于逆向教學設計的教學反思

通過對“函數(shù)的基本性質(zhì)”小單元逆向教學設計的研究與探索，筆者感悟最深刻的有以下三點：

（1）教學設計從關注教材轉(zhuǎn)向關注課程標準和學科核心素養(yǎng)

傳統(tǒng)數(shù)學教學設計往往從教材出發(fā)，根據(jù)對教材的解讀而設計教案，進而開展教學活動，但是，教材只是達成目標的教學素材，并非目標或標準．本次設計通過統(tǒng)整數(shù)學課程標準和學科核心素養(yǎng)得到教學目標，根據(jù)標準制定學習目標、設計確定合適的評估證據(jù)再根據(jù)證據(jù)設計教學體驗和活動，通過整合，“函數(shù)的基本性質(zhì)”單元學習目標明確，學生在函數(shù)奇偶性、單調(diào)性等的學習過程中，逐步感悟數(shù)學抽象、數(shù)學運算、邏輯推理等數(shù)學核心素養(yǎng)，教師可以根據(jù)評估證據(jù)相應調(diào)整教學安排，實現(xiàn)高效的教學效果．

（2）教學設計要站在單元設計視角下進行整體規(guī)劃

“函數(shù)的基本性質(zhì)”單元討論的函數(shù)的性質(zhì)包括：奇偶性、單調(diào)性、最值和零點，要理解這些性質(zhì)的研究順序（奇偶性．單調(diào)性·最值·零點），需要認識這些性質(zhì)的內(nèi)在關聯(lián)．函數(shù)的奇偶性可以讓研究的工作量減半，需要事先研究；函數(shù)的單調(diào)性是研究最值的重要工具，需要在最值之前研究；而函數(shù)的零點則作為函數(shù)性質(zhì)的運用，故放在最后研究．在這些性質(zhì)中，單調(diào)性是重點也是難點．

事實上，學生在初中已經(jīng)結(jié)合具體函數(shù)定性地研究過函數(shù)的單調(diào)性、最大值、最小值等性質(zhì)；到高中研究函數(shù)的性質(zhì)，主要是讓學生經(jīng)歷從“定性到定量”的過渡，用數(shù)學符號語言表示，培育數(shù)學抽象核心素養(yǎng)，并解決生活中的函數(shù)模型問題．

（3）目標、評價與教學的一致，是目標達成的根本保障

逆向教學設計的主要不同之處在于為改變忽視評估證據(jù)完整性的思維提供工具和方法，從而達到目標、評估、教學的一致性．本單元設計關注課程標準和學科核心素養(yǎng)的整合，評估設計優(yōu)先于教學設計，評價任務嵌入教學活動和體驗環(huán)節(jié)中，形成“教學一評價一教學”的螺旋式上升環(huán)．這樣一來，評價與教學的一致性就得以體現(xiàn)，也為“函數(shù)的基本性質(zhì)”學習目標的達成提供了根本保障，

參考文獻

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