在活動(dòng)中建構(gòu)，在想象中提升
——“長(zhǎng)方體的認(rèn)識(shí)”活動(dòng)設(shè)計(jì)與分析

北京市通州區(qū)貢院小學(xué) 王 巖

一、背景分析

“圖形與幾何”領(lǐng)域是小學(xué)數(shù)學(xué)的重要組成部分，其核心價(jià)值是培養(yǎng)學(xué)生的空間觀念。培養(yǎng)學(xué)生的空間觀念是一個(gè)包括觀察、想象、比較、綜合、抽象分析以及推理的過(guò)程。因此，在教學(xué)中，我們不能僅著眼于學(xué)生的知識(shí)技能水平，還應(yīng)致力于采用合理的培養(yǎng)策略，引導(dǎo)學(xué)生在觀察、操作、想象、推理的活動(dòng)中切實(shí)發(fā)展空間觀念。

（一）教學(xué)內(nèi)容分析

“長(zhǎng)方體的認(rèn)識(shí)”是人教版數(shù)學(xué)五年級(jí)下冊(cè)第一單元的內(nèi)容，它既是這一單元的起始課，也是深入研究立體圖形的開始，只有在教學(xué)中，把清晰的“長(zhǎng)方體”要素及各要素之間的關(guān)系儲(chǔ)存在學(xué)生的頭腦中，才有可能為學(xué)習(xí)立體圖形的表面積和體積打下扎實(shí)的基礎(chǔ)。如在長(zhǎng)方體的變化中，讓學(xué)生充分感知長(zhǎng)方體一組棱的長(zhǎng)短決定長(zhǎng)方體的大小，長(zhǎng)方體一組棱的變化會(huì)引起面的大小和體的大小的變化，可以為之后的“體積”教學(xué)埋下伏筆。由此可以看出，本節(jié)內(nèi)容在學(xué)生的幾何知識(shí)結(jié)構(gòu)中，是將靜止的二維空間縱深為能“立起來(lái)”的三維空間的一次重要轉(zhuǎn)化，是學(xué)生后續(xù)學(xué)習(xí)長(zhǎng)方體的表面積、體積和圓柱、圓錐等立體圖形的認(rèn)識(shí)基礎(chǔ)。對(duì)本節(jié)內(nèi)容的理解與探究效果，將直接影響學(xué)生幾何知識(shí)網(wǎng)絡(luò)的構(gòu)建。

通過(guò)對(duì)比北京版、人教版、北師大版三個(gè)版本的教學(xué)內(nèi)容，筆者發(fā)現(xiàn)教材中都設(shè)計(jì)了動(dòng)手操作的內(nèi)容，鼓勵(lì)學(xué)生通過(guò)“摸一摸”“量一量”“比一比”“剪一剪”“做一做”等活動(dòng)來(lái)探索圖形的特征。

在多樣的活動(dòng)中，“做一做”活動(dòng)更加突出。“做一做”活動(dòng)主要包含用小棒、硬紙板制作長(zhǎng)方體，或者用土豆切出一個(gè)長(zhǎng)方體。在這些活動(dòng)中，學(xué)生在選擇材料時(shí)就要思考長(zhǎng)方體的要素及其之間的關(guān)系，在制作過(guò)程中不斷調(diào)整、感悟，同時(shí)體驗(yàn)從三維到二維再到三維的空間轉(zhuǎn)換，從而發(fā)展了自身的空間觀念。

（二）學(xué)生情況分析

長(zhǎng)方體是最基本的立體圖形，通過(guò)認(rèn)識(shí)長(zhǎng)方體，學(xué)生形成了初步的空間觀念，這也是進(jìn)一步學(xué)習(xí)其他立體圖形的基礎(chǔ)。五年級(jí)的學(xué)生已經(jīng)有了認(rèn)識(shí)二維平面圖形的經(jīng)驗(yàn)，但從二維到三維是學(xué)生認(rèn)識(shí)上的一次飛躍。那么，學(xué)生能否直觀辨認(rèn)長(zhǎng)方體？學(xué)生更愿意選擇參與什么活動(dòng)來(lái)建構(gòu)長(zhǎng)方體？帶著這些疑問，筆者對(duì)學(xué)生進(jìn)行了“問卷＋訪談”的課前前測(cè)。

