基于改進(jìn)GRNN的電離層VTEC誤差模型

簡益梅，許承東，王倚文，彭雅奇

(1. 北京理工大學(xué)宇航學(xué)院，北京 100081；2. 北京空間飛行器總體設(shè)計部，北京 100094；3. 中國直升機(jī)設(shè)計研究所天津直升機(jī)研發(fā)中心，天津 300000)

1 引言

電離層延遲是衛(wèi)星導(dǎo)航定位的重要誤差源之一，在GPS測量中，天頂方向的電離層延遲誤差可達(dá)2～10m，而在接近地平方向產(chǎn)生的測量誤差甚至可以達(dá)到150m。發(fā)生電離層延遲的主要原因是導(dǎo)航電磁波穿過電離層時電磁波發(fā)生折射，使電磁波傳播方向和傳播速度發(fā)生改變，相對真空傳播，產(chǎn)生的電離層折射誤差。

國內(nèi)外學(xué)者對改正電離層延遲進(jìn)行了大量的研究，目前改正電離層延遲的模型主要有經(jīng)驗?zāi)Ｐ汀㈦p頻改正模型和實(shí)測數(shù)據(jù)模型三大類。其中，Klobuchar模型屬于經(jīng)驗?zāi)Ｐ椭袘?yīng)用比較廣泛的一類模型。經(jīng)過多年觀測驗證，它的有效性和實(shí)用性得到了認(rèn)可，是一種被廣泛采用的電離層延遲改正模型。Klobuchar模型基本上反映了電離層的變化特性，但其不足之處是改正精度僅能達(dá)到50%至60%，已不能滿足日益增長的精度需求。

為提高模型改正精度，大量學(xué)者對此進(jìn)行了研究。文獻(xiàn)[7]在不增加參數(shù)的前提下，通過改善夜間項和余弦項的振幅，建立了極地地區(qū)單頻全球?qū)Ш叫l(wèi)星系統(tǒng)(Global Navigation Satellite System，GNSS)用戶的修正Klobuchar模型；文獻(xiàn)[8]在對各種適用范圍較廣的模型精化方案進(jìn)行歸納的基礎(chǔ)上，提出了一種適用于不同尺度區(qū)域的 Klobuchar-like模型；文獻(xiàn)[9]通過采用最小二乘擬合對初始相位和振幅進(jìn)行改正，建立了適用于小區(qū)域的Klobuchar電離層延遲改正模型。

國內(nèi)外大部分的研究成果從各個方面對 Klobuchar模型進(jìn)行改進(jìn)，雖較原模型精度有所提高，但仍存在著對電離層整體改正率不高，模型適用范圍有限等缺陷。在對Klobuchar模型電離層總電子含量TEC(Total Electron Content)研究時，通過與國際GNSS監(jiān)測評估系統(tǒng)(International GNSS Monitoring & Assessment System，iGMAS)的電離層產(chǎn)品對比，發(fā)現(xiàn)Klobuchar 模型預(yù)報TEC值的誤差中存在一些周期性的規(guī)律現(xiàn)象。廣義回歸神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)(GRNN)在時間和空間上有較強(qiáng)的預(yù)測能力，文獻(xiàn)[11]提出了一種基于GRNN的電離層電子總含量的建模方法，并結(jié)合算例分析初步驗證了該方法的可行性和有效性，但存在精度不高，模型性能表現(xiàn)不穩(wěn)定等問題。不同于文獻(xiàn)[10]，本文將用GRNN建立TEC的誤差預(yù)報模型，但試驗時發(fā)現(xiàn)針對短期預(yù)報利用的數(shù)據(jù)樣本不夠豐富，因此，提出一種基于最小二乘法原理的K-折交叉驗證方法以尋找GRNN中的最優(yōu)徑向?qū)W習(xí)速度參數(shù)，不同的徑向?qū)W習(xí)速度自適應(yīng)不同經(jīng)緯度地區(qū)，得到解算誤差并補(bǔ)償?shù)終lobuchar模型，以提高電離層延遲的改正精度。

2 Klobuchar模型誤差分析

2.1 總電子含量(TEC)

沿路徑長度的電子密度稱為總電子含量，其定義為

(1)

TEC以電子/平方米為單位或以TEC單位(TECU)來表示，這里的1 TECU定義為10電子/平方米。天頂方向總電子含量叫做VTEC(Vertical TEC)，TEC與VTEC的關(guān)系可通過投影映射函數(shù)得到。

