修正LBM對SiO2漿體在漿料直寫中的流動分析

姜 杰，顧 海，張 捷，李 彬

（1.南通理工學院機械工程學院，江蘇 南通 226002；2.江蘇省3D打印裝備及應用技術重點建設實驗室，江蘇 南通 226002）

1 引言

陶瓷材料因其耐高溫，耐腐蝕以及穩定性好等優點，已被廣泛應用于航空航天、火力發電、冶金、工程機械、醫學及藝術教育等重要領域[1]。近些年，3D打印技術為陶瓷材料成形提供了新的思路，其中漿料直寫技術簡單易實現，可有效縮短形狀不復雜的工件的成形時間，成形過程中不需要激光加工，與光固化成形或選擇性激光燒結相比，加工成本較低。在常見的漿料直寫技術的成形裝置中[2]，漿體擠出是通過針筒結構結合泵來實現的，除此常見方法外，高分子加工中常用的螺桿擠出結構也是一種行之有效的方法，常被用于食品加工運輸、建筑工程及機械工程等領域，因此將使用單螺桿擠出形式作為陶瓷漿體的出料形式[3-5]。

作為一種新的結構形式，需要對漿體流動過程進行深入探究，常見的方法為有限元分析，考慮到陶瓷漿體流變形式較為復雜，使用Fluent等軟件時，極易出現發散的情況，且無法驗證分析結果的準確性。近些年發展起來的LBM具有計算簡單，編程易實現的優點，已獲得廣泛應用[6-7]。將采用LBM對漿體在螺桿中的流動進行數值模擬。根據前人的研究發現，對于陶瓷漿體類的非牛頓流體，LBM需要改進以保持穩定性和準確性[8]。這里將對LBM 進行改進，結合MATLAB 編程實現對陶瓷漿料在螺桿的螺槽內流動的情況進行分析。

2 SiO2陶瓷漿體流變方程構建

制備陶瓷漿料的原始材料包括季戊四醇三丙烯酸酯、苯偶酰、季戊四醇三丙烯酸酯以及甲基丙烯酸甲酯，上述四種材料作為有機溶劑，混合后均勻加入二氧化硅粉末，同時高速攪拌幫助粉末迅速溶解，最終獲得固相含量為70.2%的備用漿料。制備漿料后，利用粘度計進行流變實驗，采用冪律流體、Bingham流體以及Herschel-Bulkley 流體等三種常見流變模型進行擬合，利用MATLAB對實驗結果進行處理后相關系數，如表1所示。

表1 三種模型擬合相關系數R2對比Tab.1 Comparison of Correlation Coefficient R2 for Three Models

結果表明，SiO2陶瓷漿體呈現出典型的非牛頓特征，且在三種常見非牛頓流體中，流變特征與冪律流體更貼切，擬合后具體的方程為：

式中：τa—剪切應力；—剪切率。

3 冪律流體的修正LBM

對于非牛頓流體，標準的LBM進行仿真時，極易出現發散的情況，為了保證模擬過程的穩定性，提出一種修正LBM，以含外力項的LBM為基礎，將冪律流體的非牛頓特性看成一種特殊的外力項。標準含外力項的LBM演化方程[9]，如式（2）所示。

其中，速度矢量ei的具體描述，如式（3）所示。在式（2）中，外力項的計算公式為：

宏觀物理量速度u，密度ρ可以根據平衡態分布函數以及格子聲速獲得，具體如下式所示：

這里選用LBM 中常見的D2Q9 模型，因此，聲速cs=權重參數ωi的具體形式，如式（7）所示。

根據各向同性約束條件，可以獲得：

式中：δxy—克羅內克函數。基于Chapman-Enskog 的展開形式，分布函數和動量張量可以擴展為[10]：

對于諸如Herschel-Bulkley流體之類的非牛頓流體，應變率張量Sxy的計算公式，如式（13）所示。

動力粘度與松弛時間τ和密度ρ的關系如下。

那么，根據式（11）～式（14）可以將式（10）轉換為：

對于不可壓縮流體，動量張量也可以通過下式計算獲得：

由式（10）～式（16），應力張量σxy可以推導獲得：

根據式（13），應變率張量的第二不變量DII可以由下式計算獲得：

式中：維度l=2。那么剪切率即可通過下式獲得：

綜上所述，對非牛頓流體的LBM數值模擬過程將受到松弛過程的影響，因此仿真計算的穩定性和準確性將受到粘度的影響，而粘度主要通過剪切率計算后獲得。當剪切率接近于0時，剪切變稀型流體粘度趨向于無窮大，這將引起計算的發散，而剪切增稠型流體粘度將趨向于0[11-12]。為了解決上述問題，將針對式（2）中的外力項進行改進，用以描述冪律流體的非牛頓特性。結合式（13），式（17）可改進為，如式（20）所示。