1.下列圖形中，哪些是長(zhǎng)方體或正方體

目的：

（1）檢驗(yàn)學(xué)生對(duì)立體圖形的認(rèn)識(shí)是否由實(shí)物過(guò)渡到抽象的圖形。

（2）檢驗(yàn)學(xué)生是否能區(qū)分長(zhǎng)方體和長(zhǎng)方形。

（3）為下一個(gè)問題——“長(zhǎng)方體特征的認(rèn)識(shí)”提供支撐。

在對(duì)我校五年級(jí)291名學(xué)生的測(cè)試中，有9人認(rèn)為圖形④是長(zhǎng)方體，還有7人認(rèn)為圖形⑦也是長(zhǎng)方體。這兩項(xiàng)約占總?cè)藬?shù)的5.5%?？傮w來(lái)說(shuō)，多數(shù)學(xué)生能夠正確判斷出長(zhǎng)方體，說(shuō)明他們對(duì)長(zhǎng)方體已經(jīng)有了初步的認(rèn)識(shí)。只有少數(shù)學(xué)生不能區(qū)分面與體，還有個(gè)別學(xué)生沒有建立對(duì)長(zhǎng)方體關(guān)鍵特征的認(rèn)識(shí)，對(duì)長(zhǎng)方體的外在形狀沒有感知。

2.長(zhǎng)方體上有什么？它有什么特點(diǎn)？

目的：檢驗(yàn)學(xué)生對(duì)長(zhǎng)方體特征的認(rèn)識(shí)且能否在整體中找到它的各部分要素，并用自己的語(yǔ)言描述出各要素的特征。

調(diào)研結(jié)果如表1。

表1

結(jié)合數(shù)據(jù)及范希爾理論的五個(gè)思維水平進(jìn)行分析，可以看出，五年級(jí)學(xué)生對(duì)長(zhǎng)方體已有較為豐富的生活經(jīng)驗(yàn)和直觀感知，對(duì)長(zhǎng)方體的明顯特征有一定的了解。但多數(shù)學(xué)生對(duì)長(zhǎng)方體特征的認(rèn)識(shí)是碎片式的，只有極少數(shù)學(xué)生能夠完整地說(shuō)出長(zhǎng)方體的特征。大多數(shù)學(xué)生會(huì)探究面、棱、頂點(diǎn)各自的特征，但對(duì)這三者的特征把握往往也是片面的、孤立的，不能從整體中分解出要素，對(duì)各部分要素特征缺乏感知。

針對(duì)這種情況，如何幫助學(xué)生完成對(duì)長(zhǎng)方體特征的認(rèn)知呢？什么樣的活動(dòng)更有利于學(xué)生認(rèn)識(shí)特征，而且學(xué)生又比較感興趣呢？

筆者設(shè)計(jì)了五種活動(dòng)：

①用小棒搭長(zhǎng)方體框架。

②用紙板圍成長(zhǎng)方體。

③利用土豆削出長(zhǎng)方體。

④直接觀察長(zhǎng)方體。

⑤對(duì)比觀察長(zhǎng)方體、圓柱、圓錐及其他立體圖形。

學(xué)生選擇操作順序，結(jié)果見表2。

表2

通過(guò)學(xué)生活動(dòng)及訪談可以看出：

①學(xué)生最感興趣的學(xué)具是小棒拼搭。（好操作）

②搭小棒和用紙板擺長(zhǎng)方體對(duì)認(rèn)識(shí)特征最有幫助。（12個(gè)學(xué)生中有11個(gè)認(rèn)為小棒拼搭和用紙板擺長(zhǎng)方體對(duì)認(rèn)識(shí)特征最有幫助）

③通過(guò)幾種操作，學(xué)生都能完整地說(shuō)出長(zhǎng)方體的所有特征。

根據(jù)上述前測(cè)內(nèi)容，我們可以看出：

①學(xué)生能夠通過(guò)操作活動(dòng)自己發(fā)現(xiàn)特征，課堂上應(yīng)讓學(xué)生在動(dòng)手操作過(guò)程中感悟、理解長(zhǎng)方體的特征。

②搭小棒和用紙板擺長(zhǎng)方體對(duì)學(xué)生認(rèn)識(shí)特征幫助作用最大，因?yàn)檫@兩項(xiàng)活動(dòng)直接指向了長(zhǎng)方體的三個(gè)基本要素——面、棱、頂點(diǎn)。

