有關復變函數中一類復積分的研究

荊柏瑞，龐慧慧，陳 靜*

（1.中國農業大學信息與電氣工程學院，北京 100083；2.中國農業大學理學院，北京 100083）

0 引言

《復變函數》[1]是我國高等院校工科專業，特別是電氣工程及其自動化、電子信息工程、通信、自動化、熱能與動力工程、測控技術與儀器等專業必修的重要基礎課程，是學好相關專業課程的基礎，是解決流體力學、電磁學、熱學及工程力學等領域中平面向量場問題的有力工具。在學習時，要求學生具備《高等數學》及《線性代數》的理論基礎，具備一定的邏輯抽象能力及運用數學觀點分析問題、解決問題的能力。

在“跨學科融合”及“點線面體”等教學新模式[2-4]研究下，注重學生思維的延拓性、發散性、方法的多樣性和創新性的培養。復積分是復變函數中一個非常重要的內容，其中一類復積分的研究難度非常大，文章結合代數、幾何及分析等方法，從不同角度反復思考、分析問題，深入挖掘問題中隱含條件，以新穎獨創的方法解決該類問題，給出了非常全面且更有意義的教學研究途徑及方法。

1 問題提出與分析

問題（1.1）：求一類復積分[1]

2 多種研究過程

2.1 利用函數在無窮遠點處留數與在圓環域內洛朗展開式的系數關系研究問題（1.1）

2.2 利用函數在無窮遠點處留數與在原點處留數的轉化關系研究問題（1.1）

2.3 利用有限奇點處的留數研究問題（1.1）

2.3.2 借助n為偶數情況輔助去研究（6）式

由于該方程得到的復根在復平面上對應的點剛好是以原點為圓心單位圓的內接正n邊形的n個頂點。利用復數的向量表示法與向量合成法則可知，n為偶數時，對任意一個根，必然存在一個與其關于原點對稱的根，故

3 結論

通過對復變函數中難度非常大的一類復積分多方面展開研究，多角度得到了一致性的結果，既可以在教學研究過程中引導學生變換角度思考問題，利用自己擅長的領域對復雜的問題進行剖析，取得更好的教學研究效果，同時鼓勵學生在學習的過程中要通過不同角度研討問題，今后遇到問題時，不拘泥于現有學科的分析思路或已有的解決方法。引導學生充分調動學習積極性，打通不同課程間的知識壁壘，靈活應用所學知識解決實際問題。