通過一道試題研究一類問題

李昌成

(新疆烏魯木齊市第八中學 830002)

1 題目呈現

2 考生的困惑

本題中切線PA,PB的斜率未知，點P(3,t)還含有一個參數，考慮到A,B兩點還要引入4個變量，解題過程中會出現7個變量，根本無法建立直線AB的方程，更不可能求解定點，思維受阻，解答擱淺.為了節省時間，減少隱性失分，學生只能以蒙了事.

3 分析問題

4 題目解答

①

將P(3,t)代入①，得

②

③

所以A(x1,y1)滿足方程②，

B(x2,y2)滿足方程③，

整理，得4yt+9x-12=0恒成立.

評注通過同構處理，有效避開了多個參數對解題的影響.進一步思考發現，本問題與圓錐曲線類型無關，其他圓錐曲線也可以同理作切線，問題的出口可以是長度問題、面積問題、角度問題，但本質都是要通過同構法求得含參數的直線方程，當然參數設定也可以多種多樣，最終求得定點，依托定點解決最值問題或角度問題.

5 變式升華

5.1 變換曲線背景

參考答案(1,0).

評注新的橢圓背景只是系數變化，對問題沒有本質影響，俗稱換湯不換藥！

參考答案(4,0).

評注雙曲線與橢圓的標準方程中雖有“±”之分，但在本類問題中，沒有實質性的作用，用上述方法均可針對定點問題作答.

變式3已知拋物線E：x2=4y，過點P(t,-1)作拋物線E的切線PA，PB，切點分別是A，B，直線AB過定點____.

參考答案(0，1).

評注拋物線與橢圓的標準方程存在有無一次項之分，但已知切點寫切線方程不受變量次數影響，所以依然可以用上述方法求定點.

變式4已知圓C：x2+y2=1，過點P(2,t)作圓C的切線PA，PB，切點分別是A，B，直線AB過定點____.

評注圓與橢圓的標準方程只是系數不同，但已知切點寫切線方程不受變量系數影響，所以用上述方法求定點是沒有任何問題的.事實上，圓、橢圓、雙曲線、拋物線等二次曲線提供了切點法寫切線的可能，已知動點的參數為切點連線過定點提供了必備條件.

5.2 變換題目出口

①

將P(2,t)代入①，得x1+ty1=1.

②

同理，x2+ty2=1.

③

由 ②③得直線AB的方程為x+ty=1.

設焦點F到直線AB的距離為d，那么

④

評注變式5,6分別從一維、二維角度設置問題，但問題都歸結為關于t的函數，從能力考查來看，沒有區別.另外，④處還可以利用基本不等式處理，有興趣的同仁可以試一試.

解析設A(x1,y1) ，B(x2,y2)，那么PA的方程可以表示為x1x=2(y1+y).

即x1x-2y1-2y=0.

⑤

將P(t,-1)代入⑤,得tx1-2y1+2=0.

⑥

同理，tx2-2y2+2=0.

⑦

由⑥⑦得直線AB的方程為tx-2y+2=0.

所以直線AB過定點(0,1)，此點為該拋物線的焦點！

所以x1x2=-p2=-4.

⑧

評注⑧是拋物線焦點弦的一個常用性質，因此證明直線AB過已知拋物線的焦點(0,1)十分重要.開口向上或向下的拋物線是二次函數，用導數解決切線問題是一個常用技巧.

5.3 變換參數設置方式

評注設P(x0,y0)，那么y0=x0-3，進而有P(x0,x0-3).這里x0的功能就是原題中t的功能.直線僅僅是提供參數的一種方式，沒有其它作用，但容易迷惑學生，增加試題的區分度.

通過以上研究，我們發現圓錐曲線的這類相交切線的切點連線必過定點，用同構法求解雖然不易理解，但是運算簡捷、思路清晰、操作方便，為求弦長、求面積、求夾角等問題鋪平了道路，是一個優秀的通解通法.