基于變指數(shù)趨近律的永磁同步電機(jī)滑模控制*

陳德海, 曹永康, 陽(yáng) 攀

(1.江西理工大學(xué) 電氣工程與自動(dòng)化學(xué)院,江西 贛州 341000；2.江西理工大學(xué) 外國(guó)語(yǔ)學(xué)院，江西 贛州 341000)

0 引 言

目前，永磁同步電機(jī)(PMSM)在航空航天、機(jī)器人、新能源汽車(chē)等控制領(lǐng)域應(yīng)用廣泛，主要原因是其具有結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、器件體型小巧、穩(wěn)定性高等優(yōu)點(diǎn)。PMSM的控制策略則影響電機(jī)使用性能，因此吸引了一大批學(xué)者對(duì)其控制方法進(jìn)行深入研究。

傳統(tǒng)的PI控制雖然具有算法簡(jiǎn)便、易于操作調(diào)節(jié)、可靠等優(yōu)點(diǎn)，但是當(dāng)系統(tǒng)受外界干擾或參數(shù)發(fā)生變化時(shí)，PI控制應(yīng)變能力不足，抗干擾性較差，魯棒性差，不能滿足系統(tǒng)的實(shí)際需求。于是，充分考慮系統(tǒng)各方面的需求特點(diǎn)之后，對(duì)其查漏補(bǔ)缺，致其控制策略層出不窮，例如模糊控制[1]、自適應(yīng)控制[2-3]、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制[4-5]、滑模控制(SMC)[6～14]等，其中滑模變結(jié)構(gòu)控制具備抗干擾性強(qiáng)、響應(yīng)速度快、穩(wěn)定調(diào)節(jié)時(shí)間短等特點(diǎn)，而一般的控制策略不能滿足PMSM非線性、多變量、強(qiáng)耦合等特點(diǎn)，因此近年來(lái)，國(guó)內(nèi)外學(xué)者致力于將滑模變結(jié)構(gòu)控制應(yīng)用于PMSM控制系統(tǒng)。由于SMC不可避免地會(huì)出現(xiàn)抖振、超調(diào)等問(wèn)題，對(duì)系統(tǒng)運(yùn)行有一定影響，研究人員致力于對(duì)趨近律進(jìn)行改進(jìn)創(chuàng)新，并且以此構(gòu)造滑模速度控制器，進(jìn)一步抑制超調(diào)和抖振的產(chǎn)生。文獻(xiàn)[6]在傳統(tǒng)指數(shù)趨近律上引入了系統(tǒng)狀態(tài)變量的冪次方，超調(diào)和抖振均得到進(jìn)一步抑制，但效果稍顯遜色。文獻(xiàn)[7]將傳統(tǒng)指數(shù)趨近律的趨近系數(shù)設(shè)計(jì)成倒數(shù)關(guān)系，系統(tǒng)性能改善明顯。文獻(xiàn)[8]在指數(shù)趨近律的等速項(xiàng)中新加一個(gè)關(guān)于滑模面s的函數(shù)，系統(tǒng)自適應(yīng)調(diào)整能力加強(qiáng)，但趨近律略顯復(fù)雜。文獻(xiàn)[9]用冪次函數(shù)以及反雙曲正弦函數(shù)構(gòu)造新的趨近律，抖振得到削弱。文獻(xiàn)[10]使用新建函數(shù)代替?zhèn)鹘y(tǒng)符號(hào)函數(shù)，并且引入了一個(gè)包含兩個(gè)狀態(tài)變量的表達(dá)式，優(yōu)化指數(shù)趨近律，降低了系統(tǒng)的抖動(dòng)程度。文獻(xiàn)[11]在雙冪次趨近律基礎(chǔ)上，增加了自適應(yīng)項(xiàng)，但是沒(méi)有考慮外部干擾。文獻(xiàn)[12]基于傳統(tǒng)指數(shù)趨近律，引入了變指數(shù)函數(shù)和雙曲正切函數(shù)，提高了系統(tǒng)趨近速度自適應(yīng)調(diào)節(jié)能力和抖振抑制能力。文獻(xiàn)[13]提出一種帶飽和函數(shù)的冪次趨近律，系統(tǒng)動(dòng)態(tài)品質(zhì)得到一定改善。文獻(xiàn)[14]在傳統(tǒng)指數(shù)趨近律上，結(jié)合了終端吸引因子和狀態(tài)變量的冪函數(shù)，控制效果得到提升。通過(guò)以上文獻(xiàn)內(nèi)容得知，要改善系統(tǒng)超調(diào)、抖振等問(wèn)題，解決方法較多，但或多或少都有其不足之處。

