孟加拉灣海域背景流-中尺度渦-高頻擾動之間的相互作用

季頁，楊洋，梁湘三

(1. 南京信息工程大學 海洋科學學院，江蘇 南京 210044；2. 廈門大學 海洋與地球學院，福建 廈門 361102；3. 復旦大學 大氣與海洋科學系，上海 200438；4. 復旦大學 IRDR極端天氣氣候與健康風險互聯和治理國際卓越中心，上海 200438；5. 南方海洋科學與工程廣東省實驗室（珠海），廣東 珠海 519000)

1 引言

孟加拉灣（Bay of Bengal，BOB）是位于印度洋東北部的半封閉海域（圖1），也是全球受季風影響最強的海域。該海域具有復雜的多尺度海洋現象，如：西邊界流、季風流、中尺度渦旋以及高頻擾動等[1-4]。這些不同尺度的海洋過程對東北印度洋海域的生態系統、漁業[5-6]甚至當地的氣候[7]都有著重要的影響。BOB海域的環流系統呈現出明顯的季節變化特征。在夏季，受西南季風影響，向東北流的西邊界流將南部海域的暖水向北部輸送[8-10]。同時，在斯里蘭卡島東部，還存在一支西南季風流將阿拉伯海的高鹽度水輸送進BOB海域[11]。與之相對應的，在冬季整個BOB海域受東北季風控制，西邊界流轉變為向西南流的東印度洋沿岸流（East Indian Coastal Current，EICC）。此時BOB南部海域由東北季風流主導[12-13]。

圖1 孟加拉灣及其周邊海域海底地形Fig. 1 The bathymetry in the Bay of Bengal and its adjacent regions數據來自ETOPO1，區域1～4分別代表孟加拉灣西北部邊界（EICC的流經區域）、孟加拉灣中部海域、斯里蘭卡島的東部海域和蘇門答臘島的西北部海域，詳細的區域選取說明見2.3節The data from ETOPO1. The numbered boxes from 1 to 4 denote the northwestern boundary of Bay of Bengal (EICC region), the central Bay of Bengal , the east of Sri Lank and northwest of Sumatra, respectively.See Section 2.3 for detailed description of the region selection

BOB海域大尺度的海洋系統主要表現為西邊界流和季風洋流，在季節內尺度則主要由中尺度渦旋表現出來。前人的研究表明BOB海域存在活躍的渦旋活動[14-15]。這些中尺度渦旋主要在東邊界處生成，隨后向西傳播，主要活躍在BOB的西部海域[3,16]，其頻率特征主要集中在30～60 d上[16-17]。渦旋活動對于BOB海域的生態環境有重要影響，其通過抽吸作用等方式改變了BOB海域葉綠素和營養鹽的分布[18-19]。除了隨季節轉換的大尺度背景流和活躍的中尺度渦旋外，BOB還存在著生命周期在3～7 d的高頻擾動以及準兩周周期的季節內信號。Subrahmanyam等[4]發現BOB南部海域上空天氣尺度的風應力（尤其在西南季節盛行期間）可以通過海水輻合輻散在海表的溫鹽場上產生對應頻率段的擾動。在本研究中，我們將這些周期在24 d以內的海洋過程統稱為高頻擾動。

正是由于上述復雜的多尺度海洋系統的存在，BOB海域表現出強烈的多尺度相互作用現象[20-22]。研究多尺度相互作用對于了解該海域的能量循環以及環流動力機制有著重要的意義[23]。在BOB海域，前人研究發現BOB的西邊界是渦流相互作用的關鍵區域，且主要通過EICC的斜壓不穩定向中尺度渦旋傳輸能量[16]。Babu等[24]利用水文觀測資料在BOB海域的西邊界發現了一個直徑約為200 km的次表層冷渦，他們認為斜壓不穩定導致了該渦旋的產生。Arunraj等[20]通過渦旋追蹤發現BOB海域渦旋的數量以及渦動能呈現出顯著的季節變化特征，且與EICC流向的變化周期相一致。Chen等[22]將衛星觀測數據以及海洋環流模式實驗相結合，指出斯里蘭卡島附近以及BOB西部海域中渦動能的主要能量來源為EICC和季風流造成的海洋內部的不穩定過程。

