復合材料飛輪轉子儲能優化的結構設計

劉 暢，蔡曉江，安慶龍，陳 明

（1.上海交通大學機械與動力工程學院，上海 200240；2.上海航天控制技術研究所，上海 201108）

1 引言

飛輪儲能技術因其儲能密度高、功率密度大，與傳統發電機組兼容，受環境溫度影響小，使用壽命長，綠色環保等一系列優點，已經被運用到電力調峰、不間斷供電、電網運輸、電動汽車、衛星供電等多個領域[1]。飛輪儲能系統是利用飛輪的加速和減速旋轉來實現電能與機械能相互轉換的裝置，主要由飛輪轉子、發電機/電動機及控制器、磁懸浮軸承和真空容器等組成，飛輪轉子是飛輪儲能系統中最為核心的儲能部件[2]。

儲能密度是衡量飛輪轉子性能的重要指標之一，由于轉子的儲能密度正比于材料的比強度，因此，要想獲得較大的儲能量和儲能密度，必須采用高比強度的材料。目前國際上應用成熟的產品都是基于鋁、高強度鋼等金屬材料制作，如文獻[3]中的飛輪不間斷能源系統產品。相比于金屬材料，復合材料因具有高比強高度、剛性好、比重小等優良特性，是制作高速儲能飛輪的首選材料[4]。復合材料由兩種或兩種以上不同材料通過專門的制造和成型工藝復合而成，材料的力學性能復雜，因此求解復合材料的非線性優化問題比較困難。

目前國內外學者大多通過簡單控制幾個參數優化飛輪儲能密度。文獻[5]通過研究多層飛輪轉子間的材料排列順序及過盈量對飛輪儲能的影響，提出了一種多層飛輪轉子的優化算法。文獻[6]則以層間過盈量和各層纖維鋪設角度為優化變量，以轉子的儲能密度為目標函數進行了多層飛輪轉子的結構優化設計。文獻[7]利用平面應力各向異性假設和模擬退火優化算法，針對圓柱形飛輪轉子的纖維種類和各層的內外徑比，以最大儲能密度為目標求解出最優解。在國內，文獻[8]研究了三種結構的飛輪轉子，通過改變不同參數來研究飛輪轉子儲能密度的變化。

這里針對碳纖維復合材料轉子，建立了儲能密度優化的數學模型，利用粒子群優化算法（PSO）實現對復合材料轉子的結構優化。結論可對以后的復合材料飛輪儲能密度優化設計提供理論指導。

2 建立復合材料飛輪轉子的儲能密度優化模型

儲能飛輪轉子既要滿足高儲能量的要求又要達到高儲能密度的性能指標。

針對飛輪轉子的儲能密度優化設計主要從兩個方面進行考慮，一是提高飛輪轉子的極限轉速，進而提高系統的儲能量，即飛輪轉子的動能；二是改善飛輪轉子的結構，保證轉子的低應力水平。

對于一般儲能飛輪轉子，其儲能量和儲能密度由下式計算：

式中：E—飛輪轉子的動能即飛輪的儲能量；I—飛輪轉子的轉動慣量；ω—轉子轉動的角速度；U—飛輪轉子的儲能密度；m—飛輪轉子的質量。

針對圓柱型或圓盤型中心通孔形狀的飛輪轉子，假設其軸向厚度為h，那么其轉動慣量為：

式中：ro—飛輪轉子的外徑；ri—轉子的內徑。

因此有：

式中：λ—飛輪轉子的內外徑比，且λ=

針對復合材料飛輪轉子的儲能密度優化設計問題，可建立以下數學模型：

（1）建立基本數學優化模型

目標函數：

約束條件：

式中：X=(x1，x2，...，xm)x1，x2，...，xm≥0，顯然，上述模型為單目標的非線性規劃問題，X—可優化參數。

（2）確定約束條件

由于復合材料層合板具有各向異性，常用蔡-希爾（Tsai-Hill）準則作為材料的失效準則，表達式如下式所示：

式中：σL—沿纖維向（縱向）拉伸應力；σT—垂直纖維向（橫向）拉伸應力；τLT—纖維兩向（縱橫向）剪切應力；FL—纖維向（縱向）拉伸強度；FT—垂直纖維向（橫向）拉伸強度；FLT—纖維兩向（縱橫向）剪切強度。

對于單環纖維纏繞飛輪轉子，Tsai-Hill強度準則采用二維應力狀態形式（式（6））即可表達單環纖維纏繞飛輪轉子的破壞。對于多環纖維纏繞復合材料飛輪轉子，由于每一層纖維鋪設角度不同，可能會導致軸向應力的增大，因此需要三維應力狀態下的Tsai-Hill強度準則[9]：

