基于電機參數在線修正的高速永磁同步電機無位置傳感器算法研究*

陶楷文， 儲劍波

(南京航空航天大學 自動化學院 ，江蘇 南京 211100)

0 引 言

在多電飛機電動環境控制系統中，高速永磁同步電機(HSPMSM)驅動壓氣機進行環控[1]，系統出于裕度考慮往往會為HSPMSM配備一套無位置傳感器算法。然而無位置傳感器算法的可靠運行很大程度取決于其數學模型的準確建立。環控系統中HSPMSM運行環境惡劣，高速大功率工況下伴隨的高溫高振等因素，使得電機參數在運行過程中發生變化，從而導致無位置傳感器算法的數學模型偏差，使得位置觀測器輸出估算位置信息失穩，最終導致系統波動劇烈甚至發散。因此，為保證無位置傳感器算法可靠運行，必須對電機參數進行有效監測。

擴展卡爾曼濾波(EKF)理論是一種最優估計方法，因其收斂速度快、估計精度高且抗干擾強的優點而受到廣泛關注。清華大學Xiao等[2]構建了估算轉子永磁體磁鏈幅值和方向的卡爾曼濾波器，在線監測永磁體磁場狀況，解決了噪聲環境下的永磁體磁鏈辨識困難的問題[3]。文獻[4]提出采用擴展卡爾曼濾波器對組合航天器慣量參數進行辨識，該算法克服了由于模型簡單導致轉動慣量信息辨識不完整的缺點。然而由于電機參數的在線辨識以定子電壓方程為基礎，想要同時辨識電感，定子電阻與轉子磁鏈為無位置傳感器算法服務、定子電壓方程會存在缺秩問題。在不添加額外測量電路的條件下，為解決缺秩問題，一類方法是將某個電機參數視為已知值或采用分步辨識[5-6]，以減少同時辨識的電機參數個數。另一類方法是通過注入激勵信號獲得新的方程，從而構成辨識的滿秩模型[7]。但這兩種方法算法復雜、調試難度大，難以運用到運行工況惡劣的無位置傳感器HSPMSM系統中。

本文針對所采用的基于擴展反電動勢法(EEMF)的無位置傳感器算法[7]，通過穩定性分析法到得參數依賴性特點，針對算法高依賴性參數進行基于EKF的在線辨識。能夠避開全參數辨識所導致的缺秩問題，降低了算法復雜度，只需要實時修改位置觀測器模型中具有高依賴性的參數，即可達到基于無位置傳感器算法的HSPMSM系統穩定運行。最后，通過MATLAB/Simulink仿真驗證了分析所得無位置傳感器算法參數依賴性特點與所提方法的正確性與有效性。

1 無位置傳感器算法設計

d-q軸旋轉坐標系中永磁同步電機(PMSM)的傳統電壓方程：

(1)

式中：ud、uq分別為d、q軸電壓;id、iq分別為d、q軸電流;Ld、Lq分別為d、q軸電感;Rs為定子電阻;p為微分算子;ψf為永磁體磁鏈;ωe為轉子電角速度。

考慮表貼式電機(Ld=Lq=Ldq)，并將式(1)進行數學處理[6]，電壓方程變換到γ-δ估計旋轉軸坐標系下，得到式(2)：

(2)

利用式(2)建立數學模型，求取位置信息。基于估計旋轉坐標軸下擴展反電動勢的無位置傳感器算法控制框圖如圖2所示。

圖2 無位置傳感器控制算法方案框圖

2 參數依賴性分析

對基于無位置傳感器的HSPMSM系統進行小信號模型建立和穩定性分析，改變電機參數繪制系統特征根軌跡圖，定性分析無位置傳感器算法模型的參數依賴性。

2.1 系統小信號模型建立

針對PMSM模型狀態方程如式(3)：

(3)

式中:J為轉動慣量;p為電機極對數;TL為負載轉矩;ωr為轉子機械角速度。

將式(3)進行小信號模型處理，選取穩態工作點進行離散化：

(4)

對無位置傳感器算法進行小信號模型建立。利用式(2)，忽略反電動勢中微分項，考慮在運行過程中Δθe項近似為0，利用等價無窮小原理可得：

(5)

結合圖2控制框圖即可寫出位置觀測器局部狀態方程：

(6)

式中:w為Δθe積分項;Kp、Ki分別為位置觀測器比例系數和積分系數。

在此基礎上選取穩態工作點進行離散化，建立小信號模型。同樣，系統中轉速、電流調節器也利用該思路進行小信號模型建立，最終整合成式(7)：

(7)