除了渦流之間的相互作用外，高頻擾動對于中尺度渦旋和洋流的變化也存在著影響。前人已經在黑潮流域和墨西哥灣海域發現高頻擾動與中尺度渦旋和洋流之間存在相互作用，甚至存在顯著的逆尺度的能量傳輸[25-26]。但在BOB海域，這些高頻擾動與較低頻的中尺度渦旋以及大尺度背景環流存在怎么樣的相互作用，這個問題至今還不清楚。

基于上述研究，BOB海域的環流系統至少可以分離為隨季節轉向的背景流、中尺度渦旋以及高頻擾動3個子系統。此三系統之間是如何相互作用的？這些相互作用在BOB海域具有什么樣的空間結構？背景流-中尺度渦之間的相互作用，以及高頻擾動過程與中尺度渦之間的相互作用對BOB不同區域中尺度渦能量的貢獻如何？這些問題迄今還沒有詳盡的解釋。本文將利用一種新的泛函工具，即多尺度子空間 變 換（Multiscale Window Transform，MWT）[27]，以及基于MWT的正則傳輸理論[28-29]對上述問題展開研究。

2 資料和方法

2.1 資料

本文選用由日本海洋地球科技研究所提供的高分辨率OFES（OGCM for the Earth Simulator）數據對BOB海域多尺度過程進行研究。OFES數據的覆蓋范圍為75°S～75°N，不包括南北極區域，其水平分辨率為0.1°×0.1°，垂直方向上分為54層，垂向分辨率由表層的5 m逐漸擴大到最大深度（約6065 m）處的330 m[30]，時間分辨率為3 d一次。目前OFES有兩套數據，其中一套模式采用NCEP/NCAR氣候預報中心的再分析風場作為強迫場，另一套由QuikSCAT衛星觀測風場強迫[31]。針對BOB海域，Cheng等[15]將分別由QuikSCAT與NCEP風場驅動得到的OFES海表高度數據與觀測資料進行了對比，發現前者的模擬結果與衛星觀測值更為接近。因此，本文選擇用QuikSCAT風場驅動的OFES模擬資料對BOB海域進行研究，所使用數據的空間范圍為BOB海域（0°～23°N，77°～100°E）的上層海洋（5～300 m），時間區間為1999年7月至2007年12月。除了OFES模式數據，我們還使用衛星高度計觀測數據（Archiving Validation and Interpretation of Satellite Data in Oceanography，AVISO）與OFES的模擬結果進行了對比和驗證，詳見2.3節。總的來說，OFES對BOB海域的動力過程有較好的模擬效果，很多學者基于OFES模式數據對BOB海域能量以及熱鹽輸運等過程進行研究[13,15,17,32]。比如，Masumoto等[30]指出OFES模式數據可以很好地表征出沿岸西邊界流以及洋流附近產生的中尺度渦旋，這與BOB海域復雜的海洋系統相吻合。Cheng等[17]比較了用OFES和衛星觀測兩套數據計算得到的不同時間尺度內海表面高度（SSH）的變化，結果表明OFES具有很好的模擬效果。

2.2 多尺度子空間變換和正則傳輸理論

本文首先使用一種新的泛函工具—多尺度子空間變換（MWT）[27]將相關變量分解到3個尺度子空間，即背景流子空間、中尺度子空間和高頻尺度子空間，然后利用正則能量傳輸理論[29]從能量學的角度討論這3個尺度子空間之間的相互作用。

MWT將一個函數空間分解為一組正交子空間的直和，每個子空間都包含了一個指定的時間尺度，這樣的子空間被定義為尺度子空間[27]。對一條時間序列u(t)進行MWT，可以得到其變換系數和對應的重構場（濾波場）u～?(t)。 其中n表示時次， ?表示某一具體子空間。針對本研究，我們定義了3個尺度子空間，用 ?=0，1，2表示，分別代表背景流、中尺度和高頻尺度3個尺度子空間（詳見2.3節關于尺度分離的討論）。需要注意的是和(t)是兩個完全不同的概念，前者是相空間（頻率空間）的概念，而后者則是物理空間的概念（注意重構場是時間t的函數，而變換系數不是），這個“變換-重構”對類似經典的傅里葉變換和逆變換。Liang和Anderson[27]證明了多尺度能量應表示為（再乘上一個常系數），即u(t)在?子空間上的MWT變換系數的平方，注意很多研究把多尺度能量等同于重構場（濾波場）的平方，這種做法在概念上就是錯誤的，Liang[29]對此給出了嚴格的推導和澄清。讀者也可參見Yang和Liang[33]關于此問題的一個相對直觀、簡潔的重述。

