從“聯(lián)”向“變”：數(shù)學(xué)整體性教學(xué)的有效策略

江蘇省蘇州市吳中區(qū)華東師范大學(xué)蘇州灣實驗小學(xué) 皋 嶺

系統(tǒng)論認為，人們對事物的認知具有整體性。所謂“整體性”，簡而言之就是“整體大于部分之和”，即它不僅表示包含事物各部分或要素的個體特性，還表示事物各部分或要素個體特性之和以外的整體特性?；谡w性視角，我們在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，要充分發(fā)掘各部分或要素之間存在的關(guān)聯(lián)，催生單一部分或單個要素不具備的整體性變化，追求“1+1＞2”的教學(xué)效果。為此，從“關(guān)聯(lián)”趨向“變化”就成了開展數(shù)學(xué)整體性教學(xué)的有效策略，也成為促進學(xué)生形成與發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的重要保障。

一、分析缺“聯(lián)”少“變”的教學(xué)現(xiàn)象

（一）只見樹木，不見森林

在義務(wù)教育階段數(shù)學(xué)課程內(nèi)容的實施過程中，教師往往采用分課時的方式，把相關(guān)聯(lián)的數(shù)學(xué)課程內(nèi)容拆分成一個個分散的“點”來進行組織教學(xué)。一些對課程內(nèi)容缺乏整體把握的教師，不能抓住課程內(nèi)容各部分之間的關(guān)聯(lián)與變化，人為割裂課程內(nèi)容的整體性，使得數(shù)學(xué)課程的實施“只見樹木，不見森林”。如教師就點教點，每個教學(xué)課時僅對單一知識點進行教學(xué)與訓(xùn)練，缺乏與相關(guān)知識點的關(guān)聯(lián)，從而形成“碎片化”的教學(xué)樣態(tài)；就題論題，不在類似數(shù)學(xué)問題的聯(lián)系與變化中，揭示一類問題背后所蘊藏的相通的數(shù)學(xué)思想方法，而是采用“孤立化”的教學(xué)方式；就方法講方法，對待數(shù)學(xué)方法的多樣化與優(yōu)化問題缺少整體視角，最終形成“單一化”的解決問題的方法。

（二）撿了“芝麻”，丟了“西瓜”

數(shù)學(xué)教材編制的課程內(nèi)容，以單元為單位，通過例題、練習等方式呈現(xiàn)學(xué)生探索的數(shù)學(xué)問題，并且通過大量配套的例題與練習，把需要學(xué)生鍛煉形成的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)隱含其中。數(shù)學(xué)課堂教學(xué)如果僅僅為了得到一道道例題與練習的正確答案，而忽略發(fā)掘例題與練習背后關(guān)聯(lián)著的數(shù)學(xué)思想方法，缺少對零散教學(xué)內(nèi)容關(guān)聯(lián)與變化的整體提煉，將會使學(xué)生停留在數(shù)學(xué)學(xué)習的表層，而無法達到數(shù)學(xué)思想方法上的底層貫通。那么，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)終究會是一句空話。正如，我們撿了完成一道道例題與練習教學(xué)表層的“芝麻”，卻丟了這些例題與練習教學(xué)深層的“西瓜”。

（三）坐而論道，紙上談兵

小學(xué)是學(xué)生系統(tǒng)學(xué)習數(shù)學(xué)的起始階段，小學(xué)階段的數(shù)學(xué)學(xué)習內(nèi)容與學(xué)生實際生活有著廣泛的聯(lián)系。因此，在數(shù)學(xué)課程的實施過程中，教師要十分重視讓學(xué)生在解決日常生活中的數(shù)學(xué)問題的同時，增長知識。只有將數(shù)學(xué)學(xué)科知識與學(xué)生生活體驗進行關(guān)聯(lián)，學(xué)生所掌握的數(shù)學(xué)知識才能變得靈動而有張力。為此，教師應(yīng)帶領(lǐng)學(xué)生走進數(shù)學(xué)問題的真實情境，尋求解決數(shù)學(xué)問題的方法，形成數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力和必備品格。而在實際的數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，有些教師往往過于強調(diào)學(xué)習內(nèi)容的知識性，忽略了知識應(yīng)用的實踐性，出現(xiàn)許多脫離學(xué)生生活實際與活動體驗的低效教學(xué)。學(xué)生也在這樣的教學(xué)中逐漸失去對數(shù)學(xué)學(xué)習的興趣與動力，從而出現(xiàn)“坐而論道，紙上談兵”的教學(xué)現(xiàn)象。