式(7)詳細推導過程見文獻[8]。改變轉移矩陣中電機參數，可以得到系統關于該參數的特征根軌跡圖，從而獲得位置觀測器的電機參數依賴特性。

2.2 穩定性分析

穩定性分析參數如表1所示，改變電機方程中各個參數得到對應特征根軌跡圖，當所有特征值的實部均為負值時，認為系統受到干擾后能夠回到穩定狀態。

表1 穩定性分析參數

圖3為電機參數Ldq(考慮表貼式電機)的特征根軌跡圖，轉速、電流環帶寬分別為10、1 000 Hz[9]，無位置傳感器算法帶寬選取為115 Hz。采用id=0的PMSM矢量控制方法。電機運行于45 000 r/min時，風機載為6 N·m。由圖3可得，當無位置傳感器算法參數電感等于實際電感時，系統特征根均分布于左半邊，根據李雅普諾夫穩定性判據可知系統穩定。當實際電感增大時系統向左移動，趨于穩定。而實際電機電感減小至0.62倍時，其特征根移動到右半面，系統發散，該無位置傳感器算法關于電感參數較為敏感。

圖3 基于變實際電感參數的特征根軌跡

繪制出關于電機定子電阻參數與磁鏈參數的主導特征根軌跡，發現這兩個電機參數的變化幾乎不影響系統穩定性。圖4所示，將定子電阻由0.1倍變化至100倍，系統所有特征根均分布于左半平面，因此，該算法關于定子電阻有低參數依賴性，磁鏈參數同樣如此。

圖4 基于變實際電阻參數的特征根軌跡

綜上可得，基于EEMF的無位置傳感器算法僅關于電機電感具有高依賴性，與定子電阻與磁鏈參數較低依賴性，實時在線監測電感參數即可保證HSPMSM系統穩定運行。

3 PMSM電感及電阻在線辨識

3.1 擴展卡爾曼濾波觀測器

因為PMSM為非線性系統，而傳統卡爾曼濾波只適用于線性系統，所以為實現非線性系統的卡爾曼濾波，目前普遍采用按最優狀態估計線性化的卡爾曼濾波方程，即擴展卡爾曼濾波方程。非線性狀態方程描述如下

(8)

式中:帶“^”的變量表示狀態估計量;V(k)表示系統噪聲的協方差，考慮了實際系統擾動和模型參數的不確定性和可變性;W(k)表示測量噪聲的協方差，考慮了所有測量噪聲和測量的不準確性。

擴展卡爾曼濾波主要由兩個循環步驟組成。

(9)

式中：Q(t)是狀態方程(8)中系統噪聲的自相關矩陣，由一個對角陣、一個時變矩陣和一個非時變對角陣疊加組成，實際系統中由于采樣時間的限制，使用一個非時變對角陣Q代替。因為及模型中A′仍含有狀態變量分量，所以還需對系統模型進行線性化處理，即求系統方程對狀態變量x的偏導，記為Fk:

(10)

(11)

式中：Kk+1為卡爾曼濾波增益矩陣，關聯了狀態預測和測量反饋校準兩個階段，反映了卡爾曼濾波的實質。

因此卡爾曼濾波估計的關鍵是加權增益矩陣Kk+1的選擇。Kk+1的表達式如下

Kk+1=Pk|k+1C′T(CPk+1|kC′T+R)-1

(12)

式中:測量噪聲協方差矩陣R(t)同樣使用一個非時變對角陣R描述。

因此設計卡爾曼濾波增益Rk+1的關鍵是確定P0|0、Q、R的值。

3.2 PMSM電感在線辨識

因為卡爾曼濾波算法一般用于線性系統中，所以需要對連續的狀態方程式(1)進行離散化，表達式為

(13)

離散化后的系統狀態變量x(k)=[id(k)iq(k)Rs(k)/Ldq(k) 1/Ldq(k)]T,輸入變量y(t)=[ud(k)uq(k)]T,輸出變量y(t)=[id(k)iq(k)]T。進而對式(13)求偏導計算出Fk:

(14)

按照狀態預測與狀態更新步驟即可在線辨識Rs/Ldq與1/Ldq。

3.3 缺秩問題

構建的4階擴展卡爾曼濾波觀測器并不能夠使辨識值收斂于真實值，其根本原因在于所構建的觀測器并不滿足滿秩要求，缺秩問題導致系統辨識值存在多解情況。針對該問題利用李導數[10]進行觀測器滿秩分析，定義矩陣O：