本文設(shè)計(jì)了一種新的趨近律，在傳統(tǒng)指數(shù)趨近律基礎(chǔ)上，將一個(gè)以滑模面s為變量的函數(shù)引入等速項(xiàng)中，用以加快系統(tǒng)響應(yīng)速度，縮短系統(tǒng)響應(yīng)進(jìn)程，并優(yōu)化傳統(tǒng)符號(hào)函數(shù)，對(duì)此作了平滑處理，提高控制系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)品質(zhì)。

1 PMSM數(shù)學(xué)模型

為了方便分析，假設(shè)電機(jī)元件、條件等是理想的。在id=0的條件下，選取d-q坐標(biāo)軸下的數(shù)學(xué)模型，PMSM定子電壓方程為

(1)

式中:ud、uq為d軸、q軸定子電壓分量；id、iq為d軸、q軸定子電流分量；R為定子電阻；φd、φq為d軸、q軸磁鏈分量；φf(shuō)為永磁體磁鏈；ωe為電角速度。

電磁轉(zhuǎn)矩表達(dá)式：

Te=1.5piqφf(shuō)

(2)

式中:Te為電磁轉(zhuǎn)矩;p為電機(jī)極對(duì)數(shù)。

電機(jī)機(jī)械運(yùn)動(dòng)表達(dá)式：

(3)

式中:J為轉(zhuǎn)動(dòng)慣量;TL為負(fù)載轉(zhuǎn)矩;ωm為機(jī)械角速度；ωe=pnωm。

2 改進(jìn)趨近律設(shè)計(jì)

2.1 傳統(tǒng)指數(shù)趨近律

指數(shù)趨近律這一概念最早由我國(guó)院士所提出，并親自設(shè)計(jì)了指數(shù)趨近律表達(dá)式，具體如下：

(4)

式中：s為滑模面函數(shù)；ε、q為趨近系數(shù)，并且都是大于0的數(shù)；sign(s)為符號(hào)函數(shù)。

算法第一項(xiàng)-εsign(s)是等速項(xiàng)，第二項(xiàng)-qs是指數(shù)項(xiàng)。當(dāng)運(yùn)動(dòng)點(diǎn)離滑模面s較遠(yuǎn)時(shí)(趨近運(yùn)動(dòng))，等速項(xiàng)與指數(shù)項(xiàng)共同作用，指數(shù)項(xiàng)起主要作用；當(dāng)運(yùn)動(dòng)點(diǎn)在滑模面s附近時(shí)(滑模運(yùn)動(dòng))，等速項(xiàng)起作用，指數(shù)項(xiàng)逐漸為0。其中q越大，到達(dá)滑模面所用時(shí)間越短，ε越小，到達(dá)滑模面時(shí)的速度越小。合理平衡兩者的數(shù)值關(guān)系，才能達(dá)到加快系統(tǒng)響應(yīng)速度、減小超調(diào)和抖振的效果。

2.2 改進(jìn)趨近律

趨近律的設(shè)計(jì)原則：

(1) 運(yùn)動(dòng)點(diǎn)在滑模面較遠(yuǎn)處時(shí)，趨近速度要大，加快響應(yīng)速度，縮短趨近時(shí)間。

(2) 運(yùn)動(dòng)點(diǎn)在滑模面附近處時(shí)，趨近速度要盡量小，以免產(chǎn)生較大的超調(diào)。

以趨近律設(shè)計(jì)原則出發(fā)，進(jìn)行趨近律改進(jìn)的深入研究，改進(jìn)后的趨近律表達(dá)式如下：

(5)

式中:ε>0，q>0，a>0，b>0。

函數(shù)f(s)的作用是加快系統(tǒng)響應(yīng)速度，縮短系統(tǒng)趨于穩(wěn)定過(guò)程，系統(tǒng)狀態(tài)變量絕對(duì)值的冪次項(xiàng)抑制抖振幅度，減小誤差。當(dāng)運(yùn)動(dòng)點(diǎn)在無(wú)限遠(yuǎn)處時(shí)，|s|趨近于無(wú)窮，則f(s)趨近于無(wú)窮，趨近速度大；當(dāng)運(yùn)動(dòng)點(diǎn)在滑模面附近處時(shí)，|s|接近于0，此時(shí)f(s)≈a/(1+a)，小于1，趨近速度較小。與傳統(tǒng)指數(shù)趨近律相比，改進(jìn)后的趨近律在控制趨近速度方面效果較好，超調(diào)得到抑制，抖振幅度被削弱，自適應(yīng)調(diào)整能力更為出色。