多尺度能量學中一個關鍵的物理過程是跨尺度能量傳輸，該過程的準確表達是研究多尺度相互作用過程的前提。從物理意義上來說，跨尺度能量傳輸過程只會使能量在不同尺度之間交換，而不會使得能量憑空產生或消失。但遺憾的是，傳統的多尺度能量學方程都不滿足這個簡單的物理性質。比如傳統基于雷諾平均-擾動分解的兩個尺度的能量方程中，平均能量方程和擾動能量方程中的跨尺度能量傳輸項無法互相抵消[33]。為了解決這個問題，Liang[29]基于MWT提出了正則傳輸理論并導出了多尺度動能和有效位能方程：

式（1）中， ?子空間的動能K?的變率受動能空間輸運、壓 強 做功、跨 尺 度 動 能 傳 輸、浮力轉換（b?）和其他過程（包含外強迫、耗散等，這里不加區分地記為控制。式（2）中， ?子空間的有效位能A?的變率受有效位能空間輸運、跨尺度有效位能傳輸、浮力轉換（ -b?）和其他過程（包含外強迫、耗散等，這里不加區分地記為控制。關于式（1）和式（2）方程的詳細推導請參見文獻[29]。

式（1）和式（2）這兩個方程構成了3個尺度下的洛倫茲能量循環，如圖2所示。前人關于此類研究大多是基于平均流和擾動兩個尺度，而本文基于BOB環流特征采用了3個尺度的洛倫茲能量循環，這是本研究的一個創新點。在本文中，我們僅關注跨尺度能量傳輸（和）和浮力轉換（）過程，即圖2中紅色箭頭所表示的過程，這些過程涉及3個尺度的動能和有效位能之間的能量交換，能用來定量表征BOB區域背景流、中尺度渦、高頻擾動之間內在的非線性相互作用。

圖2 3個尺度子空間框架下的能量循環Fig. 2 The energy cycle for a three-window decomposition

2.3 尺度劃分

為了檢驗OFES模式數據對于BOB海域中多尺度海洋系統的模擬效果，我們對比了基于AVISO觀測數據和OFES模式數據計算得到的表層動能譜，結果如圖3所示。總的來說，兩者的動能譜結構相似，峰值頻率基本重合（包括年周期、半年周期、季節內周期的信號），這表明OFES模式數據可以很好地模擬出BOB海域復雜的多尺度海洋系統。由于AVISO數據的空間分辨率較低以及對于非地轉信號的缺失，其計算結果的量級相對OFES較小。另外一個導致OFES動能偏大的原因可能是OFES不包含海氣耦合過程。很多模式研究表明海氣耦合過程會削弱海洋EKE（如 Renault等[34]）。另外，從周期小于24 d的動能譜可見OFES在這個高頻段的振幅要遠大于AVISO，這是因為AVISO數據在時空上進行了插值導致高頻擾動無法很好地分辨出來[35]。如圖3a所示，BOB海域具有顯著的多尺度海洋信號，如年循環信號、24～96 d的中尺度信號和更高頻的信號（30 d以下）等，其中周期為6個月左右的半年信號最為顯著。為了探討BOB海域多尺度過程的區域差異性，本文參考Cheng等[17]的研究，選取了BOB海域4個典型的子區域進行比較與分析：自北向南依次為BOB的西北部邊界海域（區域1）、BOB中部海域（區域2）、斯里蘭卡島的東部海域（區域3）以及蘇門答臘島的西北部海域（區域4），具體分區情況參見圖1。BOB的西北部邊界海域（區域1）因有很強的背景急流（EICC），EICC通過不穩定過程使得該區域為整個BOB海域渦流相互作用最為強烈的區域[15-16]。BOB中部海域（區域2）內渦旋的生成較其他區域有所不同，Cheng等[36]針對該區域渦旋獨特的生成機制進行了討論，故此我們將其作為一個子區域來研究。選取斯里蘭卡島的東部海域（區域3）和蘇門答臘島的西北部海域（區域4）的依據是EKE的空間分布特征（圖4），這兩個區域存在活躍的渦旋活動。從圖3中可見，4個區域內都存在著顯著的年循環和半年循環信號，這主要是由于這些區域隨季節轉向的EICC和季風流的影響。此外，不同區域的中尺度信號呈現出顯著的差異。區域1的中尺度信號周期主要集中在3～4個月；區域2動能譜強度相對較弱，中尺度信號集中在3個月左右；而區域3和4兩個區域的動能在1～3個月內很強。對于1個月以下的高頻信號，區域4處該周期內的信號最為顯著。