（三）筆者的思考

根據(jù)以上前測(cè)及分析，筆者在教學(xué)設(shè)計(jì)上著力體現(xiàn)“做中學(xué)”的思想，由“數(shù)”到“搭”再到“想”，讓學(xué)生在操作中明晰長(zhǎng)方體的基本特征，在想象中提升思維水平和發(fā)展空間觀念。具體設(shè)計(jì)如下：

首先，把握學(xué)生起點(diǎn)，在原有認(rèn)知基礎(chǔ)上展開教學(xué)。從生活原型入手，利用幾何實(shí)物，通過(guò)觀察、比較、摸、想象等活動(dòng)喚醒學(xué)生頭腦中對(duì)長(zhǎng)方體的認(rèn)識(shí)，為后續(xù)研究長(zhǎng)方體特征做好鋪墊。

其次，自主選擇材料，在操作體驗(yàn)中認(rèn)識(shí)特征。提供學(xué)具材料，讓學(xué)生在小組合作過(guò)程中選擇材料搭建長(zhǎng)方體框架或利用紙板圍成長(zhǎng)方體，在“做”中不斷地質(zhì)疑、反思、交流。這一環(huán)節(jié)將特征認(rèn)識(shí)與操作活動(dòng)緊密結(jié)合，學(xué)生在操作中再現(xiàn)長(zhǎng)方體的表象，理解長(zhǎng)方體的基本特征，同時(shí)培養(yǎng)了學(xué)生合作交流和動(dòng)手操作的能力。這里突出學(xué)生“做”的活動(dòng)，通過(guò)“做中學(xué)”，學(xué)生的體驗(yàn)和理解會(huì)更深刻。

最后，操作與想象活動(dòng)融合，在想象中拓展空間觀念。通過(guò)制作長(zhǎng)方體，學(xué)生想象棱與棱、體與面、體與體之間的關(guān)系，進(jìn)一步強(qiáng)化對(duì)長(zhǎng)方體特征的認(rèn)識(shí)。此外，安排多層次的想象活動(dòng)，由棱想象面、由面想象體，感悟?qū)嵨锱c立體圖形之間的轉(zhuǎn)換、立體圖與平面圖之間的轉(zhuǎn)化，不斷地在立體與平面之間展開變化與聯(lián)想。這里突出學(xué)生“想”的活動(dòng)，拓展其空間觀念與想象能力。

二、活動(dòng)設(shè)計(jì)

1.活動(dòng)目標(biāo)

在選擇小棒的規(guī)格及數(shù)量的思考過(guò)程中建構(gòu)長(zhǎng)方體，在搭建長(zhǎng)方體過(guò)程中發(fā)現(xiàn)長(zhǎng)方體各要素之間的關(guān)系，發(fā)展學(xué)生的空間觀念。

2.活動(dòng)情境

如果要用一些小棒搭建一個(gè)長(zhǎng)方體框架，需要怎樣選擇材料？

3.核心問題

哪些小棒可以搭建成一個(gè)長(zhǎng)方體？

4.活動(dòng)方式

先獨(dú)立思考，然后小組合作。

5.活動(dòng)時(shí)間

獨(dú)立思考3分鐘，小組合作10分鐘，交流分享15分鐘。

6.學(xué)習(xí)單

（1）結(jié)合材料領(lǐng)取單（見表3），先獨(dú)立思考制作一個(gè)長(zhǎng)方體需要領(lǐng)取材料的規(guī)格及數(shù)量。

表3 材料領(lǐng)取單

三、活動(dòng)實(shí)錄

師：我們今天采用小棒搭建長(zhǎng)方體的方式研究長(zhǎng)方體的特征，請(qǐng)你先結(jié)合老師給的這些材料，自己獨(dú)立思考——你要制作的那個(gè)長(zhǎng)方體需要什么材料？需要的數(shù)量是多少？想好了再和同學(xué)討論。

生獨(dú)立思考后小組討論。

師參與傾聽小組討論。

1組討論：咱們先要制作一個(gè)長(zhǎng)方形的“底座”，這就需要2種小棒，各2根，然后在這個(gè)長(zhǎng)方形的4個(gè)角上立起相同的4根小棒，再做一個(gè)和底座相同的長(zhǎng)方形當(dāng)“蓋”，這樣就需要3種小棒，每種4根。連起來(lái)的地方在“蓋”和“底座”長(zhǎng)方形的4個(gè)角上，所以需要8個(gè)連接器。我想，制作完成后的成品，就像一個(gè)香皂盒。

