圓錐曲線“最值問題”的解題表設計探究
——基于波利亞“怎樣解題”的思想

◎溫 定

(華南師范大學數學科學學院,廣州 510000)

一、簡介

在歐洲文藝復興期間，數學也得到了極大的發展，Rene Descartes和Pierre de Fermat等數學家開時代之先河，創立并發展了解析幾何這一全新的幾何學分支，實現了代數與幾何的完美融合在高中數學的知識體系中，以圓錐曲線為主要研究對象的平面解析幾何占據了極其重要的位置，其中的“最值問題”更是在近些年的高考題中頻頻出現，很大程度上考驗了高中生的直觀想象和數學運算等數學核心素養波利亞“怎樣解題”的思想源自匈牙利數學家George Polya，這一思想采取問題引導的形式，循序漸進地啟發學生對某一問題進行探索，極大體現了元認知策略在解題過程中的應用這一思想不僅能以程序化的形式為學生提供解題思路，更能啟迪學生學會如何思考問題，培養他們獨立探索的能力

為了更好地引導學生樹立良好的解題習慣，培養正確的解題思路，提高問題解決和知識遷移的能力，筆者基于波利亞“怎樣解題”的思想，以一道高考題為例，探究設計了高中數學圓錐曲線部分關于“最值問題”的解題表

二、解題表的設計探究——以一道高考題為例

例題呈現 (2021年全國乙卷數學(理)第21題)

已知拋物線:=2(>0)的焦點為，且與圓:+(+4)=1上點的距離的最小值為4

(1)求;(2)若點在上，,是的兩條切線，,是切點，求△面積的最大值

第二問：這是一個經典的圓錐曲線“最值問題”，本文將以該題為例，基于波利亞“怎樣解題”的思想，探究圓錐曲線“最值問題”解題表的設計

(一)弄清問題，明確幾何對象和待求最值

在弄清問題階段，我們的主要工作是明晰已知與未知，理清整個問題的來龍去脈根據波利亞“怎樣解題”的思想，我們將從引導語“未知數是什么”“已知數據是什么”“條件是什么”中得到一些啟發

1未知數是什么？

顧名思義，對于“最值問題”而言，它的未知數是明確的，就是題目需要我們求解的最值因此，這里的引導語可以改寫為“問題需要我們求解的最值是什么？”，具體到例題，它要求我們計算的最值是“△面積的最大值”

2已知數據是什么？條件是什么？

圖1 表征題目的草圖

就研究對象而言，圓錐曲線的“最值問題”仍然屬于幾何學問題的范疇，它具有幾何學問題共有的一些特點，直觀性就是其中之一對于某一具體的幾何問題，常常可以借助繪制草圖的方法對問題進行直觀的描繪和解析，幫助解題者更為直觀明了地理解這個問題因此，在弄清問題這一階段，需要盡可能地畫出相應的草圖，對問題進行可視化表征我們根據題設條件，可以繪制例題對應的草圖如圖1所示

而后，結合問題描述和草圖呈現，可以對問題中所涉及的幾何對象進行一一羅列，并闡明它們的幾何意義，賦予它們適當的符號假設和代數表示(如表1所示)

表1 題目所涉及幾何對象及其意義

同時，為了充分運用問題中的條件，還需要我們結合問題描述和草圖呈現，盡可能完整地羅列出各個幾何對象之間的聯系具體而言，我們可以在題目中挖掘出以下幾何關系：條件①：點在圓上；條件②：直線,是拋物線的兩條切線，切點分別為,；條件③：直線與拋物線分別交于,兩點

我們可以為“最值問題”具體地添加這些引導語：“你能繪制出這個問題對應的草圖嗎？”“結合問題描述和草圖呈現，你可以明確哪些幾何對象？它們有相應的符號假設和代數表示嗎？如果沒有，你能否為它們加上？”“這些幾何對象之間有什么關系？你可以把它們一一羅列出來嗎？”

(二)擬定計劃，將原問題代數化

在擬定計劃這一階段，旨在找出已知數與未知數之間的聯系，構思出一個解決問題的計劃具體到圓錐曲線“最值問題”的求解計劃，就是要利用解析幾何的工具，分別將幾何關系和待求最值代數化，得到相應的代數方程和代數式，并建立二者之間的代數學聯系，將圓錐曲線“最值問題”轉化為代數學意義上的“最值問題”

1幾何關系代數化

根據歸納的幾何關系，結合所學知識，我們可以得到如下代數方程：

(1)條件①的代數化：

由于點在圓上，故(,)滿足圓的方程，即

(1)

(2)條件②的代數化：

首先，根據條件我們可以認識到，點,在拋物線上，從而有

從而，直線,的方程可以表示為

(2)

