執(zhí)行器飽和下機(jī)械臂有限時(shí)間控制

范云鵬，樊春霞

(南京郵電大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院、人工智能學(xué)院，江蘇 南京 210023)

1 引言

如今，機(jī)器臂在各種應(yīng)用中變得越來(lái)越普遍，但由于其關(guān)節(jié)內(nèi)部結(jié)構(gòu)的復(fù)雜性及工作環(huán)境的不確定性，導(dǎo)致機(jī)械臂是一個(gè)典型的非線性、強(qiáng)耦合、時(shí)變不確定的系統(tǒng)[1][2]。在機(jī)械臂帶有負(fù)載時(shí)主要問(wèn)題是模型不確定性和外部擾動(dòng)，為了解決模型不確定和外部擾動(dòng)，提出很多控制策略，例如自適應(yīng)控制、魯棒控制、滑模控制、模糊控制及神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制。

由于機(jī)械臂是一個(gè)典型的非線性系統(tǒng)，滑模控制是運(yùn)用于機(jī)械臂系統(tǒng)控制中最為廣泛的一種。文獻(xiàn)[3]定義了機(jī)器人的PID型滑模面，設(shè)計(jì)了非線性滑模控制器，實(shí)現(xiàn)了機(jī)器人的主動(dòng)減振控制。文獻(xiàn)[4]提出了一種新的自適應(yīng)滑模控制器，用于機(jī)器人穩(wěn)定跟蹤控制。文獻(xiàn)[5]提出了一種使用自適應(yīng)積分滑模控制和時(shí)延估計(jì)的機(jī)器人機(jī)械手自適應(yīng)魯棒控制器，所提出的控制器具有很強(qiáng)魯棒性，無(wú)顫動(dòng)并且精度很高。

文獻(xiàn)[3-5]保證了機(jī)械臂跟蹤誤差的漸近穩(wěn)定性，這是一種表征時(shí)間無(wú)窮大時(shí)的穩(wěn)定性，然而實(shí)際的物理系統(tǒng)都是有時(shí)間限制的，需要研究系統(tǒng)的有限時(shí)間穩(wěn)定性[6，7]。文獻(xiàn)[6]采用自適應(yīng)快速終端滑模方法實(shí)現(xiàn)了剛性航天器的有限時(shí)間跟蹤控制，但終端滑模面存在奇異性問(wèn)題。文獻(xiàn)[7]針對(duì)存在執(zhí)行器故障和未知外部干擾的二階非線性系統(tǒng)，提出了自適應(yīng)非奇異快速終端滑模(NFTSM)控制，該控制器可以消除與常規(guī)終端滑模控制有關(guān)的奇異性問(wèn)題。

在實(shí)際運(yùn)行過(guò)程中，當(dāng)控制輸入超出了執(zhí)行器輸出的上下限時(shí)，“飽和”就產(chǎn)生了，這不僅會(huì)導(dǎo)致控制性能降低，甚至導(dǎo)致系統(tǒng)不穩(wěn)定[8]。由于機(jī)械臂快速瞬時(shí)響應(yīng)需要較大力矩，在機(jī)械臂的有限時(shí)間控制中就可能存在執(zhí)行器飽和問(wèn)題。文獻(xiàn)[9]提出適用于執(zhí)行器飽和的非線性機(jī)器人系統(tǒng)動(dòng)態(tài)抗飽和優(yōu)化，利用比例積分(PI)控制器，把其中的重力項(xiàng)通過(guò)非線性補(bǔ)償技術(shù)消除。文獻(xiàn)[10]提出了一種基于滑模控制方法的自適應(yīng)反升起控制策略，自適應(yīng)更新律用于估計(jì)不確定性的上限和執(zhí)行器飽和度的最小值。文獻(xiàn)[11]考慮輸入飽和誤差約束，實(shí)現(xiàn)了無(wú)人水面艦艇的自適應(yīng)容錯(cuò)跟蹤控制。文獻(xiàn)[9-11]研究了系統(tǒng)的飽和控制下問(wèn)題，實(shí)現(xiàn)了漸近穩(wěn)定，沒(méi)有涉及到有限時(shí)間穩(wěn)定。

機(jī)械臂是一個(gè)復(fù)雜系統(tǒng)，很難用精確的模型來(lái)描述，往往用不確定模型描述。解決不確定性的有效工具之一是神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，它可以近似任意非線性函數(shù)。文獻(xiàn)[12]考慮到當(dāng)機(jī)械手捕獲未知有效載荷時(shí)可能存在的模型不確定性，使用徑向基函數(shù)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)(RBFNN)估計(jì)空間機(jī)械手模型中的不確定性。文獻(xiàn)[13]提出了一種基于NN的自適應(yīng)終端滑模控制器，用于空間機(jī)械臂的軌跡跟蹤。文獻(xiàn)[14]提出了一種應(yīng)用于SCARA機(jī)器人的非線性動(dòng)力學(xué)的多輸入多輸出自適應(yīng)神經(jīng)PID控制器。文獻(xiàn)[12-14]研究了機(jī)械臂模型不確定性時(shí)控制器的設(shè)計(jì)方案，但是沒(méi)有考慮執(zhí)行器飽和對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響。