圖1 Klobuchar電離層模型VTEC誤差

2.2 經(jīng)典 Klobuchar 電離層模型

Klobuchar電離層模型是根據(jù)中緯度地區(qū)大量的實(shí)驗資料擬合得到，其夜間電離層天頂時延設(shè)為常量5ns(VTEC值為9.23 TECU)，在白天可用本地時余弦函數(shù)來近似表示，將每天電離層的最大影響確定為當(dāng)?shù)貢r間14：00，基本上能夠反映電離層的變化特性，從大尺度上保證電離層預(yù)報的可靠性。GPS采用8參數(shù)Klobuchar模型基于地磁坐標(biāo)系，用Klobuchar模型的8個參數(shù)和穿刺點(diǎn)的地磁緯度進(jìn)行計算，并通過映射函數(shù)將天頂電離層延遲投影至傳播方向

(2)

式中為以為單位的垂直方向時延；為以為單位的接收機(jī)至衛(wèi)星連線與電離交點(diǎn)處的地方時；=5×10為夜間的垂直延遲常數(shù)；為白天余弦曲線的幅度，由廣播星歷中的系數(shù)求得，具體有

(3)

圖2給出了不同緯度下單點(diǎn)的10天內(nèi)電離層VTEC變化，從圖中可以看出在不同緯度條件下電離層VTEC變化有差異，低緯度區(qū)域擬合效果最好，中緯度區(qū)域和高緯度區(qū)域擬合效果較差，Klobuchar模型的預(yù)報精度也不夠精確。

初始相位對應(yīng)余弦曲線極點(diǎn)的地方時，一般取為50400，為余弦曲線的周期，根據(jù)廣播星歷中系數(shù)求得。其中

(4)

式中為電離層穿刺點(diǎn)的地磁緯度。

通過Klobuchar模型可求得天頂電離層時延，利用式(4)即可得到廣播星歷預(yù)報的VTEC

(5)

其中為光速，為測量時延時相應(yīng)的頻率。

2.3 iGMAS 電離層產(chǎn)品

iGMAS導(dǎo)航數(shù)據(jù)分析中心利用分布在全球的觀測站資料解算電離層TEC分布圖，并從當(dāng)日UTC0起每隔兩小時生成一張TEC地圖產(chǎn)品，全天共12張，其沿緯度和經(jīng)度方向的數(shù)據(jù)點(diǎn)間隔分別為2.5°和5°，最后以IONEX(Ionospheric Map Exchange，IONEX)格式對外發(fā)布。iGMAS能夠提供高精度的全球電離層延遲模型事后產(chǎn)品，到無論是時空覆蓋率還是精度都是相當(dāng)高的水準(zhǔn)。因此本文將iGMAS的最終產(chǎn)品作為客觀標(biāo)準(zhǔn)，在此基礎(chǔ)上進(jìn)行誤差分析。

2.4 誤差分析

圖1給出了GPS L1信號頻率下，2020年2月13日14點(diǎn)的Klobuchar模型VTEC預(yù)報誤差。從圖中可以看出Klobuchar模型給出的VTEC與iGMAS的精密VTEC相比之下較粗糙，Klobuchar模型能大致擬合VTEC分布，且在低緯度地區(qū)的擬合情況相對較好，但在中緯度地區(qū)和高緯度地區(qū)存在著不小的誤差。

圖2給出了不同緯度下單點(diǎn)的10天內(nèi)電離層VTEC變化，從圖中可以看出在不同緯度條件下電離層VTEC變化有差異，低緯度區(qū)域擬合效果最好，中緯度區(qū)域和高緯度區(qū)域擬合效果較差，Klobuchar模型的預(yù)報精度也不夠精確。

圖2 不同點(diǎn)處電離層VTEC變化情況

圖3給出了中緯度一點(diǎn)(30°N，90°E)在不同季節(jié)下一周內(nèi)電離層VTEC變化，從圖中可以看出Klobuchar模型能大致擬合其變化趨勢，且由于太陽光照、地球運(yùn)動等因素，不同季節(jié)下的VTEC變化情況也不一樣，夏季擬合效果較好，春、秋和冬季較差。同時，從圖3中也可看出Klobuchar模型與iGMAS精密產(chǎn)品的誤差呈現(xiàn)出了一定的周期性變化規(guī)律，尤其秋季和冬季更為明顯。

圖3 不同季節(jié)電離層VTEC變化情況

3 改進(jìn)廣義回歸神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)誤差預(yù)測模型

3.1 廣義回歸神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)

1991年D.F.Specht博士提出廣義回歸神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，它是徑向基網(wǎng)絡(luò)的變種。GRNN建立在非參數(shù)回歸的基礎(chǔ)上，以樣本數(shù)據(jù)為后驗條件，執(zhí)行Parzen非參數(shù)估計，依據(jù)最大概率原則計算網(wǎng)絡(luò)輸出。

GRNN具有很強(qiáng)的非線性映射能力和柔性網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)以及高度的容錯性和魯棒性，適用于解決非線性問題。相較于徑向基網(wǎng)絡(luò)，GRNN在逼近能力和學(xué)習(xí)速度上有更強(qiáng)的優(yōu)勢。