為了進(jìn)一步對(duì)曲線進(jìn)行優(yōu)化，對(duì)符號(hào)函數(shù)采取平滑處理化，讓仿真曲線更加平滑順暢，平滑處理后的符號(hào)函數(shù)表達(dá)式如下：

(6)

式中:σ是一個(gè)數(shù)值較小的正常數(shù)，σ>0取0.01。

2.3 新趨近律性能分析

選用以下系統(tǒng)對(duì)趨近律進(jìn)行性能分析，驗(yàn)證改進(jìn)趨近律的優(yōu)越性：

(7)

滑模面函數(shù)設(shè)為s=Cx，對(duì)其求導(dǎo)可得：

(8)

將式(4)、式(5)、式(7)、式(8)進(jìn)行公式變換，則系統(tǒng)的控制輸出u表達(dá)式如下：

u=(CB)-1(-CAx+slaw)

(9)

對(duì)傳統(tǒng)指數(shù)趨近律以及改進(jìn)趨近律控制器進(jìn)行Simulink建模仿真，而后進(jìn)行各參數(shù)的調(diào)試工作(參數(shù)自整定方法和頻域分析法)，最終選取各參數(shù)值為,改進(jìn)趨近律參數(shù)a=15，b=15，兩種趨近律共同參數(shù)q=10、ε=5。

兩種趨近律控制性能效果對(duì)比如圖1所示。

圖1 兩種趨近律性能對(duì)比

從圖1對(duì)比可知，在系統(tǒng)響應(yīng)速度、趨于穩(wěn)定時(shí)間、抖振幅度等方面，改進(jìn)后的趨近律控制效果比傳統(tǒng)指數(shù)趨近律更好。

3 滑模速度控制器設(shè)計(jì)

3.1 控制器設(shè)計(jì)

在id=0、Ld=Lq=Ls的條件下，對(duì)PMSM調(diào)速系統(tǒng)進(jìn)行狀態(tài)變量的定義：

(10)

式中：ωref為給定轉(zhuǎn)速；ωm為電機(jī)實(shí)際轉(zhuǎn)速；Ls為定子電感。

由式(1)～式(3)可得：

(11)

將式(11)代入式(10),則：

(12)

(13)

定義滑模面函數(shù)s：

s=cx1+x2

(14)

式中：c為待定系數(shù)；x1為轉(zhuǎn)速誤差；x2為位轉(zhuǎn)速誤差的微分。

對(duì)滑模面函數(shù)s進(jìn)行微分：

(15)

對(duì)式(5)、式(15)進(jìn)行公式變換，則控制輸出u為

(16)

q軸參考電流為

(17)

由于式(17)帶有積分項(xiàng)，既削弱了抖振，也降低了穩(wěn)態(tài)誤差，系統(tǒng)動(dòng)態(tài)品質(zhì)得到提升。

3.2 穩(wěn)定性分析

由李雅普諾夫(Lyapunov)函數(shù)：

(18)

可知，對(duì)其微分，并代入趨近律，可得：

(19)

4 仿真分析

圖2為PMSM控制系統(tǒng)的調(diào)速框圖，是一個(gè)由電流環(huán)、轉(zhuǎn)速環(huán)構(gòu)成的雙閉環(huán)控制系統(tǒng)，其中電流環(huán)采用最原始的PI控制方法進(jìn)行控制，而轉(zhuǎn)速環(huán)則運(yùn)用由改進(jìn)的趨近律所構(gòu)成的滑模速度控制器進(jìn)行控制。隨后搭建PMSM調(diào)速系統(tǒng)的Simulink仿真模型，并與PI控制器、基于傳統(tǒng)指數(shù)趨近律的控制器進(jìn)行仿真效果的對(duì)比。

圖2 PMSM調(diào)速系統(tǒng)框圖

電機(jī)參數(shù)如表1所示。

表1 電機(jī)參數(shù)表

控制算法參數(shù)設(shè)置：PI控制電流環(huán)Kp=45，Ki=220，轉(zhuǎn)速環(huán)Kp=0.06，Ki=3；傳統(tǒng)指數(shù)趨近律、改進(jìn)趨近律參數(shù)c=200，q=100，ε=280，a=12，b=10。

從圖3仿真效果可以得知，在轉(zhuǎn)速方面，系統(tǒng)剛起動(dòng)時(shí)，PI控制器產(chǎn)生的超調(diào)最大，穩(wěn)定下來(lái)所用時(shí)間也最長(zhǎng)；傳統(tǒng)指數(shù)趨近律控制器超調(diào)較小，穩(wěn)定所用時(shí)間較短；改進(jìn)后的趨近律控制器無(wú)超調(diào)，并且達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)所用時(shí)間最少。在0.2 s突加負(fù)載后，改進(jìn)趨近律超調(diào)最小，傳統(tǒng)指數(shù)趨近律次之，PI控制表現(xiàn)最差，超調(diào)最大，如表2所示。