二、發(fā)掘需“聯(lián)”求“變”的內(nèi)涵價值

關(guān)聯(lián)是整體性的重要特征，變化是整體性的表現(xiàn)形式。有了關(guān)聯(lián)，整體包含的各個部分或要素才會組成相互聯(lián)系的有機整體；有了變化，整體也就表現(xiàn)出各個部分或要素個體特性之和以外的整體特性。整體性觀照下的數(shù)學(xué)教學(xué)離不開關(guān)聯(lián)與變化，教師需要發(fā)掘出數(shù)學(xué)教學(xué)中原本隱含的關(guān)聯(lián)與變化，才能凸顯數(shù)學(xué)整體性教學(xué)的價值。結(jié)合數(shù)學(xué)課程的實施，需“聯(lián)”求“變”不僅是數(shù)學(xué)課程內(nèi)容實施的客觀需要，還是學(xué)生構(gòu)建完備數(shù)學(xué)認知的重要途徑，更是學(xué)生鍛煉并獲得數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的重要保障。

（一）是數(shù)學(xué)課程內(nèi)容體系的建構(gòu)方式

義務(wù)教育階段數(shù)學(xué)課程內(nèi)容編排以學(xué)段為單位，課程內(nèi)容相互關(guān)聯(lián)，逐段遞變，螺旋上升，構(gòu)成相對系統(tǒng)的知識結(jié)構(gòu)。課標強調(diào)，為實現(xiàn)核心素養(yǎng)導(dǎo)向的教學(xué)目標，不僅要整體把握教學(xué)內(nèi)容之間的關(guān)聯(lián)，還要把握教學(xué)內(nèi)容主線與相應(yīng)核心素養(yǎng)發(fā)展之間的關(guān)聯(lián)?？梢?，關(guān)聯(lián)及其催生的變化是課標實施的重要理念。

（二）是數(shù)學(xué)有效課堂教學(xué)的重要抓手

有效的數(shù)學(xué)課堂教學(xué)需要教師在數(shù)學(xué)知識的關(guān)聯(lián)中，把握內(nèi)容貫穿的主線，找準學(xué)習起點，厘清數(shù)學(xué)學(xué)習脈絡(luò)，促進學(xué)生沿著內(nèi)容主線整體性地學(xué)。有效的數(shù)學(xué)課堂教學(xué)還需要教師在諸多教學(xué)要素的關(guān)聯(lián)中，把握內(nèi)容的主次地位，凸顯核心知識，幫助學(xué)生根據(jù)內(nèi)容的重要性由主及次整合地學(xué)。

（三）是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)落地的務(wù)實行動

數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習過程中逐漸形成的，是他們面向未來社會和個人發(fā)展所必備的重要素養(yǎng)。在教學(xué)中，教師不僅要重視數(shù)學(xué)知識體系內(nèi)部的關(guān)聯(lián)，還要重視數(shù)學(xué)與其他學(xué)科知識之間、數(shù)學(xué)與科學(xué)技術(shù)和社會生活之間的關(guān)聯(lián)，在豐富而靈動的關(guān)聯(lián)中，讓學(xué)生理解“萬變不離其宗”的數(shù)學(xué)規(guī)律及其包含的基本數(shù)學(xué)思想，學(xué)會用數(shù)學(xué)的眼光觀察、用數(shù)學(xué)的思維思考、用數(shù)學(xué)的語言表達現(xiàn)實世界，從而形成和發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

三、實施從“聯(lián)”向“變”的有效策略

（一）上下關(guān)聯(lián)，變短為長

數(shù)學(xué)知識的產(chǎn)生與來源、發(fā)展與變化、綜合與應(yīng)用等具有聯(lián)系緊密的內(nèi)在結(jié)構(gòu)，有效的數(shù)學(xué)課程實施需要順應(yīng)數(shù)學(xué)知識的內(nèi)在發(fā)展脈絡(luò)進行上下關(guān)聯(lián)，在內(nèi)容上連接知識“點”，形成結(jié)構(gòu)“鏈”，變“短聚焦”為“長視程”，幫助學(xué)生用整體的、聯(lián)系的、發(fā)展的眼光研究數(shù)學(xué)現(xiàn)象，促進學(xué)生對數(shù)學(xué)知識體系的整體性建構(gòu)與全方位認知。