為了統一起來，可以將約束條件式（5）改寫為：

式中：SR—強度比，即飛輪轉子某點的應力值與強度準則中該點的應力強度之比，顯然，當強度比SR大于1 時，表明材料失效。

強度比SR可通過Tsai-Hill強度準則求得。

復合材料儲能飛輪轉子的儲能密度優化設計問題，其實就是目標函數式（4）在可行域式（8）上尋求最優解的問題。

由此，復合材料飛輪轉子儲能密度優化問題可以簡化為多變量單目標的非線性規劃問題。

3 飛輪轉子儲能密度優化設計流程

從飛輪轉子的結構角度分析，當轉速確定時，影響轉子儲能密度的因素主要有飛輪轉子的幾何形狀和構造方式及其工藝參數。

幾何參數主要包括飛輪轉子的外徑ro、厚度h、內徑ri（即內外徑比λ）等，工藝參數主要包含層間過盈量t、各層單環纖維鋪設角度θ等。因此各種構造方式的飛輪轉子的可優化變量，如表1所示。

表1 各構造方式的飛輪轉子可優化變量Tab.1 Optimized Variables of the Flywheel Rotor

在給定飛輪轉子的碳纖維復合材料、輪轂材料、轉速等條件下，結合通用算法的結構及流程，設計得出針對飛輪轉子儲能密度多變量的優化計算流程圖，如圖1所示。

圖1 復合材料飛輪轉子儲能密度結構優化設計流程圖Fig.1 Flow Chart of Optimization Design of the Composite Flywheel Rotor

4 復合材料飛輪轉子結構優化設計

針對某種型號飛輪轉子，給定飛輪轉子材料為T700/AG80碳纖維增強基樹脂復合材料，輪輻材料為鋁合金。

各材料性能參數分別，如表2所示。

表2 T700/AG80復合材料基本物理性能參數表Tab.2 T700/AG80 Physical Property Parameters

同時給定飛輪轉子基本幾何形狀為圓盤形，具體幾何尺寸參數要求，如表3所示。

表3 某型號飛輪轉子結構設計要求Tab.3 Structural Design Requirements of the Flywheel Rotor

飛輪轉子結構為多環纖維纏繞，共三層（含鋁合金輪轂），限于制造成本，纖維鋪設角度均為0°，要求優化后的儲能密度在工作狀態40000r/min下儲能密度提升20%。

采用粒子群優化算法，按照圖1所示的優化流程進行飛輪轉子的儲能密度結構設計。

以U的最大化為目標函數，在一個五維空間中（五個優化變量）尋找最優解。

假設有N個粒子，以目標函數U（x）為適應度函數：

記第i個粒子的當前所在位置為：

速度為vi=(vi1,vi2,…,vi5)，粒子i所經過的最佳位置（通過適應度函數U（x）計算判斷）為pbesti=(pi1,pi2,…,pi5)。而整個種群所經過的最佳位置gbest=(g1,g2,…,g5)，這就是全局最優解，即是所需尋找到的最優解解。顯然有：

一般而言，粒子在第d（1 ≤d≤5）維的速度和位置更新過程描述如下式：

在建立飛輪結構優化數學模型及實現PSO算法的基礎上，在MATLAB中編寫算法程序，算法流程圖，如圖2所示。

圖2 粒子群優化算法框圖Fig.2 Block Diagram of Particle Swarm Optimization Algorithm

通過MATLAB粒子群優化算法的優化計算，運行結果，如圖3所示。得到的各優化參數，如表4所示。

圖3 粒子群優化最優結果適應度圖Fig.3 Fitness Graph of Optimal Results of Particle Swarm Optimization

表4 儲能飛輪優化前后的數值比較Tab.4 Numerical Comparison of Energy Storage Flywheel

由上表可知，優化后的飛輪轉子儲能密度提升約22.8%，主要通過增加每層轉子間的過盈量減小其徑向應力，以此充分利用復合材料的特性，以達到提升儲能密度的目的。

5 結論

這里主要研究復合材料高速儲能飛輪的儲能密度優化設計，主要結論如下：

（1）影響轉子儲能密度的因素主要有飛輪轉子的材料、幾何形狀和構造方式及其工藝參數。其中幾何參數主要包括飛輪轉子的外徑ro、厚度h、內徑ri（即內外徑比λ）等，工藝參數主要包含層間過盈量t、各層單環纖維鋪設角度θ等因素，這些對飛輪轉子的應力水平的影響有一定的規律，可對飛輪結構優化設計提供指導。

（2）將復合材料飛輪轉子儲能密度優化問題簡化為多變量單目標的非線性規劃問題，通過粒子群優化算法以及MATLAB 計算，得到輪轂外徑為170mm，輪轂與內環、內環與外環的過盈量為0.3mm，內、外環各層徑向厚度為15mm，儲能密度提升22.8%。