基于數學思想方法的數列教學探究

付 迪

? 山東省濟南市萊蕪第一中學

現代數學教學觀認為,應該著重發展學生的思維,提高數學能力.現代教育的核心是全面提高學生的素質.而這些任務的具體實現,在很大程度上依賴于數學方法的教學.我國數學課程標準已將數學思想方法的學習列入基礎知識的范疇,并提出了明確的要求.要發展學生的思維、培養數學能力、提高文化素養,就必須讓學生了解數學知識形成的過程,明確其產生和發展的外部與內部的驅動力.而在數學概念的確立、數學事實的發現、數學理論的推導以及數學知識的運用中,所凝聚的思想和方法,乃是數學的精髓.它會對學生的思維及整體文化素質產生深刻而持久的影響,使學生受益終生.

數列是高中數學的重要組成部分.教學中,教師不僅要引導學生掌握數列部分的核心內容,更要讓學生體悟數列中蘊含的數學思想方法.只有讓學生站在數學思想方法的高度看數列問題,才能達到“統領全局”和“一覽眾山小”的數學學習境界.那么,在數列教學中,教師應引領學生把握哪些基本的數學思想方法呢?對此,筆者做了些許研究,現總結如下,算是拋磚引玉,與同仁共探.

1 函數思想

數列是一類特殊的函數.既然數列是函數,那么,教師就應該引導學生用函數的思想去認識和解決數列問題.

例如,在數列的教學中,教師應讓學生認識到等差數列的通項公式具有一次函數的特征,等差數列的前n項和公式則具有二次函數的特征;等比數列的通項公式和前n項和公式都與指數型函數有著“親密”的關系.基于函數的觀點去理解數列,能幫助學生抓住數列問題的本質,從而使學生對更多數列問題的理解達到一個新的高度.

例1已知數列{an}是等差數列,數列{bn}是等比數列,其公比q≠1,且bi>0(i=1,2,3,……),若a1=b1,a11=b11,則( ).

A.a6=b6B.a6>b6

C.a6b6或a6

分析：方法1,基本不等式法.由q≠1,得b1≠b11.

又因為b1>0,b11>0,所以

圖1

方法2,利用函數思想.把等差數列看成定義在正整數集上的一次函數,把等比數列(q≠1)看成定義在正整數集上的指數型函數.由a1=b1,a11=b11可知,函數圖象有兩個交點,如圖1所示.顯然a6>b6,且當1bn成立;當n>11時,都有an

以上兩種方法,第一種方法看似簡捷,但學生不易想到,而第二種方法通過數列特征的理性分析和函數圖象的直觀感覺,學生更容易接受.第二種方法這種解決問題的思想更接近學生思維的最近發展區,函數思想能讓學生把數列問題看得更清,把握得更準.

2 方程思想

數學運算是數學核心素養之一.在數列問題中,常常需要用到基本量法,而等差數列有兩個基本量a1,d,等比數列也有兩個基本量a1,q.等差數列與等比數列的兩類基本問題,即通項公式an與前n項和Sn都可以用基本量來表示.因此,求數列中相關的量可以通過列出關于兩個基本量的方程組來求解,這是一種基本思想,也是處理數列的基本方法,應要求學生牢固掌握.

例2在等比數列{an}中,已知a1+a2=40,a3+a4=60,則a7+a8=.

分析：本題可以將等比數列的首項a1和公比q作為基本量來列方程組,再適當利用整體思想進行運算與簡化.

本題的解答如下:

或許有人認為,本題采用等比數列的基本性質求解更簡捷.因為數列{an}是等比數列,所以a1+a2,a3+a4,a5+a6,a7+a8也成等比數列,進而可以更加簡便快捷求出問題的答案.但需要注意的是,數列教學中,教師是要教給學生解決問題的特殊技巧,但更要教會學生最常用的基本方法.

3 化歸與轉化思想

教會學生把握數學的本質,從某個角度看,就是教會學生化歸與轉化的思想方法.等差數列與等比數列是數列中最基本的兩個數列,說其基本,是因為其他數列問題常常可以轉化為這兩個基本數列來解決.在轉化過程中,不僅能提升學生的邏輯推理素養,而且能提升學生利用這兩個基本數列解決問題的能力.因此,在教學中,教師需要讓學生深刻領悟化歸與思想的作用,

(1)令bn=an+1-an-1,求證:數列{bn}是等比數列.

(2)求數列{an}的通項公式.

分析：本題第(3)問屬于存在性探究類問題,主要考查學生的轉化能力,有一定難度.借助此題考查學生對化歸與轉化思想的領悟.

第(3)問的解題思路如下:

這里值得一提的是,函數迭代和數列遞推是新課標高考綜合題常用到的思想方法.這類問題從本質上看,是考查函數的性質和函數方法在數列中的應用.與此同時,利用迭代和遞推也經常可以實現由一般數列向等差數列、等比數列的化歸與轉化,深刻考查轉化的數學思想.

4 分類討論思想

例4已知數列{an}為等差數列,且滿足a1=2,a1+a2+a3=12.

(1)求數列{an}的通項公式;

(2)令bn=anxn(x∈R),求{bn}的前n項和.

分析：(1)利用基本量法和方程思想,容易求得an=2n.

例4涉及等比數列求和.當公比為一個數值時,等比數列求和問題難度不大,只需嚴格按照等比數列的求和公式實施運算即可,但當公比是一個未知的參數時,由于受思維定式的影響,學生往往還是“依瓢畫葫蘆”,缺乏分類討論的意識.為了提高學生的“免疫力”,在數列教學中,教師可以加強這類問題的訓練,以此來培養學生數學思維的嚴謹性與廣闊性,提升學生的數學素養.

總之,數學思想方法的學習可以使學生有意識、有目的,并自覺地把數學知識轉化為數學能力,最終通過自身的領悟轉化為創造性能力.因此,在數列教學中,加強學生對數學思想方法的學習和領悟,是培養學生分析問題和解決問題能力的重要方法,也是培養學生數學核心素養的重要途徑.