(15)

式中:L為系統可觀判別矩陣;由n個k階李導數組成;np為自變量x的個數;n為觀測器的階數。

最終求得O矩陣，保證其滿秩即可保證局部弱能觀，即構建的四階卡爾曼濾波觀測器有唯一解。O矩陣經化簡如下：

(16)

最終系統滿足iq≠0,ωe≠0,卡爾曼濾波觀測器滿秩。

4 仿真與試驗結果

基于電機參數在線修正的EEMF無位置傳感器HSPMSM系統控制框圖如圖5所示。

圖5 HSPMSM系統控制框圖

在MATLAB/Simulink中對該方法進行了模型搭建和仿真研究，仿真中的電機參數與各調節器參數與穩定性分析中的各參數一致，具體電機參數如表1所示。在0 s給定轉速30 000 r/min，1 s時電機電感開始均勻下降，1.5 s時下降至初始值72%。為進一步驗證動態情況，在2 s時給定轉速35 000 r/min觀察轉速響應情況。

圖6給出了在電機電感變化情況下，基于EEMF無位置傳感器HSPMSM系統運行狀況。可知在電感變小后，系統出現轉速振蕩現象，動態效果也相應變差，最終穩態下轉速波動達到了6 000 r/min。其原因在于電感變化導致位置觀測器數學模型發生偏差，也驗證了圖3特征根軌跡趨勢，減小電感系統特征根向虛軸移動，根據李雅普諾夫定理可知系統趨于不穩定，越靠近虛軸系統噪聲則會越明顯，使得系統出現較大轉速波動。若繼續減小電感，系統將出現發散現象。

圖6 無位置傳感器算法電感依賴性分析

圖6驗證了該無位置傳感器算法關于電感參數的高依賴特性。圖7給定電機定子電阻Rs從0.1倍初始值增至100倍，位置觀測器中的定子電阻值恒為定子電阻初值Rs，轉速波形幾乎沒有任何改變，驗證了EEMF算法定子電阻的低依賴性。

圖7 EEMF算法電阻依賴性波形圖

圖8給出了在空載下EKF觀測器辨識結果，辨識值不能收斂于實際值，辨識Rs/Ldq值出現了發散現象，辨識1/Ldq收斂于錯誤值。仿真與理論對應，當電機處于空載時，所構建的四階卡爾曼濾波觀測器缺秩，式(16)矩陣的秩為2，導致四階觀測器存在多解，使得觀測錯誤。圖9給出了電機帶載情況下的辨識結果，可知在iq≠0的情況下四階卡爾曼濾波觀測器滿秩，能夠正確辨識出電阻與電感值。

圖8 空載情況下EKF辨識波形

圖9 帶載情況下EKF辨識波形

對基于EKF在線監測電感的無位置傳感器HSPMSM系統進行仿真，給定轉速為40 000 r/min，在0.6 s時開始在線監測電機電感并將辨識值送至無位置傳感器算法模型以進行修正，2 s時刻升速至45 000 r/min。圖10為最終無位置傳感器算法輸出估計轉速與實際電機電感變化波形，估計轉速在隨著電機電感變化后不會出現轉速振蕩現象，動態與穩態性能良好。圖11給出運行過程中轉速誤差與角度誤差情況，轉速誤差控制在±150 r/min以內，45 000 r/min轉速下穩態精度達到0.33%以內，穩態角度誤差也控制在0.01 rad。

圖10 基于電機參數在線修正的HSPMSM系統輸出波形

圖11 改進算法輸出誤差情況

圖12給出了45 000 r/min轉速下估計角度與實際角度對比波形以及角度誤差情況，角度誤差控制在0.01 rad，高轉速下該改進后無位置傳感器算法能夠穩定運行。圖13為擴展卡爾曼濾波觀測器輸出電感辨識結果，觀測器能夠實時觀測到電機電感實際值。

圖12 改進算法角度估算波形

圖13 基于EKF在線辨識的電感在線監測波形

5 結 語

本文利用基于小信號模型的穩定性分析法研究了基于估計旋轉坐標系下擴展反電動勢的無位置傳感器算法電機參數依賴特性，針對算法高依賴性參數通過卡爾曼濾波理論構建觀測器實現在線監測，實時修正無傳感器算法模型，避免了全參數辨識帶來的缺秩問題，極大地降低了參數辨識算法復雜度。最后，在仿真中驗證了無位置傳感器算法參數依賴性與改進方案的可行性與有效性。