圖3 孟加拉灣（BOB）海域不同區域平均的表層流場動能（KE）譜Fig. 3 The area-mean kinetic energy (KE) spectra of the surface currents in various domains in Bay of Bengal (BOB) sea area動能譜采用了方差保持的形式。藍色實線表示OFES數據，紅色實線表示AVISO數據。綠色垂直虛線從左到右表示周期為96 d和24 dThe spectra are in variance-preserving form. The blue and red curves are estimated from the velocity fields from OFES and AVISO, respectively. The green dashed vertical lines from left to right denote the periods of 96 d and 24 d, respectively

圖4 基于AVISO和OFES數據計算得到的1999-2007年表層海洋多尺度動能的氣候態空間分布Fig. 4 Temporally averaged surface multiscale kinetic energy components based on AVISO and OFES of 1999-2007

基于上述對BOB海域表層流場動能譜的分析，我們利用MWT對式（1）和式（2）中涉及到的物理量進行多尺度子空間變換和重構，得到96 d以上、24～96 d以及24 d以下3個尺度子空間的信號，分別用?=0,1,2表示。注意選擇24（=3×23）d和96（=3×25）d 作為截斷周期的原因是OFES數據的時間步長為3 d，且MWT對子空間的時間尺度分離必須是2的指數冪，具體可參見文獻[29]。這種尺度分離方案既保證了以年周期和半年周期主導的季節循環信號保留在背景流子空間里，同時中尺度子空間包含了該海域活躍的中尺度渦旋信號，剩余的高頻信號歸為高頻擾動（包含了10 d以下的天氣尺度擾動和準兩周的季節內尺度擾動等過程），與前人的研究相符[15]。我們還對24（=3×23） d和192（=3×26）d作為截斷周期的分離方案做了敏感性實驗，兩種方案下的多尺度能量以及多尺度相互作用空間分布基本一致（圖略）。考慮到用192 d作為中尺度子空間的上界會將半年周期的季節信號歸入中尺度，缺乏合理性，因此本文的中尺度子空間包含了周期在24～96 d的過程。此外需要注意的是，前人的一些研究表明在BOB海域西部90～120 d周期的季節內信號很強[17]，本文的中尺度子空間不包含這些信號。

3 多尺度能量

根據上文對尺度分離的介紹，下面我們對3個子空間上的動能（背景流尺度動能（MKE）、中尺度渦動能（EKE）、高頻擾動動能（HKE））和有效位能（背景流尺度有效位能（MAPE）、中尺度渦有效位能（EAPE）和高頻擾動有效位能（HAPE））的三維空間分布特征進行分析。圖4展示了基于AVISO衛星觀測數據和OFES模式模擬數據計算得到的BOB海域表層動能的水平分布。總的來說，兩者在背景流子空間和中尺度子空間上的動能分布大體一致，但量值上AVISO小于OFES結果。在背景流尺度（圖4a，圖4d），由于受到EICC和季風流的影響，MKE的大值區主要位于BOB西邊界，尤其是在區域1和區域3處，與之前表層流場動能譜的周期分布特征相對應。EKE大值區（圖4b，圖4e）主要集中在BOB的西部海域，表明BOB海域中尺度渦旋主要活躍在這些區域，這與前人的結果相一致[16,22]。由于AVISO數據中非地轉信號的缺失及其時空平滑處理，在高頻尺度，基于兩套數據計算的HKE的分布呈現出很大差異：基于OFES模式數據的HKE的極大值位于BOB南部海域和赤道區域，而AVISO數據的計算結果沒有明顯的大值區域（圖4c，圖4f）。

