一道解幾試題的命制、求解、測評及教學啟示*

福建省福清第三中學 (350315) 何 燈福州教育研究院 (350001) 余小萍

2022年4月，筆者有幸參與福州市高二期中考試的命題工作.試卷的壓軸題是一道解析幾何問題，由于經歷了該題的命制、修正、定稿、檢測、閱卷、評價整個過程，筆者對此頗有感觸，遂整理成文，與同仁交流.

1、試題命制

命題雙向細目表中設定最后一道解答題考查橢圓及其性質，考查直線與橢圓的位置關系，體現基礎性、綜合性與創新性，預估難度0.3.

題型設定：參照細目表要求，筆者設定試題第二小題考查直線過定點問題(由于定值較易通過特殊情形猜測得到，故此處規避了定值問題的考查).

素材選取：由于命題時間有限，故筆者嘗試從現有試題入手進行適當的改編.在查詢資料過程中，筆者關注到試題(2022屆皖豫聯盟第二次聯考理科數學第21題)：

(1)求雙曲線C的方程；

(2)設斜率分別為k1,k2的兩條直線l1,l2均經過點Q(2,1)，且直線l1,l2與雙曲線C分別交于A,B兩點(A,B異于點Q)，若k1+k2=1，試判斷直線AB是否經過定點，若存在定點，求出該定點坐標；若不存在，說明理由.

注意到問題(2)結論具有一般性，基于類比思想，筆者嘗試將上述問題遷移到橢圓中.

(1)求橢圓C的標準方程；

(2)設斜率分別為k1，k2的兩條直線l1，l2均經過點A，且直線l1，l2與C分別交于E，G兩點(E，G異于點A)，若k1+k2=1，試判斷直線EG是否經過定點？若是，求出定點坐標，若不是，請說明理由.

存在問題：本題問題(1)考查橢圓標準方程的求解，題型較常規；問題(2)中點A為象限內的點，導致后面計算k1+k2得到的形式較為復雜，給學生運算求解問題增加難度.基于試題重在考查學生思維，而非依賴運算增加學生求解難度，立足本市學情，平衡整卷考查的知識、能力、思想、素養的分布，命題組商討后，建議對試題進行適當調整.