GRNN在有4層結(jié)構(gòu)，如圖4所示，分別為輸入層、模式層、求和層和輸出層。

圖4 GRNN結(jié)構(gòu)

1)輸入層

輸入層神經(jīng)元的數(shù)目等于輸入數(shù)據(jù)向量的維數(shù)n，各神經(jīng)元將輸入向量直接傳遞給下一層神經(jīng)元。

2)模式層

模式層神經(jīng)元數(shù)目為輸入數(shù)據(jù)樣本的數(shù)目m，每個神經(jīng)元接收不同的樣本，模式層神經(jīng)元的傳遞函數(shù)為

(6)

其中神經(jīng)元的輸出為輸入數(shù)據(jù)與其對應(yīng)的樣本之間的歐氏距離平方的指數(shù)平方=(-)(-)的指數(shù)形式。式中，為輸入；為第個神經(jīng)元對應(yīng)的輸入數(shù)據(jù)樣本。

3)求和層

求和層包含兩種類型神經(jīng)元。第一種是對所有上一層神經(jīng)元的輸出進(jìn)行算術(shù)求和，計算公式為

(7)

與上一層神經(jīng)元的連接權(quán)值均為1，傳遞函數(shù)為

(8)

第二種是對所有模式層的神經(jīng)元進(jìn)行加權(quán)求和，計算公式為

(9)

模式層中第個神經(jīng)元與求和層中第個分子求和神經(jīng)元之間的連接權(quán)值為第分輸出樣本中的第個元素，傳遞函數(shù)為

(10)

4)輸出層

(11)

3.2 基于K-折交叉驗證的GRNN電離層VTEC誤差預(yù)報模型

GRNN是在徑向基網(wǎng)絡(luò)的基礎(chǔ)上改進(jìn)的，徑向基網(wǎng)絡(luò)是由輸入層、隱含層和輸出層構(gòu)成，隱含層采用的徑向基函數(shù)的閾值B能夠影響輸出對輸入的響應(yīng)靈敏度，但B本身不是訓(xùn)練GRNN的可見參數(shù)，在MATLAB內(nèi)部，網(wǎng)絡(luò)分布密度spread(S)起到了B的作用。根據(jù)文獻(xiàn)[15]，B與S的關(guān)系為

(12)

通常情況下，S越小，函數(shù)的逼近越精確，但逼近過程會不平滑，網(wǎng)絡(luò)性能差，可能導(dǎo)致過適應(yīng)現(xiàn)象；S越大，函數(shù)擬合越平滑，但是逼近誤差會變大，需要的隱藏神經(jīng)元也越多，計算量也越大。因此本文提出利用K-折交叉驗證(K-fold Cross Validation，K-CV)的方法來選取最佳S值。即，將訓(xùn)練數(shù)據(jù)分成K組，每個子集數(shù)據(jù)分別做一次驗證集，其余K-1組子集作為訓(xùn)練集，以驗證集的最小均方誤差為性能指標(biāo)，這樣會得到K個模型下的最佳S，取這K個S的平均值作為GRNN電離層VTEC誤差預(yù)報模型的最終S。在電離層TEC網(wǎng)格里，每一個點(diǎn)都能自動匹配最適合自身的S值。

具體實(shí)施步驟如下：

1)選取網(wǎng)絡(luò)輸入輸出，本文將數(shù)據(jù)時序、穿刺點(diǎn)經(jīng)度、緯度、周內(nèi)秒、小時數(shù)以及Klobuchar模型計算出來的VTEC作為輸入，故輸入層有6個神經(jīng)元；將VTEC誤差作為輸出；

2)歸一化處理，不同的參數(shù)往往具有不同的量綱，這樣的情況會影響到數(shù)據(jù)分析，因此需要對數(shù)據(jù)進(jìn)行量綱統(tǒng)一；

3)數(shù)據(jù)分類與交叉驗證，將用到的樣本數(shù)據(jù)合理分為訓(xùn)練數(shù)據(jù)和測試數(shù)據(jù)，在訓(xùn)練數(shù)據(jù)中利用K-CV來尋找最佳S值；

4)將上一步得到的S值與樣本數(shù)據(jù)訓(xùn)練GRNN模型得到基于K-折交叉驗證的GRNN電離層VTEC誤差預(yù)報模型。

4 試驗與分析

為驗證該模型的有效性和實(shí)用性，試驗數(shù)據(jù)選取從武漢大學(xué)IGS數(shù)據(jù)中心獲取的2020年8月21日起共10天廣播星歷數(shù)據(jù)，計算出Klobuchar模型與精密電離層產(chǎn)品的VTEC誤差。考慮到電離層VTEC每隔兩小時播報1次，為體現(xiàn)預(yù)報效果，將前7天的數(shù)據(jù)用于訓(xùn)練GRNN模型，故K-CV中的K值選為7，后3天的數(shù)據(jù)作為測試數(shù)據(jù)來評價該模型的預(yù)報效果。本試驗選取包含低、中、高緯度的9個電離層穿刺點(diǎn)作為試驗點(diǎn)，如圖5所示，分別為