綜上所述，研究及機(jī)械臂跟蹤控制問(wèn)題時(shí)，不僅需要考慮有限時(shí)間穩(wěn)定，而且需要考慮模型不確定性以及執(zhí)行器飽和對(duì)跟蹤穩(wěn)定性的影響。鑒于此，本文的主要工作如下：

考慮機(jī)械臂模型不確定性以及受到外界擾動(dòng)時(shí)會(huì)嚴(yán)重影響機(jī)械臂穩(wěn)定性，提出了一種有限時(shí)間跟蹤控制器，實(shí)現(xiàn)了抗飽和控制。利用自適應(yīng)RBFNN網(wǎng)絡(luò)逼近模型不確定性以及外界擾動(dòng)；設(shè)計(jì)飽和因子的自適應(yīng)律以補(bǔ)償執(zhí)行器飽和；提出快速終端滑模控制器，實(shí)現(xiàn)機(jī)械臂的有限時(shí)間跟蹤。

2 機(jī)械臂模型

包含干擾項(xiàng)的機(jī)械臂動(dòng)力學(xué)方程可表示為[15]

(1)

由于執(zhí)行器飽和會(huì)影響系統(tǒng)的穩(wěn)定性[8，9]，因此這里考慮執(zhí)行飽和時(shí)，研究機(jī)械臂跟蹤給定軌跡的控制器設(shè)計(jì)問(wèn)題。此時(shí)，機(jī)械臂各個(gè)關(guān)節(jié)的輸入力矩可以表示為

(2)

τ為所需的控制力矩，τmax為已知輸入所需力矩τ的上界，sign(τ)=(sign(τ1)，sign(τ2) ，…，sign(τn))T表示每個(gè)關(guān)節(jié)輸入力矩的符號(hào)函數(shù)。

引入飽和因子描述(2)所表示的飽和函數(shù)

sat(τ)=ω(τ)τ

(3)

其中ω(τ)=diag{ω1(τ1)，…，ωn(τn)}表示執(zhí)行器的飽和特性

從ω(τ)的定義可以得到其滿足如下限制

0<φ≤ω(τ)≤1

(4)

其中φ是飽和因子ω(τ)的下界，是一個(gè)未知常數(shù)。

由于機(jī)械臂的動(dòng)力學(xué)模型中存在很多不確定性因素[12，13]，因此無(wú)法精確給出式(1)中的慣性矩陣、哥氏力和離心力、重力項(xiàng)，更是無(wú)法準(zhǔn)確確定外界擾動(dòng)。

假設(shè)1：期望軌跡qd∈Rn是一個(gè)二次連續(xù)可微的函數(shù)。

證明機(jī)械臂有限時(shí)間跟蹤給定軌跡時(shí)，將用到如下引理。

引理1[16]：具有有限時(shí)間收斂性的擴(kuò)展Lyapunov描述為

(5)

其中?t>t0，V(xt0)≥0。對(duì)于任意t0，收斂時(shí)間為

(6)

其中λ1>0，λ2>0和0

3 控制器設(shè)計(jì)

本文采用自適應(yīng)方式逼近飽和因子下界φ的倒數(shù)，利用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)逼近機(jī)械臂跟蹤給定軌跡過(guò)程中的非線性項(xiàng)以及外界擾動(dòng)，采用終端快速滑模控制器使得機(jī)械臂能夠在有限的時(shí)間內(nèi)跟蹤給定軌跡。

定義系統(tǒng)跟蹤誤差及其導(dǎo)數(shù)為

(7)

則由(1)和(7)可得

=ω(τ)τ+f

(8)

其中f為機(jī)械臂軌跡跟蹤過(guò)程中的未知非線性函數(shù)

(9)

3.1 滑模面設(shè)計(jì)

為了避免滑模控制中的奇異問(wèn)題[17]，采用如下NFTSM滑模面

(10)

其中1/20)

β=diag{β1，…，βn}(βi>0)，i=1，2…n。

將滑模面(10)對(duì)時(shí)間求導(dǎo)，然后將式(8)代入可得

(ω(τ)τ+f)

(11)

控制律可設(shè)計(jì)為

(12)

(13)

