漸開線少齒差行星齒輪傳動幾何設計

張躍明，杜海強，紀姝婷

（北京工業大學機械工程與應用電子學院，北京 100124）

1 引言

作為行星齒輪傳動減速器的核心，漸開線齒輪有其獨特的優勢。行星傳動相對較定軸傳動來說，行星齒輪傳動結構緊湊嚴密、體積較小、傳動效率高[1]；和外嚙合相比，由變位齒輪組成的內嚙合齒輪副為凹凸齒面接觸，曲率半徑較大，接觸強度和彎曲強度較高.若采用標準齒輪，由于齒數差較小，容易造成各種干涉，又因為幾乎所有的限制條件都與變位系數有關，因此對于漸開線少齒差行星齒輪傳動的來說，研究合適的變位系數具有重要的理論意義和使用價值。2003年，文獻[2]指出嚙合干涉的產生原因及防止方法。2013年，文獻[3]在傳統封閉圖的基礎上進一步優化選取參數。文獻[4]編著的《漸開線少齒差行星齒輪傳動裝置》一書對我國對少齒差行星齒輪傳動具有重要的理論指導作用。文獻[5]采用嚙合角和加工內齒輪時的嚙合角為自變量進行迭代求解變位系數。2014年，文獻[6]從相對滑動速度方面著手，分析了滑動率的影響因素及變化趨勢。變位系數的選擇一般采用試算法、封閉圖法、查幾何參數表法，但是以上幾種方法盲目性大、工作量大、具有局限性[7-8]。在變位系數優化方面以滑動率為目標函數，忽略重合度在內嚙合齒輪中的重要性，會導致整機的傳動平穩性和連續性[9-10]。針對上述問題，建立漸開線齒輪變位系數優化模型，借助Matlab遺傳算法對其進行優化，以重合度為目標函數，編制GUI界面，程序簡潔易懂，適用范圍廣，能快速有效獲得齒輪的幾何尺寸。

2 變位齒輪基本參數

2.1 齒形角

雖然隨著齒形角的增大，齒輪的承載能力會有所提高，有利于避免齒廓重疊干涉的產生，但重合度會有所降低，傳動平穩性變差，噪聲增大[3]；由于加工刀具大都是α=20°的標準刀具，為了加工方便，這里直接選用此齒形角。

2.2 嚙合角

圖1 重合度隨嚙合角及齒輪變位系數的變化趨勢Fig.1 The Change Degree of Coincidence Degree with the Meshing Angle and Gear Displacement Coefficient

2.3 齒頂高系數

對于短齒齒輪來說，從干涉方面來看，ha*越小，越容易避免齒廓重疊干涉，但會降低齒輪傳動的重合度。重合度會隨著齒頂高系數減小而降低。雖然較小的齒頂高系數可以避免齒廓干涉，提高傳動效率，但ha*過于小的時候就會降低重合度，導致傳動波動，如圖2所示。

圖2 重合度隨齒頂高系數及齒輪變位系數的變化趨勢Fig.2 The Change Degree of Coincidence Degree with the Height Coefficient of the Crown and the Gear Displacement Coefficient

3 變位系數的優化設計

3.1 目標函數

一對連續傳動的齒輪，必須實現前一對齒在脫離嚙合之前，后一對齒進入嚙合。為了保證齒輪傳動平穩工作，通常要求ε≥1.1。多齒接觸并不等于多齒嚙合，從保證傳動的連續性和平穩性出發，希望重合度越大越好，因此將重合度函數作為目標函數。

3.2 設計變量的選取

從前面分析可知，在齒數差確定的情況下，變位系數x1，齒頂高系數ha*，嚙合角α'對的取值影響最大，因此選取如下所示的3個設計變量。

3.3 約束條件

根據減速器實際的工作情況，以齒輪內嚙合原理為理論，綜合確定優化算法的約束條件。

（1）齒廓重疊干涉

齒廓重疊干涉是指：內嚙合齒輪副在傳動過程中，外齒輪的齒頂在退出內齒輪齒槽時，與內齒輪的齒頂發生重疊干涉。

齒廓重疊干涉主要取決于齒數差，齒數差較小，越容易會產生齒廓重疊干涉，因此就需要增大內齒輪的變位系數；選取適當的變位系數，有利于避免齒廓重疊干涉，通常要求Gs≥0.05。