圖5展示了基于OFES模式數據得到的3個不同尺度子空間內0～300 m的上層海洋垂直積分的動能和有效位能的氣候態分布。從圖中可見，3個尺度的動能大值區均集中在BOB的西部海域和赤道區域，但也呈現出顯著的區域差異（圖5a至圖5c）。相比其他兩個尺度的動能，MKE量級最大；受EICC和季風流的影響，其極值主要位于區域1和區域3處，其他區域相對較弱。EKE的空間分布特征反映了中尺度渦旋在BOB不同海域的活動頻率，其大值區位于BOB的西部和南部海域，在區域3和區域4處均呈現出明顯的大值。在區域1和區域2處的EKE相對較弱，且這兩個區域的南部EKE明顯強于北部區域。HKE量級明顯小于MKE與EKE，其大值區域集中在BOB的南部海域。在本文所關注的4個子區域中，蘇門答臘島的西北部海域（區域4）的HKE最強。

圖5 經過時間平均（1997-2017年）和垂向積分（上300 m）的多尺度動能和有效位能水平分布Fig. 5 Horizontal distributions of the temporally averaged (1999-2017) and vertically (upper 300 m) integrated multiscale kinetic energy and available potential energy components

3個尺度有效位能的水平分布與動能有所不同（圖5d至圖5f）。MAPE的大值區位于BOB北部海域，這種結構與該海域因淡水輸入而形成的較大的密度異常有關。EAPE的大值區主要分布在BOB西部海域，其部分海區（如區域1）的量值要大于EKE。在其他海區如斯里蘭卡島的東部海域（區域3）以及蘇門答臘島的西北部海域（區域4），EAPE的量值較EKE較小，說明中尺度渦旋的能量在這些區域主要以動能的形式存儲。HAPE的空間分布也與HKE有明顯差別，具體表現在BOB南部（如赤道區域、區域3和區域4等），高頻擾動的能量主要以動能形式存儲；而在BOB西部（如區域1），HAPE的量值大于HKE。

圖6展示了不同海域區域平均的多尺度能量垂直分布特征。就整個BOB海域而言，3個尺度的動能均隨深度迅速減小，其中MKE的量級最大，不同尺度之間動能由大到小依次為MKE、EKE、HKE（圖6a）。區域1和區域2中3個尺度的動能之間的大小關系與整個BOB海域的情形一致（圖6b和圖6c）。在區域3水深150 m以上的表層MKE量級最大，而在150 m以下的次表層EKE與MKE相當，這表明該區域次表層中尺度信號非常顯著（圖6d）。不同于其他幾個區域，區域4的3個不同尺度之間動能由大到小依次為EKE、MKE、HKE（圖6e），說明在該海域中尺度的變率占主導地位。不同于動能隨深度迅速衰減的垂向結構，有效位能除了在表層有極大值外，在次表層（100～200 m深度）也有大值中心。3個尺度的有效位能量級在各區域由大到小依次為MAPE、EAPE、HAPE。此外，有效位能與動能之間的大小關系在垂直方向上也表現出不均一性，比如對于中尺度子空間，70 m以淺的水柱EKE要大于EAPE，70～170 m間的水柱EKE小于EAPE，170 m以深EKE又大于EAPE。上述結果表明BOB不同尺度子空間的動能和有效位能不僅在水平方向上表現出區域差異，它們在垂向上也截然不同。下面，我們將利用正則傳輸理論探討這些不同子空間的動能和有效位能之間的能量交換，揭示它們之間相互作用的三維空間結構。

圖6 孟加拉灣（BOB）不同區域平均的多尺度動能和有效位能氣候態垂直分布Fig. 6 The vertical distributions of the long-term mean multiscale kinetic energy and available potential energy components in various domains in Bay of Bengal (BOB)

4 多尺度相互作用

如2.2節所述，本文使用的正則傳輸理論[29]能信實地表征不同尺度子空間之間的能量交換，因而可以用來診斷流體不穩定、渦流、渦渦等相互作用過程。圖7為3個不同尺度子空間內0～300 m上層海洋垂直積分的能量傳輸和轉換項的氣候態空間分布。就整個BOB海域來看，能量傳輸總體表現為正向能量級串，即動能和有效位能從低頻尺度向高頻尺度級串。能量傳輸的大值區主要集中在BOB海域的西邊界（EICC的流經海域）、斯里蘭卡島的東部海域以及赤道地區。在一些局部海域，這些能量傳輸項呈現出了正負相間的復雜分布特征，這表明BOB海域不同尺度之間的能量傳輸區域存在差異性，需要分區域對多尺度之間相互作用進行討論。