滑模控制系統(tǒng)利用切換控制律保證系統(tǒng)的狀態(tài)不離開(kāi)滑模面，傳統(tǒng)切換控制采用不連續(xù)控制項(xiàng)K·sign(s)，會(huì)導(dǎo)致控制輸入信號(hào)產(chǎn)生抖振。為了保證控制律為連續(xù)函數(shù)，可以使系統(tǒng)魯棒性增強(qiáng)，降低滑模控制中的抖振，設(shè)計(jì)如下快速連續(xù)終端控制律

τsmc=-(λ1s+λ2sr5/r6)

(14)

其中 0

λ1=diag(λ11，λ12，…，λ1n)

λ2=diag(λ21，λ22，…，λ2n)

式中λ1i、λ2i(i=1，2，…，n)為正常數(shù)。

注2：文獻(xiàn)[7]的滑模控制器采用了符號(hào)函數(shù)，盡管能夠?qū)崿F(xiàn)有限時(shí)間收斂，但是容易引起抖振。而(14)中采用了連續(xù)的非奇異快速終端滑模控制，能夠有效地降低滑模控制的抖震，并提高系統(tǒng)的魯棒性。

3.2 RBFNN設(shè)計(jì)

RBFNN具有很好的近似未知和平滑函數(shù)的能力[18]。根據(jù)Stone-Weierstrass近似定理，給定足夠數(shù)量的神經(jīng)元，RBFNN能夠以任意精度逼近任意連續(xù)的非線性函數(shù)[19]。

采用RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)逼近f∈Rn，f能夠精確表達(dá)(9)中未知非線性函數(shù)，即

(15)

(16)

(17)

其中i=1，2，…，n；j=1，2，…，L；

本文設(shè)計(jì)自適應(yīng)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)逼近機(jī)械臂跟蹤系統(tǒng)中的非線性函數(shù)(9)，可以有效減少逼近誤差對(duì)系統(tǒng)的影響。因此根據(jù)(13)(14)和(16)，控制輸入(12)可以被重新表示為

(18)

(19)

(20)

3.3 飽和因子的自適應(yīng)律

設(shè)計(jì)飽和因子下限φ的倒數(shù)φ-1的自適應(yīng)律為

(21)

4 穩(wěn)定性分析

定理1：在執(zhí)行器飽和情況下，模型不確定的機(jī)械臂(1)在控制器(18)、自適應(yīng)規(guī)律(19)、(20)、(21)作用下，能夠在有限時(shí)間

(22)

內(nèi)收斂到給定跟蹤軌跡，且跟蹤誤差在原點(diǎn)的極小鄰域內(nèi)。

取Lyapunov函數(shù)為

(23)

定義

(24)

(25)

V1對(duì)時(shí)間t求導(dǎo)可得

(26)

將式(18)代入式(26)可得

(27)

V2對(duì)時(shí)間t求微分可得

(28)

由(27)和式(28)可得

(29)

下面分3種情況討論Hw

(30)

(31)

(32)

同樣地，對(duì)Hε分三種情況分別討論，可得

(33)

同時(shí)可得以下不等式

(34)

(35)

(36)

將式(30)-(36)代入式(29)得

(37)

根據(jù)文獻(xiàn)[20]可得

(38)

將式(24)、(37)代入式(38)得

(39)

式(39)可寫為

(40)

5 仿真

Geomagic Touch機(jī)器人實(shí)物圖如圖1所示，它有三個(gè)旋轉(zhuǎn)驅(qū)動(dòng)關(guān)節(jié)q1、q2、q3，圖2給出Geomagic Touch的平面結(jié)構(gòu)圖。第一關(guān)節(jié)q1為圖中球形底座，q2、q3為與其相連接的桿狀部分，不考慮最后一節(jié)手寫筆狀態(tài)，它只是為了人為操縱第三關(guān)節(jié)末端位置。

圖1 Geomagic Touch 圖2 平面結(jié)構(gòu)圖

由于機(jī)械臂第二第三關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)在同一水平面上，為簡(jiǎn)化運(yùn)算，這里將第二關(guān)節(jié)鎖定，只取第一和第三關(guān)節(jié)的角度變量q1、q3進(jìn)行研究。

Geomagic Touch中各個(gè)矩陣和向量具體表達(dá)式如下

其中

ci=cos(qi)；si=sin(qi)；c2.i=cos(2qi)；s2.i=sin(2qi)。(i=1，3)

設(shè)定機(jī)械臂關(guān)節(jié)的初始位置為

q1=0.1，q3=0.1

設(shè)定機(jī)械臂關(guān)節(jié)的初始速度為

機(jī)械臂所受外部干擾為

τd1=sin(t)，τd2=sin(t)

給定所需跟蹤的目標(biāo)軌跡為

qd1=2*sin(t)，qd3=2*sin(t)

Geomagic Touch機(jī)械臂參數(shù)如表1所示。

表1 Geomagic Touch參數(shù)