圖3 電機(jī)轉(zhuǎn)速變化曲線

表2 轉(zhuǎn)速響應(yīng)性能對(duì)比

為使視圖清晰，圖4和圖5只顯示系統(tǒng)起步響應(yīng)階段與跳變階段。圖4、圖5中，在電磁轉(zhuǎn)矩方面，控制系統(tǒng)剛起步階段時(shí)，改進(jìn)趨近律和傳統(tǒng)指數(shù)趨近律控制器接近無(wú)超調(diào)，但PI控制器產(chǎn)生超調(diào)較大。在0.2 s突加負(fù)載階段，改進(jìn)趨近律響應(yīng)速度最快，并且穩(wěn)定下來(lái)耗費(fèi)時(shí)間最少；傳統(tǒng)指數(shù)趨近律響應(yīng)速度次之，穩(wěn)定耗費(fèi)時(shí)間次之；PI控制響應(yīng)速度最慢，穩(wěn)定耗費(fèi)時(shí)間最多。詳細(xì)數(shù)據(jù)對(duì)比如表3所示。

圖4 電磁轉(zhuǎn)矩變化曲線

圖5 電磁轉(zhuǎn)矩局部放大曲線圖

表3 電磁轉(zhuǎn)矩響應(yīng)性能對(duì)比

從以下圖6～圖8可知，在第一次三相電流趨于穩(wěn)定階段中，PI控制響應(yīng)速度最慢，電流趨于0幅度變化最小，并且趨于穩(wěn)定過(guò)程最長(zhǎng)，電流容易紊亂；傳統(tǒng)指數(shù)趨近律與改進(jìn)趨近律響應(yīng)速度、電流變化幅度差不多，均較快，電流曲線也比較平穩(wěn)，趨于穩(wěn)定過(guò)程較短。在系統(tǒng)0.2 s突加負(fù)載后三相電流第二次趨于穩(wěn)定過(guò)程中，PI控制不能夠及時(shí)到達(dá)特定轉(zhuǎn)矩，穩(wěn)定過(guò)程中電流變化幅度較大，約2 A，不夠穩(wěn)定，在0.26 s處穩(wěn)定下來(lái)；傳統(tǒng)指數(shù)趨近律穩(wěn)定時(shí)電流幅度變化較大，約3 A，不夠穩(wěn)定，在0.25 s處穩(wěn)定下來(lái)；改進(jìn)趨近律穩(wěn)定時(shí)電流幅度變化較小，約0.1 A，穩(wěn)定性較好，在0.23 s處穩(wěn)定下來(lái)。

圖6 PI控制三相電流變化曲線

圖7 傳統(tǒng)指數(shù)趨近律三相電流變化曲線

圖8 改進(jìn)趨近律三相電流變化曲線

從以上仿真效果以及說(shuō)明解釋可知，改進(jìn)趨近律控制器不論是在響應(yīng)速度快慢、超調(diào)大小方面，還是抖振幅度大小、穩(wěn)定過(guò)程所用時(shí)間長(zhǎng)短方面，其展現(xiàn)出來(lái)的效果均比傳統(tǒng)指數(shù)趨近律控制器和PI控制器要好，系統(tǒng)動(dòng)態(tài)品質(zhì)全方面地得到提升。

5 結(jié) 語(yǔ)

本文在傳統(tǒng)指數(shù)趨近律的基礎(chǔ)上，針對(duì)性地對(duì)其不足之處(超調(diào)大、抖振幅度大等)進(jìn)行分析以及解決，具體為在等速項(xiàng)中引入以滑模面s為變量的函數(shù)，并將符號(hào)函數(shù)進(jìn)行平滑處理。而后構(gòu)建相關(guān)的滑模速度控制器，搭建PMSM調(diào)速系統(tǒng)的Simulink仿真模型，并且與傳統(tǒng)指數(shù)趨近律控制器和PI控制器進(jìn)行仿真效果對(duì)比。結(jié)果表明，改進(jìn)后的趨近律控制器在系統(tǒng)響應(yīng)速度、抑制超調(diào)和抖振等方面控制效果均比之前的方法要更為精進(jìn)，進(jìn)一步改善了系統(tǒng)動(dòng)態(tài)品質(zhì)。由此可見(jiàn)，該方法是完全有效的，并且改善效果顯著。美中不足的是，超調(diào)和抖振并沒(méi)有達(dá)到完全消除的效果，因此需要再進(jìn)一步的深入研究。