根據Navier-Stokes方程在不可壓縮極限下的Chapman-Enskog展開，可獲得式（21）：

進一步化簡可以得到：

將上式代入式（4）可得：

4 SiO2陶瓷漿體在螺桿中的流動分析

4.1 螺桿的結構形式

單螺桿的基本結構圖，如圖1所示。它的關鍵尺寸，如表2所示。將其充分展開后呈現出腔體結構，如圖2所示。SiO2陶瓷漿體在原螺道內的流動即可轉換成其在腔體內的流動。

圖1 螺桿結構Fig.1 Structure of Screw Extruder

表2 螺桿的關鍵幾何參數Tab.2 Key Geometrical Factors of Screw Extruder

圖2 螺桿展開結構Fig.2 Expanded Structure of Screw Extruder

4.2 流動分析

取圖2中的Y-Z組成的截面，根據螺桿擠出的實際運動，將速度僅設定在與Z方向一致的上表面，根據表1中列出的螺槽的幾何尺寸，設置模擬時的格子數為（200×100），螺桿的轉速設定為N=40r/min，通過模擬分析可以獲得的流線圖，如圖3所示。

圖3 漿體在Y-Z截面的流線圖Fig.3 Streamlines Figure of Paste in Section Y-Z

橫截面流動區域的上側為螺桿外筒的內壁，左右兩側分別為螺桿螺槽的兩個壁面，下側則對應螺桿桿芯的外壁，流場圖，如圖3所示。流場的中心在（5mm，3.6mm）附近，流動中心在兩螺棱中間貼近外筒內壁面處，除了沿螺道方向前進外，漿體在相鄰兩個螺棱內壁之間存在環流。在螺棱與螺桿外壁形成的角落里則沒有明顯流動存在。

水平速度方向u沿螺槽兩向的分布的情況，如圖4、圖5 所示。其中圖4為速度分量u沿螺槽寬度方向的分布情況，速度分量u沿螺槽深度方向的分布情況，如圖5所示。由圖可知，在不同螺槽深度時，速度差異較大，靠近外筒內壁面的速度較大，而貼近螺桿表面的速度則相對較小且趨近于0，且在兩螺棱相對中間的位置將保持相對平穩的速度流動。

圖4 速度分量u沿螺槽寬度的分布Fig.4 Distribution of Velocity u Along Screw Width

圖5 速度分量u沿螺槽深度的分布Fig.5 Distribution of Velocity u Along Screw Depth

垂直速度方向v沿螺槽兩向的分布的情況，如圖6、圖7所示。

其中速度分量v沿螺槽寬度方向的分布情況，如圖6 所示。速度分量v沿螺槽深度方向的分布情況，如圖7所示。由圖可知，在不同螺槽深度時，垂直速度分量差異明顯，靠近外筒內壁面的速度較大，而貼近螺桿表面的速度則相對較小且趨近于0，從螺槽寬度看，兩螺棱中間位置垂直速度為0。

圖6 速度分量v沿螺槽寬度的分布Fig.6 Distribution of Velocity v Along Screw Width

圖7 速度分量v沿螺槽深度的分布Fig.7 Distribution of Velocity v Along Screw Depth

5 結論

為了理解SiO2陶瓷漿體在漿料直寫技術中螺桿擠出的流動情況，基于傳統含外力項的LBM，提出一種適應SiO2陶瓷漿體的非牛頓特性的修正方法，進行數值模擬后可以得出以下結論：

（1）根據流變實驗可以發現，SiO2陶瓷漿體的流變特征與冪律流體更貼近，并呈現出剪切變稀的特征；

（2）提出的修正LBM可有效應用于冪律流體中，改善數值模擬的穩定性；

（3）從數值模擬的結果發現，在不同位置處的速度分量差異比較明顯，特殊位置一般為貼近外筒內壁面、螺桿外壁面以及兩螺棱中間位置，流動的中心主要集中在（0.5W，0.72h）位置處，在貼近螺棱與螺桿外壁面的角落處的流動并不明顯。