2組討論：咱們做一個(gè)像牙膏盒那樣的長(zhǎng)方體吧。要做這樣的長(zhǎng)方體，需要用8根最短的小棒做出2個(gè)小正方形，放在兩邊，然后用4根最長(zhǎng)的小棒，放在兩個(gè)小正方形的中間，最后需要8個(gè)連接器把它們連接起來(lái)。

3組討論：咱們分工做，一定做得快，你們2人做長(zhǎng)方體左面的長(zhǎng)方形，2人做長(zhǎng)方體右面的長(zhǎng)方形，我們用小棒把你們做的面連起來(lái)就行了，快行動(dòng)吧！

……

生按照討論結(jié)果領(lǐng)取材料并制作長(zhǎng)方體。

師：下面請(qǐng)大家交流一下你們是如何選材料的，在制作中有什么發(fā)現(xiàn)？

生1：我們選擇的是15厘米的小棒4根，10厘米的4根，7厘米的4根，還有8個(gè)連接器，最終制作出一個(gè)長(zhǎng)方體。我們發(fā)現(xiàn)這個(gè)長(zhǎng)方體一共有12條邊（學(xué)生用手指著長(zhǎng)方體的棱，任意數(shù)1、2、3……），有8個(gè)連接器。

師：誰(shuí)能有序地?cái)?shù)一數(shù)這12條邊？

生2：我先數(shù)左邊4根小棒，再數(shù)右邊4根小棒，最后數(shù)中間4根小棒，一共12條。

生3：我先數(shù)上面4根小棒，再數(shù)下面4根小棒，最后再數(shù)連接上下面的4根小棒，一共12條。

生4：我和他們的方法不一樣，我是數(shù)長(zhǎng)度相等的小棒（學(xué)生指著長(zhǎng)方體的棱），這4根小棒長(zhǎng)度相等，這4根小棒長(zhǎng)度也相等，還有這4根小棒也相等，一共是12根小棒。

師：你們數(shù)得真好，沒有重復(fù)，也沒有遺漏，通過(guò)數(shù)，大家發(fā)現(xiàn)制作一個(gè)長(zhǎng)方體需要12根小棒，這些小棒，在長(zhǎng)方體上叫“棱”（教師相機(jī)板書“棱——12條”），這些連接器在長(zhǎng)方體上叫“頂點(diǎn)”（教師相機(jī)板書“頂點(diǎn)——8個(gè)”）。

師：除了這些，你們?cè)谥谱鞯倪^(guò)程中，還有什么發(fā)現(xiàn)？

生5：我們制作完后，看出這個(gè)長(zhǎng)方體是由6個(gè)長(zhǎng)方形的面組成的。

師：你能有序地?cái)?shù)一數(shù)嗎？

生5：上面、下面，左面、右面，前面、后面，一共6個(gè)面，每個(gè)面都是長(zhǎng)方形。

生6：我們制作成的長(zhǎng)方體不是這樣的，有2個(gè)面是正方形。

師：你們是怎樣選的材料？

生6：我們選的是15厘米的小棒4根，5厘米的小棒8根，還有8個(gè)連接器，我們用8根5厘米的小棒制作出2個(gè)正方形，然后用15厘米的小棒把這兩個(gè)正方形連起來(lái)（邊說(shuō)邊舉了起來(lái)，指給大家看）。

師：看來(lái)長(zhǎng)方體在特殊情況下也可能有兩個(gè)相對(duì)的面是正方形。（板書“面——6個(gè)，長(zhǎng)方體也可能有兩個(gè)相對(duì)的面是正方形”）

師：還有什么發(fā)現(xiàn)嗎？

生7：有的面的大小一樣。如上面和下面一樣大，左面和右面一樣大，前面和后面一樣大。

師：上面和下面、左面和右面、前面和后面都是相對(duì)的，我們可以說(shuō)它們是相對(duì)的面。那么你是怎么判斷它們一樣大的？

生8：一看就感覺一樣大。

師：僅靠“看”來(lái)判斷，沒有說(shuō)服力。

生8：我們?cè)谥谱鞯臅r(shí)候，每個(gè)相對(duì)的面的長(zhǎng)和寬都是用的長(zhǎng)度相同的小棒，所以相對(duì)的面是完全相同的。