例如，教學(xué)“三角形的高”時，在學(xué)生初步掌握三角形高的概念后，教師展開如下探究：

1.“三角形的高”與“直線外一點到這條直線距離”相聯(lián)系

課件先隱去三角形中與這條高無關(guān)的兩條邊，保留一組相對的頂點、底及高（如圖1），讓學(xué)生將其與以前學(xué)習的“直線外一點到直線的距離”（如圖2）進行比較。

圖1

圖2

2.“三角形的高”與“兩條平行線之間的垂直線段”相聯(lián)系

在釘子板上平移三角形的這個頂點，圍出不同的三角形，讓學(xué)生找出它們的高（如圖3），比較并思考為什么這些三角形高的長度相等。

圖3

3.“三角形的高”與“銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形”相聯(lián)系

在釘子板上把這個頂點繼續(xù)向一邊平移，得到直角三角形、鈍角三角形（如圖4），研究并理解這三種不同類型三角形的高所具有的共同特質(zhì)。

圖4

（二）左右關(guān)聯(lián)，變小為大

鄭毓信教授指出，整體性教學(xué)“應(yīng)當超出單獨的每一節(jié)課、每一具體的學(xué)習內(nèi)容并從更大范圍進行分析與思考”。教師要從分散在不同單元板塊、不同類型的數(shù)學(xué)知識中，整合具有內(nèi)在關(guān)聯(lián)的內(nèi)容進行學(xué)習，體現(xiàn)數(shù)學(xué)知識的左右橫向關(guān)聯(lián)，放大數(shù)學(xué)探究視域，在復(fù)雜數(shù)學(xué)知識中探索共性規(guī)律，形成簡約認知，從而減輕學(xué)生的學(xué)習負擔，提升他們的數(shù)學(xué)學(xué)習成效。

例如，在教學(xué)“乘法分配律”時，教師通過畫點子圖、長方形面積計算、豎式計算等形式，讓學(xué)生充分理解乘法分配律的要義。

（1）出示問題：光明小學(xué)四年級有10個班，五年級有8個班，每個班領(lǐng)24個籃球，四、五年級一共要領(lǐng)多少個籃球？

（2）用點子圖直觀表示四、五年級

（三）內(nèi)外關(guān)聯(lián)，變靜為動

學(xué)生學(xué)習數(shù)學(xué)需要強化內(nèi)部的數(shù)學(xué)知識與外部的其他學(xué)科知識、科學(xué)技術(shù)和社會生活之間的聯(lián)系，在實際情境和真實問題中，經(jīng)歷發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題、解決問題的過程，積累活動經(jīng)驗，變靜態(tài)的數(shù)學(xué)知識為靈動的思想方法，促進核心素養(yǎng)的形成和發(fā)展。

例如，在學(xué)習“折線統(tǒng)計圖”這一單元時，教師設(shè)計“身高增長的秘密”主題活動，讓學(xué)生運用折線統(tǒng)計圖的相關(guān)知識研究少年兒童身高增長的規(guī)律。

（1）收集整理自己一年級入學(xué)以來逐年體檢的身高數(shù)據(jù)，繪制自己一到五年級身高增長變化情況的單式折線統(tǒng)計圖，研究了解哪一階段身高增長得較快，哪一階段身高增長得較慢。

（2）根據(jù)《中國兒童身高管理現(xiàn)狀調(diào)研報告》提供的標準身高數(shù)據(jù)，選擇與自己同性別的標準身高數(shù)據(jù)，繪制自己一到五年級以來身高增長與同性別標準身高變化進行對比的復(fù)式折線統(tǒng)計圖，研究自己的身高與同性別標準的身高比較情況。

（3）繪制3～15周歲男生和女生標準身高變化情況的復(fù)式折線統(tǒng)計圖，研究了解不同性別少年兒童身高增長的普遍規(guī)律。

（4）將自己的身高增長變化與其他同性別學(xué)生進行比較，研究了解促進身高增長的因素，科學(xué)制訂計劃。

實踐證明，從“聯(lián)”向“變”不僅充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)教學(xué)的整體特質(zhì)，還是形成和發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的有效教學(xué)策略，在學(xué)生綜合素質(zhì)的全面提升中發(fā)揮著重要作用。