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（2）齒頂厚

齒頂厚隨著正變位系數的增大而減小，從而導致使用壽命和接觸強度降低，因此對于變位齒輪來說，驗算齒頂厚值得關注。當齒輪為淬火鋼時，齒頂厚sa≥0.4m。

（3）過渡曲線干涉

如果一對相嚙合齒輪的齒頂與齒根的非漸開線部分接觸，就會產生過渡曲線干涉。

防止內齒輪過渡曲線干涉的約束條件：

防止外齒輪采用滾齒方式時的過渡曲線干涉的約束條件：

3.4 遺傳算法求解

由于初始種群的數目對優化結果有著重要影響，在此取種群數目為100，最大迭代次數為500，交叉運算中采用常見的單點交叉方式，設置交叉概率為0.95，變異概率設置為0.05，采用離散變異算子實現變異運算。基于MATLAB 中GUI界面，利用各種空間，設計的計算界面，使計算過程更加簡潔，如圖3所示。

圖3 優化算法界面Fig.3 Optimization Algorithm Interface

如圖所示，在GUI界面中輸入齒輪的基本參數，輸入變量的取值范圍，設定遺傳算法基本參數，計算優化結果，計算結果，如表1所示。

表1 漸開線少齒差行星齒輪幾何尺寸Tab.1 Involute Less Tooth Difference Planetary Gear Geometry

4 滑動率

漸開線齒輪傳動無法避免齒面間的相對滑動，齒輪副的相對滑動越大，其齒面的磨損也會越嚴重，隨著兩齒輪表面溫度升高，容易產生膠合失效。最終導致齒輪的傳動效率降低，縮短機構的使用壽命。滑動率表示齒面間相對滑動的程度，指兩齒廓在接觸點處的相對切向速度與該點切向速度的比值。

由于輪齒在嚙合過程中，齒廓上的接觸點的位置不斷變化，該點的壓力角、曲率半徑都是變化的，所以滑動率的數值是變化的。我們在這里只討論整個嚙合線的最大滑動率，如圖4所示。滑動率隨著嚙合點的位置而變化，齒輪副只有在節點處的滑動率為0，嚙合點離節點越遠，滑動率越大。

圖4 滑動率變化趨勢Fig.4 Variation Tendency of Sliding Rate

理論分析：若想減小滑動率，可以通過增大內齒輪的變位系數來增大內齒輪齒頂圓半徑使B2點向節點處移動。

內外齒輪分別在齒頂、齒根處取得最大值；并且最大滑動率的絕對值隨變位系數的增大而減小。由于重合度隨著變位系數的增大而減小，所以對于變位系數的選擇我們視情況而定，如圖5所示。

圖5 滑動率隨變位系數的變化趨勢Fig.5 The Trend of Sliding Rate with the Coefficient of Displacement

5 結論

由于標準齒輪組成的行星傳動齒數差太小，導致漸開線產生各類干涉，因此必須通過合理分配變位系數來避免各種干涉，提高重合度，降低滑動率的大小，提高齒輪的接觸強度和彎曲強度，提高機構的使用壽命。

（1）設計重點主要是合理分配齒輪的基本參數的，如：嚙合角、齒頂高系數、壓力角、變位系數、刀具參數的選擇等；避免各類干涉，如：齒廓重疊干涉、過渡曲線干涉、滿足重合度要求等。

（2）基于遺傳算法，求解重合度的主要影響因素，如：變位系數x1，齒頂高系數ha*，嚙合角α'，由于遺傳算法自身特點，結果并不一定最優，應多次計算，并逐漸完善數學模型。

（3）增大嚙合角，以便增大齒廓的曲率半徑，提高齒面接觸疲勞強度，內齒輪通過正變位來增加齒根的彎曲強度。

（4）滑動率在只有嚙合節點處為零，離節點越遠滑動率越大，齒面磨損越嚴重。

（5）隨著變位系數增大，會導致齒頂圓直徑的變大，縮短N2與B2的距離，從而減小最大滑動率。