4.1 背景流與中尺度渦旋之間的相互作用

圖7 經時間平均（1997-2017年）和垂向積分（上300 m）的正則傳輸和浮力轉換的水平分布Fig. 7 Horizontal distributions of the temporally averaged (1999-2017) and vertically (upper 300 m) integrated canonical transfers and buoyancy conversions

圖8 顯示了各能量傳輸項在不同區域內的垂直結構特征。從整個BOB區域積分來看（圖8a），和在各層次都為正值，說明正壓和斜壓不穩定是這個區域渦旋能量的兩大來源，且在30 m以淺（深），斜壓（正壓）不穩定占主。針對各個子區域來看，區域1和區域3的情形與BOB全區域積分情形一致。對于區域2整層為負值且隨深度衰減，說明中尺度渦旋在這個區域把動能還給了背景流。有意思的是，在50 m以淺的水柱上為正，再往深處為負，且在約80 m深度處達到負的極大值。這說明該區域表層發生斜壓失穩，但次表層（50 m以下）是斜壓穩定的。結合項的分布，我們的結果表明在區域2的次表層，背景流與中尺度渦旋之間的能量傳輸為逆尺度能量級串，中尺度渦旋向背景流傳輸動能和有效位能。區域4的正壓和斜壓正則傳輸都表現為整層正值，但兩者之間的關系呈現出復雜的垂向結構。從圖8e可見，20 m以淺斜壓不穩定為主，20～100 m處正壓不穩定的貢獻稍大于斜壓不穩定，而100 m以深又以斜壓不穩定為主。

圖8 孟加拉灣（BOB）不同區域平均的多尺度相互作用項的氣候態垂直分布Fig. 8 The vertical distributions of the long-term mean multiscale interaction terms in various domains in Bay of Bengal (BOB)

4.2 背景流與高頻擾動之間的相互作用

背景流發生不穩定既可以生成中尺度渦旋，也可以直接產生頻率較高、空間尺度相對較小的高頻擾動，后者可以用和這兩個正則傳輸來刻畫。從圖7b可見，除了蘇門答臘島的西北部海域（區域4），項的水平分布特征與項相類似，即區域1、區域3以正向動能級串為主，區域2以逆向級串為主，但量級上相對較小。在區域4處項為負，說明該海域高頻擾動對季風流的維持起著一定的作用。不同于在BOB的西北部海域（尤其是區域1）以負值為主（圖7e），表明高頻擾動通過逆尺度能量傳輸為EICC提供有效位能。在BOB南部海域項均為正值，大值區位于區域3，表明在BOB南部海域背景流的斜壓失穩是高頻擾動發生發展的重要能量來源。需要注意的是，海洋內部不穩定過程只是BOB海域高頻擾動的其中一個因素，前人的研究發現該海域上空天氣尺度的風應力（尤其在西南季節盛行期間）可以通過海水輻合輻散在海表產生對應頻率段的擾動，并進一步向北傳播[4]。我們的研究表明，這些通過不同機制產生的高頻擾動會在BOB中部（區域2）、蘇門答臘島的西北部海域（區域4）等海域以逆向能量串級的形式向背景流提供動能，在BOB北部及西邊界的部分區域以逆向能量串級的形式向背景流提供有效位能。

4.3 中尺度渦旋與高頻擾動之間的相互作用

基于3個尺度子空間的能量方程使得我們還可以進一步定量診斷中尺度子空間和高頻尺度子空間之間的能量傳輸。從圖7c和圖7f可見，中尺度渦旋和高頻擾動之間的和大體以正值為主，這說明高頻子空間是中尺度渦機械能的一個重要的匯。項在區域1、區域3和區域4呈現較強的正向動能級串，動能從中尺度渦旋向高頻擾動傳輸。在區域2，項正負相間且強度較弱。項在整個BOB海域均表現為正值，最強的信號位于區域1，與圖5f中HAPE的大值區相對應，表明在西邊界流域中尺度渦旋通過正向級串為高頻擾動提供有效位能。通過對比和的水平分布，我們可以看到對于BOB東邊界以及中部廣大海域，高頻尺度子空間的有效位能主要來源于中尺度子空間，這說明在這些區域較低頻的中尺度渦通過正向串級把有效位能耗散到高頻擾動中去。在4.4節中我們將看到高頻尺度子空間的有效位能進一步轉換為擾動能，為這個尺度的擾動提供動能來源。