(3)條件③的代數化：

為了研究直線與拋物線之間的相交關系，我們首先要獲得直線的方程，此處可以從前面求得的直線,的方程出發，展開思考由于點既在直線上，又在直線上，故根據(2)式，有

回到條件③，直線與拋物線分別交于,兩點，那么，聯立兩者的方程，得

-2+4=0,

(3)

并有

=(-2)-4·4=4·(-4)>0,

又由韋達定理，得+=2,=4

2待求最值代數化

而后，需要再觀察問題中需要我們求解的最值，它是否為代數式的形式，如果不是，也應將其進行代數化具體到這一例題，“△面積的最大值”的確不是以一個代數式的形式出現，因此，首先需要將其進行代數化，即將其表示為(△)并且，根據三角形的面積公式，有

其中，表示點到直線的距離，由點到直線的距離公式可得

||表示線段的長度，由弦長公式可得

那么，有：

3問題的代數化

總而言之，解題表中的引導語可以寫為：“你能夠將這些幾何關系進行代數化，得到相應的代數方程嗎？”“待求最值是代數形式嗎？如果不是，你可以將它進行代數化嗎？”“你可以運用代數學的方法，利用所得的代數方程求解得到代數式的最值嗎？”

(三)執行計劃，利用代數學方法求解最值

這一部分的實現，主要取決于代數方程的完整性和解題者的代數學功底一方面，如果這個“最值問題”本身是可解的，那么只要保證了代數方程的完整性，一般可以借由這些代數方程推導出代數式的最值，即問題中需要我們求解的最值另一方面，這里所涉及的代數方程通常為元一次方程或分式方程，代數式的最值求解用不等式或函數方法一般都可以實現不過，對于不同的問題，其運算量往往是參差不齊的，這就要求學生具有較為良好的數學運算核心素養和扎實的代數學功底

由代數方程(1)，可以得到=1-(+4)，且-5≤≤-3

從而-4=1-(+4)-4=--12-15=-(+6)+21則當=-5時，有：

(-4)=[-(+6)+21]=-(-5+6)+21=20

此時，△的面積取得最大值，即

至此，已經給出了整個問題的完整解答過程

歸結而言，這一部分的引導語可以改寫為：“按照你的計劃，運用代數學的方法，根據所獲得的代數方程求解代數式的最值，進而獲得問題中的最值”“在求解過程中，檢驗你的演算過程是否正確”

(四)回顧反思，探索新法，推廣結論

在回顧反思階段，旨在回溯和反思整個過程，挖掘解題要點，并探索其他解題思路和結論的推廣

1其他方法的探索

回溯上文的步驟，我們以平面直角坐標系為依托，基于幾何對象的一般方程，將已知對象和已知條件轉化為相應的代數方程，并利用三角形面積公式，將待求最值轉化為相應的代數式，從而將整個問題進行代數化，最后運用代數學的方法得到了問題的結果此處，我們可以從代數方程的形式和三角形面積的計算方法兩個方面入手，探尋新的解題思路

一方面，可以適當地將一般方程替換為參數方程對于圓上的一點，可以借由圓的參數方程，將其坐標表示為(cos,-4+sin)，那么就有：

另一方面，可以從三角形的面積計算方法入手，這里主要介紹圖形割補法和三角形面積的向量公式兩種方案

圖2 圖形割補法示意

后續步驟略

進而有:

所以得到：

后續步驟略

2問題的一般化推廣

綜上所述，回顧反思階段的引導語可以表述為“你是否可以采用其他方法得出這一結果？譬如應用不同形式的代數方程或不同類型的計算公式”“你可以將原問題的結論進行推廣嗎？”

三、結果呈現

綜上所述，可以整理得到圓錐曲線“最值問題”的解題表如表2所示

表2 圓錐曲線“定值問題”的解題表

四、應用與推廣

本文結合了波利亞“怎樣解題”的思想和圓錐曲線“最值問題”的特點，探究設計了“最值問題”的解題表，旨在引導學生理清“最值問題”的結構，對“最值問題”的求解和反思有一個更為清晰的認識具體而言，就是“啟發式”地運用幾何直觀和代數形式對問題進行表征，明晰問題中的已知與未知，將問題進行代數化，最后借助代數學的方法對幾何問題進行求解，感悟幾何與代數的碰撞這不僅可以為學生的解題和反思提供一定的引導，也可以為教師的題目講授提供一定的教學參考

在高中階段，圓錐曲線部分的知識涉及面廣，還包括了定值問題、存在性問題等綜合類問題本文設計的解題表主要適用于圓錐曲線部分的“最值問題”，對于其他類型的問題具有較弱的適用性，但仍有一定的參考作用目前，國內大多數運用到波利亞解題思想的研究都是針對某一個具體的題進行分析，對于某一類問題的解題表設計較為少見，值得后來者繼續研究與探索