師：大家看，盡管兩組同學(xué)做出的長(zhǎng)方體形態(tài)各異，但我們發(fā)現(xiàn)無(wú)論什么樣的長(zhǎng)方體都有12條棱、6個(gè)面，相對(duì)的兩個(gè)面完全相同。

師：剛才老師發(fā)現(xiàn)有的小組沒有搭建成長(zhǎng)方體，你們找到原因了嗎？

生9：我們開始想到了分工完成，只顧著兩邊制作出長(zhǎng)方體，然后把中間連起來(lái)，但忽略了相對(duì)的兩個(gè)面的大小相同，所以在制作的時(shí)候，兩邊的長(zhǎng)方形大小不同，就無(wú)法搭成長(zhǎng)方體。

師：通過(guò)搭建，你們對(duì)長(zhǎng)方體有了怎樣的認(rèn)識(shí)？

生10：我們認(rèn)識(shí)到長(zhǎng)方體相對(duì)的兩個(gè)面完全相同，所以在選擇小棒的時(shí)候要考慮長(zhǎng)度。

師：怎樣選擇長(zhǎng)度？

生10：通過(guò)剛才同學(xué)們所說(shuō)的，每組要選擇4根相等的小棒。

……

四、評(píng)價(jià)反思

通過(guò)本次活動(dòng)，學(xué)生在動(dòng)腦、動(dòng)手的活動(dòng)中體驗(yàn)搭建長(zhǎng)方體，在辨析中認(rèn)識(shí)長(zhǎng)方體的基本特征，在想象中提升思維水平和發(fā)展空間觀念。本次活動(dòng)收到了較好的教學(xué)效果，數(shù)學(xué)活動(dòng)真正成為學(xué)生數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)積累的成長(zhǎng)搖籃。縱觀本次活動(dòng)，有如下特點(diǎn)：

（一）智慧操作，且思且動(dòng)

數(shù)學(xué)活動(dòng)，不僅是操作活動(dòng)，更是思維活動(dòng)的教學(xué)。在學(xué)生制作長(zhǎng)方體的過(guò)程中著力引導(dǎo)學(xué)生想象：操作前想，需要什么材料，要多少；看著材料想，準(zhǔn)備怎么做；做好后想，用了什么材料，怎么做的。尤其是在動(dòng)手制作長(zhǎng)方體的過(guò)程中，學(xué)生不只是憑直觀經(jīng)驗(yàn)利用材料制作長(zhǎng)方體，而是在制作過(guò)程中，更加關(guān)注長(zhǎng)方體的特征及要素之間的關(guān)系。很多同學(xué)在學(xué)習(xí)單上寫道：制作一個(gè)長(zhǎng)方體需要12根小棒，這些小棒可以分為3組，每組4根同樣長(zhǎng)，利用3組面可以圍成一個(gè)長(zhǎng)方體，相對(duì)的面的大小完全相同……由此可以看出，學(xué)生在且思且動(dòng)的操作活動(dòng)中，更好地內(nèi)化了活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，其思維在實(shí)物、幾何體之間不斷轉(zhuǎn)換，這既是對(duì)長(zhǎng)方體的認(rèn)識(shí)的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)積累，又是智慧操作的經(jīng)驗(yàn)積累。

（二）立足差異，對(duì)比提升

由于各小組選擇的小棒規(guī)格和數(shù)量不同，致使有的小組搭成了像香皂盒那樣的長(zhǎng)方體框架，有的小組搭成了像牙膏盒那樣的長(zhǎng)方體框架，有的卻無(wú)法搭成。教師抓住生成，適時(shí)地引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行對(duì)比，及時(shí)點(diǎn)撥，厘清“成”與“不成”的原因。在此活動(dòng)中，促使學(xué)生辨清不同長(zhǎng)方體框架的“棱”和“面”，使學(xué)生抓住長(zhǎng)方體各要素之間的關(guān)系，展開討論。通過(guò)這樣的活動(dòng)，學(xué)生透過(guò)差異，快速高效地看出真相與本質(zhì)，使活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)再一次得到提升與發(fā)展。