4.4 浮力轉換

最后，我們分析3個尺度子空間內動能和有效位能之間的相互轉換（浮力轉換），即b?項，當b?為正則表示子空間 ?內有效位能向動能轉換。從水平結構來看（圖7g至圖7i），b0（ MAPE→MKE）呈現出正負相間的分布特征，而b1（ EAPE→EKE ）和b2（ H APE→HKE）則主要以正值為主。在背景流子空間，b0在4個區域均以負值為主，且負的最大值出現在次表層（50～100 m）。根據von Storch等[37]對世界大洋洛倫茲循環的估算結果，他們發現風應力將大部分能量輸入到MKE，通過埃克曼抽吸過程將MKE轉換為MAPE，隨后MAPE進一步通過斜壓不穩定繼續傳輸到EAPE并最終轉換為EKE。我們的結果證實類似的能量路徑在BOB海域也同樣存在。比如4個子區域均有負的b0， 即 MKE→MAPE（圖7g至圖7i），說明局地風場對建立背景流有效位能的重要性。在中尺度子空間，除了區域1處有一些負的b1信號外，其他海域均以正值為主，即 EAPE→EKE。這種轉換的大值區位于區域3和區域4處，與EKE和EAPE的水平空間分布特征相一致（圖5b和圖5e）。在高頻尺度子空間，b2在整個BOB海域基本為正值，即 HAPE→HKE，其大值區位于區域1和區域3（圖7i）。

圖8展示了3個尺度內浮力轉換的垂直分布。就整個BOB海域來看，b0（綠色實線）量級最大，在30 m以上表層為正，即MAPE轉換為MKE，而在30 m以下的次表層MKE向MAPE轉化（圖8a）。b1和b2均為正值，表明在中尺度子空間和高頻尺度子空間均為有效位能向動能轉換。通過比較b1和 Γ0A→1，可以看到背景流有效位能通過斜壓失穩傳輸到中尺度有效位能，這部分有效位能只有很少一部分轉換成中尺度渦動能，這說明BOB海域的中尺度渦動能（EKE）來源主要來自正壓能量傳輸路徑（ MKE→EKE），這與全球大洋EKE來源以斜壓能量路徑（MAPE→EAPE→EKE ）為主的情形有所不同[37]。由于b0在區域1正負相間的特點，其區域平均值很小，不同深度處量級沒有明顯變化（圖8b）。在區域2處，b0項始終為負值，MKE向MAPE轉換，且極大值出現在深度約為100 m處的次表層。b1和b2在60 m以上的表層海域為正值，將來源于背景流子空間的有效位能轉換為動能（圖8c）。在區域3處，b0在0～100 m處為負值，MKE向MAPE轉化，0～50 m的表層海域b0不斷增大，隨后逐漸減小，在約100 m深度處轉變為正值。b1和b2項量級相對較小，主要集中在100 m以上，且均為正值，EAPE（HAPE）向EKE（HKE）轉化（圖8d）。在區域4處（圖8e），3個尺度的浮力轉換與對應的跨尺度能量傳輸項相比量級相近。b0在0～30 m的表層海域為正值，在30 m以下轉變為負值，并隨著深度的加深增大后減小。b1始終為正值，EAPE向EKE轉換，且隨著深度的加深，在0～30 m的表層先增大，隨后在30～60 m的水柱減小。b2在50 m以上為正值，HAPE向HKE轉換；50 m以下顯示出弱的負值，HKE向HAPE轉換。

