構造向量數量積巧解幾類數學題

廣東省惠州市第一中學 (516007) 李海媚 方志平

我們知道向量集“數”、“形”于一體,尤其是在向量的數量積中，向量模長乘積反映了“數”的特征，向量夾角的余弦反映了“形”的特征.向量數量積的特征決定了它是數學知識的一個交匯點，運用它容易看到知識之間的內在聯系和相互作用，為我們解決數學問題提供了更為廣闊的思維空間．有些看似與向量無關的題目，通過構造向量數量積作為“載體”, 可以使很多棘手，繁雜的問題得以合理、順利地解決.本文例析構造向量數量積，巧妙解決幾類數學問題，希望對同學們的數學學習有所啟發.

1.巧解函數的值域問題

圖1

圖2

∴y∈[-1,3].故原函數的值域是[-1,3].

2.巧解與三角有關的問題

3.巧解代數式的最值問題

例5 設x,y為實數，若4x2+y2+xy=1, 則2x+y的最大值是.

4. 巧證相關不等式問題

我們在構造向量的過程中，首先要觀察題設條件或結論的結構特征，必要時要對條件或結論進行變形，轉變成我們所熟悉的向量模型，再利用向量所具有的性質和定理進行求解．本文中將幾類相關問題轉化為向量的數量積問題，不僅可避繁就簡，而且方法新穎，獨辟蹊徑.構造向量數量積解題可提高學生思維的發散性，開拓他們的思維空間，也是培養學生創新能力的好素材.