P1(0°,120°E)P2(0°,90°E)P3(0°,60°E)P4(30°N,120°E)P5(30°N,90°E)P6(30°N,60°E)P7(60°N,120°E)P8(60°N,90°E)P9(60°N,60°E)

圖5 試驗點(diǎn)選取分布圖

試驗時還加入了未優(yōu)化S值的原始GRNN模型進(jìn)行對比，試驗結(jié)果如圖6所示。從圖中可以看到，原始GRNN模型對真實(shí)誤差的預(yù)測效果差，僅能大致擬合變化趨勢，在數(shù)值上存在較大差異，而改進(jìn)后的GRNN模型在不同緯度的表現(xiàn)均優(yōu)于原始GRNN模型，能較好擬合Klobuchar模型電離層VTEC值誤差，且得益于優(yōu)化的S值，在不同緯度表現(xiàn)均很穩(wěn)定。

為進(jìn)一步說明改進(jìn)后GRNN模型的預(yù)測效果，表1中計算了該模型在不同穿刺點(diǎn)下的預(yù)測值的絕對值的均值偏差，并與原始GRNN模型進(jìn)行比較。原始GRNN模型能夠大致擬合Klobuchar模型中電離層VTEC值誤差，但精度不高，誤差補(bǔ)償精度平均為47.7%，同時原始GRNN模型表現(xiàn)也不穩(wěn)定，在9個試驗點(diǎn)中，誤差補(bǔ)償精度最高達(dá)到80%，最差低至2%。而改進(jìn)后的GRMM模型則表現(xiàn)得更穩(wěn)定，誤差補(bǔ)償精度平均為62.4%，且能夠在原始GRNN模型的基礎(chǔ)上將再提升5%-30%，對Klobuchar模型的誤差補(bǔ)償精度為32%-89%。

圖6 9個試驗點(diǎn)的模型預(yù)測情況

表1 不同模型補(bǔ)償精度提升情況

為更進(jìn)一步說明模型的有效性，圖7給出了中緯度一點(diǎn)(30°N，90°E)在不同季節(jié)下10天(2019年12月21日至30日；2020年3月20日至29日；2020年6月21日至30日；2020年8月21日至30日)的電離層VTEC誤差值預(yù)測情況，不同季節(jié)下各選10天的數(shù)據(jù)，前7天用來訓(xùn)練，后3天用來預(yù)測，同樣也與原始GRNN模型進(jìn)行對比。

圖7 不同季節(jié)模型VTEC預(yù)測情況

表2給出了對應(yīng)的預(yù)測均值偏差，從表中數(shù)據(jù)可看出GRNN模型可有效補(bǔ)償Klobuchar模型誤差，且改進(jìn)后的GRNN模型補(bǔ)償效果更好，誤差補(bǔ)償精度為46%-90%，相對原始GRNN模型提升10%-20%。

表2 不同季節(jié)不同模型補(bǔ)償精度對比

事實(shí)上，影響電離層VTEC值的因素非常多，除了地理位置和時間之外，太陽活動，宇宙射線等都會對其產(chǎn)生影響。隨著對這些因素的不斷了解深入，將相關(guān)因素也作為模型的輸入?yún)?shù)以更進(jìn)一步提高模型精度是下一步的研究方向。

5 結(jié)論

在利用Klobuchar模型計算電離層VTEC值時發(fā)現(xiàn)該模型計算得到的VTEC值與iGMAS提供的最終電離層產(chǎn)品中的值之間存在著一些周期性變化的規(guī)律，針對這一現(xiàn)象本文提出了一種改進(jìn)GRNN對該模型VTEC值誤差進(jìn)行預(yù)測和補(bǔ)償。在Klobuchar模型的基礎(chǔ)上，利用改進(jìn)GRNN模型對不同經(jīng)緯度穿刺點(diǎn)和不同季節(jié)的VTEC誤差進(jìn)行預(yù)測，并與原始GRNN模型進(jìn)行對比驗證了本文提出優(yōu)化方法的有效性和實(shí)用性。應(yīng)用改進(jìn)后的GRNN模型對本文選取的不同試驗點(diǎn)的VTEC誤差進(jìn)行預(yù)測和補(bǔ)償，可減小Klobuchar模型預(yù)報誤差的32%-90%，對于減小導(dǎo)航系統(tǒng)級誤差具有重要意義。