5 結論

基于水平分辨率為0.1°的OFES海洋模式數據，本文利用多尺度子空間變換[27]（MWT）和基于MWT的正則傳輸理論[29]，對BOB海域背景流、中尺度渦旋和高頻擾動之間內在的相互作用進行了定量分析。本文首先利用MWT將原始場分解到背景流（＞96 d）、中尺度渦旋（24～96 d）和高頻尺度（＜24 d）3個子空間內，分析了3個尺度子空間的動能和有效位能的三維空間分布特征。結果表明背景流子空間的有效位能（MAPE）和動能（MKE）量級最大。中尺度子空間的有效位能（EAPE）和動能（EKE）量級相當，兩者均在BOB西邊界和南部海域較強。高頻尺度子空間的有效位能（HAPE）和動能（HKE）是總能量中不可忽略的部分，尤其是在BOB西邊界以及南部海域。結合Cheng等[17]對BOB海域的分區，本文選取了4個子區域，即BOB的西北部邊界（區域1）、BOB的中部海域（區域2）、斯里蘭卡島的東部海域（區域3）以及蘇門答臘島的西北部海域（區域4），并利用正則傳輸理論重點對這4個子區域的多尺度相互作用做了探討。下面我們用比較直觀的洛倫茲能量循環圖（圖9）對本文得到的結果做一個總結：

就整個BOB海域而言（圖9a），跨尺度能量傳輸均表現為正向能量級串，即動能和有效位能均從低頻尺度向高頻尺度傳輸。中尺度子空間相關的正壓能量 路 徑（ MKE→EKE） 和 斜 壓 能 量 路 徑（MAPE→EAPE→EKE）在BOB海域均有體現，但與全球平均的大洋能量循環不同的是BOB海域EKE來源以正壓能量路徑為主。基于3個尺度的能量方程進一步揭示了高頻尺度子空間與背景流以及中尺度子空間之間的能量交換，結果表明斜壓能量路徑（MAPE→HAPE→HKE 和 EAPE→HAPE→HKE）對HKE的貢獻要大于 正壓能量 路徑（ MKE→HKE和 EKE→HKE）。我們的結果表明中尺度與高頻尺度子空間之間正向能量級串是耗散中尺度機械能的一個重要機制。

圖9 孟加拉灣（BOB）不同區域的洛倫茲能量循環Fig. 9 Schematics of the Lorenz energy cycle in various domains in Bay of Bengal (BOB)箭頭上的數字表示1999-2017年上層海洋（0～300 m）體積平均值，箭頭的粗細刻畫了能量傳輸的大小（單位：10-6 W/m3）The numbers above the arrows are obtained from temporally and volume-averaged energy terms of 1999-2017, with the arrow size indicating the strength of the energy terms (unit: 10-6 W/m3)

BOB西北部邊界（圖9b）和斯里蘭卡島東部（圖9d）是整個BOB海域多尺度相互作用最顯著的區域，這兩個區域的能量路徑與整個BOB區域平均情形基本一致。這兩個區域的背景流發生強烈的正壓不穩定和斜壓不穩定，動能和有效位能從背景流子空間向中尺度級串，且兩個區域的EKE來源均以正壓能量路徑為主。不同于上述兩個強相互作用區，BOB中部（圖9c）多尺度相互作用相對較弱，且以逆尺度動能級串為主。該海域EKE和HKE通過斜壓能量路徑獲得，隨后通過逆尺度動能傳輸（ EKE→MKE和 HKE→MKE）把動能還給背景流。蘇門答臘島的西北部海域（圖9e）也是中尺度和高頻尺度動能較強的海域，正壓能量路徑和斜壓能量路徑均是該海域EKE和HKE的來源，但不同于區域1和區域3，該區域以斜壓能量路徑為主。

本研究對BOB海域的多尺度能量學進行了初步的診斷和分析。需要注意的是，本文僅對3個尺度之間的正則傳輸和浮力轉換過程做了分析，由于這些過程跟不穩定緊密相關，因此是洛倫茲循環中最核心的部分。本文使用的正則傳輸理論還克服了傳統方法中的跨尺度傳輸不滿足子尺度間能量交換守恒的缺點，得到了更為信實的多尺度能量串級空間分布特征。但要注意多尺度能量方程中還有其他的一些過程，比如空間輸運和壓強做功項，這些過程反映了各尺度能量在物理空間中的再分配，我們將在今后的研究中加以討論。此外，上述結論是基于對各個能量過程做了多年平均的結果，本文沒有討論這些過程的時間演變（如季節變化）特征。最后，因為模式分辨率的限制，本文中的高頻尺度子空間不包含亞中尺度過程。BOB海域亞中尺度過程與中尺度渦及背景流之間的相互作用也值得今后進一步探討。