仿真中所取控制器的參數(shù)如表2所示。

表2 控制器參數(shù)取值

神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)參數(shù)為

5.1 有執(zhí)行器飽和處理

由GeomagicTouch性能指標(biāo)可知，其最大輸出力矩為3.3N。當(dāng)超出最大輸出力矩時(shí)機(jī)械臂執(zhí)行器處于飽和狀態(tài)下。

圖3 帶飽和控制器，機(jī)械臂位置跟蹤

圖3和圖4表示機(jī)械臂不帶負(fù)載時(shí)，在給定輸出力矩大于最大輸出力矩(3.3N)時(shí)，執(zhí)行器處于飽和狀態(tài)下，機(jī)械臂GeomagicTouch在控制器(18)及自適應(yīng)律(19)-(20)作用下，關(guān)節(jié)1和關(guān)節(jié)3的位置和速度跟蹤效果。可以看出機(jī)械臂的位置和速度可以在0.3秒內(nèi)跟蹤到期望軌跡上。圖5和圖6更加直觀地給出了機(jī)械臂跟蹤時(shí)位置和速度的誤差，位置誤差在0.2秒時(shí)小于0.005rad，速度誤差在0.3秒時(shí)小于0.05rad/s。從圖3-圖6可以看出，當(dāng)執(zhí)行器飽和時(shí)，模型不確定的機(jī)械臂能夠以很小的誤差跟蹤給定軌跡。

圖4 帶飽和控制器，機(jī)械臂速度跟蹤

圖5 帶飽和控制器，機(jī)械臂位置誤差

圖6 帶飽和控制器，機(jī)械臂速度誤差

為了說(shuō)明本文算法的有效性，與滑模面為線性的算法進(jìn)行了仿真對(duì)比。

表3 控制器參數(shù)取值

圖7 線性滑模面時(shí)，機(jī)械臂位置跟蹤

圖8 線性滑模面時(shí)，機(jī)械臂速度跟蹤

圖9 線性滑模面時(shí)，機(jī)械臂位置誤差

圖10 線性滑模面時(shí)，機(jī)械臂速度誤差

5.2 無(wú)執(zhí)行器飽和處理

具有執(zhí)行器飽和的機(jī)械臂，在控制器為

沒(méi)有飽和因子處理執(zhí)行器飽和時(shí)，從圖11-圖12可以看出，機(jī)械臂處于飽和狀態(tài)時(shí)，機(jī)械臂無(wú)法實(shí)現(xiàn)位置、速度的穩(wěn)定跟蹤。

圖11 無(wú)飽和控制器，機(jī)械臂位置跟蹤

圖12 無(wú)飽和控制器，機(jī)械臂速度跟蹤

5.3 帶負(fù)載仿真

帶負(fù)載時(shí)，機(jī)械臂模型為不確定性，機(jī)械臂在控制器(18)及自適應(yīng)律(19)-(20)作用下，用RBFNN神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)逼近不確定的矩陣參數(shù)，由仿真結(jié)果圖13-圖16可以看，在控制器參數(shù)不改變的情況下，系統(tǒng)依舊可以保持穩(wěn)定。

圖13 帶負(fù)載時(shí)，機(jī)械臂位置跟蹤

圖14 帶負(fù)載時(shí)，機(jī)械臂速度跟蹤

圖15 帶負(fù)載時(shí)，機(jī)械臂位置誤差

圖16 帶負(fù)載時(shí)，機(jī)械臂速度誤差

6 結(jié)論

本文研究了執(zhí)行器飽和下，機(jī)械臂的穩(wěn)定性問(wèn)題。首先利用參數(shù)自適應(yīng)，辨識(shí)出執(zhí)行器飽和因子下限，有效地解決了執(zhí)行器因?yàn)轱柡投鵁o(wú)法增加力矩，從而無(wú)法達(dá)到預(yù)期跟蹤的問(wèn)題；然后利用權(quán)值自適應(yīng)的徑向基神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)辨識(shí)機(jī)械臂的未知參數(shù)以及外部擾動(dòng)；最后設(shè)計(jì)非奇異終端快速滑模控制器使得機(jī)械臂系統(tǒng)能夠在有限時(shí)間內(nèi)跟蹤給定軌跡，并有效解決奇異問(wèn)題。在仿真驗(yàn)證算法時(shí)，利用Geomagic Touch機(jī)械臂模型，給定輸入力矩大于機(jī)械臂額定力矩，使執(zhí)行器處于飽和狀態(tài)，機(jī)械臂可以快速跟蹤給定軌跡，達(dá)到穩(wěn)定效果。在接下來(lái)的工作里，將控制器放在遙操作系統(tǒng)中，考慮時(shí)延和反饋力的問(wèn)題進(jìn)行進(jìn)一步研究。